精品解析：安徽省太和中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

太和中学高一下学期第四次教学质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册（30%），必修第二册（70%） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】由题意，复数， 所以复数的虚部为． 故选：B． 2. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 82 D. 76 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92， 又， 所以这组数据的第百分位数是. 故选：A 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 故选：A 4. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用立体几何公理、定理结合反例证明即可. 【详解】对于A，若，，，当m，n都平行于，的交线时， 满足条件，此时，相交，故A错误； 对于B，若，，，则m，n可能异面，故B错误； 对于C，若，，，则，故C正确； 对于D，若，，，则m，n可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 5. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到在上的图象，然后根据图象解不等式即可. 【详解】 因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 由在上的图象，知它在上的图象如图所示， 则不等式的解集为. 故选：C. 6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，取AC的中点D，可得BD⊥平面，分别计算四棱锥的体积与正三棱柱的体积，即可得解. 【详解】正三棱柱中，设， 取AC的中点D，连接BD， 则BD⊥AC，BD＝，， 正三棱柱的体积， 平面ABC，BD平面ABC，则BD， 又BD⊥AC，，平面，则BD⊥平面， ， 则四棱锥体积． 故选：B． 7. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角正弦公式对化简；由正切差角公式对化简；由二倍角公式对化简；最后由余弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 由所以， 即； 又， 故； 因为，所以， 又， 又，所以. 故选：D. 8. 已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和函数单调性可得，，，结合存在性问题以及恒成立问题列式求解. 【详解】因，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 又因为，且， 可知函数在上单调递增， 可得，所以， 即若，则，， 若对，使得， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题求的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重要且基础方法，应熟练掌握. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的平均数是8.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 【答案】AC 【解析】 【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确； 对于B，这组数据的平均数是，故B错误； 对于C，这组数据的极差是，故C正确； 对于D，这组数据的方差是， 所以这组数据的标准差是，故D错误. 故选：AC. 10. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合乘“1”法等逐项分析即可. 【详解】对于A，因为，，所以，得， 则， 当且仅当，即时取等号，所以，故A正确； 对于B，由及，得，解得， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：AD. 11. 定义，设，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，如图实线部分， 对于A，根据图象，可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B，根据图象得，当时，的最大值为，故B正确； 对于C，由，解得，结合图象，得不等式解集为， 故C正确； 对于D，由图象得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后代入化简即可. 【详解】由题意得， 所以 . 故答案为： 13. 在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，取的中点，连接，记的外接圆的圆心为，则证得，从而可得外接球的半径为，进而可求出球的表面积. 【详解】在中，，由余弦定理得， 即，解得， 所以，所以， 取中点，连接，则. 记的外接圆的圆心为，又是等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 所以为三棱锥的外接球的球心，为三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥的外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 14. 在平面直角坐标系中，，点是线段上的动点，设，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的夹角公式求出，然后结合向量的夹角公式得，再利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为点为线段上的动点，则， 所以， 所以， 所以， 其中，且为锐角，则， 所以当时，的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）作图见解析，4； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积. （2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解. 【小问1详解】 在直观图中，，， 则在平面图形中，，，于是， 所以平面四边形的平面图形如下图所示：    由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为． 【小问2详解】 直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即； 圆锥的高为，母线长为， 所以体积； 所以表面积. 16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【答案】（1）. （2）480 （3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，解出的值，再根据中位数的公式计算得出结果； （2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户数； （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取的户数，再从这5户中任意选取2户，利用古典概型，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率； 【小问1详解】 由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. 【小问2详解】 由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. 【小问3详解】 由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 17. 已知，且． （1）求和的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系和得到，，利用诱导公式和齐次化得到方程； （2）计算出，结合得到答案. 【小问1详解】 因为，又， 解得或， 又，所以， 所以． 所以 ； 【小问2详解】 因为，且，所以， 所以， 由，得，所以． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得，进一步结合已知即可得解； （2）将三角形的面积表示为，通过三角形是锐角三角形求出的范围即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以 ， 又，所以，所以，即， 所以，可得， 所以或， 又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 所以， 所以， 又由为锐角三角形，且，则，解得， 因为在上单调递增，所以， 所以，即的面积的取值范围是． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需分别证明，，结合线面垂直的判定定理即可得解； （2）首先通过分析可说明是直线DF与平面ABF所成角，进一步通过解三角形即可得解； （3）由二面角的定义分析说明为二面角F-AD-C的平面角，再通过解三角形即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 在矩形中，，，点E是棱的中点， 所以，所以是等边三角形， 又点F是线段CE的中点，所以， 又，平面，所以平面． 【小问2详解】 在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示． 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以是直线DF与平面ABF所成角． 在中，，，所以， 又点D为棱BC的中点，所以． 因为平面，又平面，所以， 所以，． 在中，由余弦定理得， 所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示． 因为平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角． 在中，． 因为平面，平面，所以， 又易得，，所以， 由等面积法可知． 在中，，，，所以， 所以，即二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太和中学高一下学期第四次教学质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册（30%），必修第二册（70%） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 82 D. 76 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的平均数是8.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 10. 若，且，则下列不等式恒成立是（ ） A. B. C D. 11. 定义，设，则（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式解集为 D. 的单调递增区间为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则__________. 13. 在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 14. 在平面直角坐标系中，，点是线段上的动点，设，则的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 16. 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. （1）求这200户居民本次问卷评分的中位数； （2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ （3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 17. 已知，且． （1）求和的值； （2）若，且，求的值． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$