专题1.5 全称量词和存在量词【练习：6大题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

专题1.5 全称量词和存在量词（练习） 内容概览 01：全称量词命题和存在量词命题的真假判断 1 02：全称量词、存在量词的命题改写 3 03：全称量词命题的求参问题 4 04：存在量词命题的求参问题 6 05：全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断 8 06：含有一个量词命题的否定 10 题组训练 01：全称量词命题和存在量词命题的真假判断 1．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)所有有理数都是实数； (2)，． 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假： (1)任意实数的平方大于0； (2)有的实数的平方等于它本身； (3)两个有理数的乘积仍为有理数. 3．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)能被6整除的数一定是偶数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)矩形的对角线相等. 4．（2023高三·全国·专题练习）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解． (2)存在实数x，使＝. 02：全称量词、存在量词的命题改写 6．指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数，； (2)对某个大于10的正整数，． 7．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 8．用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 9．用符号“”“ ”表示下列含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于0； （2）存在实数对使成立． （3）至少有一个实数使不等式成立． （4）对所有正实数为正数，且． 10．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0. 03：全称量词命题的求参问题 11．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 12．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 13．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知命题p：，，命题q：，使得 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知命题p：，，命题p为假命题时实数t的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 04：存在量词命题的求参问题 15．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 16．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 17．（23-24高一上·广东云浮·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 18．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 19．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，命题：，；命题：，． (1)若是真命题，求的最大值； (2)若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 05：全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断 20．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 21．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 22．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 23．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）对下列含有量词的命题作否定，并判断命题的否定的真假： (1)存在某个整数，使得； (2)任意实数都可以写成平方和的形式； (3)，方程有实数根. 24．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)二次函数的图象是抛物线； (2)存在一个平行四边形，它的对角线不相等； (3)，方程恰有一解． 06：含有一个量词命题的否定 25．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 26．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 27．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 28．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 29．已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 30．（19-20高一·全国·课后作业）已知命题，，，.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 全称量词和存在量词（练习） 内容概览 01：全称量词命题和存在量词命题的真假判断 1 02：全称量词、存在量词的命题改写 3 03：全称量词命题的求参问题 6 04：存在量词命题的求参问题 9 05：全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断 12 06：含有一个量词命题的否定 15 题组训练 01：全称量词命题和存在量词命题的真假判断 1．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)所有有理数都是实数； (2)，． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据全称命题的定义判断即可； （2）根据存在量词的命题判断即可． 【详解】（1）该命题是全称量词命题． 所有有理数都是实数，故该命题是真命题． （2）该命题是存在量词命题． 当时，，故该命题是假命题． 2．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假： (1)任意实数的平方大于0； (2)有的实数的平方等于它本身； (3)两个有理数的乘积仍为有理数. 【答案】(1)，假命题 (2)，真命题 (3)，真命题 【分析】（1）将文字语言改为符号语言，利用反例知原命题为假； （2）将文字语言改为符号语言，利用特殊值知原命题为真； （3）将文字语言改为符号语言，利用有理数的性质知原命题为真. 【详解】（1）“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为：； 当时，，不合题意，所以为假命题； （2）“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为：； 当时，，所以为真命题； （3）“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为：； 当时，根据有理数的性质知，所以为真命题. 3．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)能被6整除的数一定是偶数； (2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)矩形的对角线相等. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，真命题 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识确定正确答案. 【详解】（1）本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的能被6整除的数都为偶数”， 是全称量词命题，且为真命题. （2）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题. （3）本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的矩形的对角线都相等”， 是全称量词命题，且为真命题. 4．（2023高三·全国·专题练习）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假. 【详解】（1）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． （2）命题表示为“，”． 因为，，所以该命题为真命题． （3）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． 5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解． (2)存在实数x，使＝. 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)存在量词命题，假命题 【分析】（1）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再举例判断其真假； （2）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再利用二次函数的性质判断其真假； 【详解】（1）解：该命题是全称量词命题． 当a＝0，b＝0时方程有无数解， 故该命题为假命题． （2）该命题是存在量词命题． ∵， ∴不存在实数x，使， 故该命题是假命题． 02：全称量词、存在量词的命题改写 6．指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数，； (2)对某个大于10的正整数，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据命题中有量词“任意”判断并改写即可； （2）根据命题中有量词“某个”判断并改写即可． 【详解】（1）命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合． 该命题可以写成“，”； （2）命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合． 该命题可以写成“，，”， 或者写成“，，”． 7．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 8．用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 【答案】(1)，x能写成小数形式． (2)是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． (3)， ． 【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解. 【详解】（1），x能写成小数形式． （2）是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． （3）， ． 9．用符号“”“ ”表示下列含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于0； （2）存在实数对使成立． （3）至少有一个实数使不等式成立． （4）对所有正实数为正数，且． 【答案】（1）；（2），，；（3）,；（4），，且． 【分析】（1）由命题结合“”的含义即可得解； （2）由命题结合“”的含义即可得解； （3）由命题结合“”的含义即可得解； （4）由命题结合“”的含义即可得解； 【详解】（1）原命题可改为：； （2）原命题可改为：，，； （3）原命题可改为：,； （4）原命题可改为：，，且. 10．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0. 【答案】（1）全称命题；∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题；∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题；∃一个三角形没有外接圆；（4）全称命题；∀x∈R，x2≥0. 【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行逐一求解即可. 【详解】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：∀x∈R，x2≥0. 03：全称量词命题的求参问题 11．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，命题． (1)判断是全称量词命题，还是存在量词命题； (2)若均为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)是存在量词命题，是全称量词命题 (2) 【分析】（1）根据定义判断是全称量词命题，或是存在量词命题即可； （2）根据命题均为真命题分别求出的范围，之后取交集即可. 【详解】（1）因为符号“”表示“存在一个”，“存在一个”是存在量词， 所以是存在量词命题． 因为符号“”表示“所有”，“所有”是全称量词， 所以是全称量词命题． （2）若为真命题，则，解得． 若为真命题，则，解得． 因为均为真命题，所以的取值范围为． 12．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解. （2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 13．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知命题p：，，命题q：，使得 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，即可求解； （2）根据题意，结合基本不等式，求得的最小值为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由命题为真命题， 即不等式在上恒成立，即在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （2）解：当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 因为命题，使得为真命题，所以， 由（1）知，命题为真命题时，得， 当命题为真命题，为假命题时，可得； 当命题为真命题，为假命题时，可得， 所以实数的取值范围为. 14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知命题p：，，命题p为假命题时实数t的取值集合为A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助全称命题与存在性命题的意义即可解决； （2）借助充分不必要条件与集合之间的关系，即可解决. 【详解】（1）命题p：，， 则：，使. 当命题p为假命题时，为真命题. 即关于的方程有实数根, 则,解得, 因此，命题p为假命题时，实数t的取值集合为. （2）若是的充分不必要条件，则， 当时，即时，集合为空集，符合题意； 当时，若， 则,解得． 综上所述，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是. 04：存在量词命题的求参问题 15．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 16．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 17．（23-24高一上·广东云浮·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2) 【分析】（1）根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，得到集合为非空集合且,先求得时，实数的取值范围，进而得到答案. 【详解】（1）解：集合， 因为，可得，此时不等式组解集为空集； 所以不存在实数使得. （2）解：由，使得，所以集合为非空集合且, 可得，解得， 当时，则满足或，解得或， 所以当时，实数的取值范围为. 18．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，集合. (1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设，讨论、分别求出对应参数范围； （2）由题意，讨论、求参数范围. 【详解】（1）由题意，知，则 ①，即，得； ②，则，此时有或，解得，此时m无解； 综上：m的取值范围为. （2）因，故中有只有三个整数时，可能为，0，1或0，1，2， 当时，，解得，即； 当时，，解得，无解； 综上：m的取值范围为. 19．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，命题：，；命题：，． (1)若是真命题，求的最大值； (2)若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）a小于等于的最小值即可；（2）分p真q假，p假q真两种情形讨论. 【详解】（1）根据题意，若p是真命题，即恒成立， 当时，的最小值为1， 所以，即a的最大值为1； （2）若q是真命题，，解得或， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若p假q真，则,所以， 综上，或， 故的取值范围为或 05：全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断 20．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【答案】(1)“，”，假命题 (2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题 (3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题 【分析】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性. 【详解】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 21．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据全称命题以及特称命题的否定即可求解. 【详解】（1），方程未必有实根， 由于，方程必有实根，是真命题， 因此为假命题， （2），使得. 由于，所以恒成立，所以为真命题 22．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可． 【详解】（1）易知原命题的否定为：， 显然，故为假命题； （2）易知原命题的否定为：：所有的三角形的三条边不都相等， 因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则是假命题； （3）易知原命题的否定为：：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直， 显然原命题是真命题，则是假命题； （4）易知原命题的否定为：． 显然当时，，则命题为假命题． 23．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）对下列含有量词的命题作否定，并判断命题的否定的真假： (1)存在某个整数，使得； (2)任意实数都可以写成平方和的形式； (3)，方程有实数根. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）根据存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题是存在量词命题即可写出命题的否定，再判断其真假即可. 【详解】（1）命题“存在某个整数，使得”， 其否定为“对任意整数，都有”， 因为当或时，成立， 所以命题“对任意整数，都有”即原命题的否定为假命题； （2）命题“任意实数都可以写成平方和的形式”， 其否定为“存在实数不可以写成平方和的形式”， 因为负数不能写出平方和的形式， 所以命题“存在实数不可以写成平方和的形式”即原命题的否定为真命题； （3）命题“，方程有实数根”， 其否定为“，方程没有实数根”， 因为，所以， 所以，方程有实数根， 所以命题“，方程没有实数根”即原命题的否定为假命题； 24．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)二次函数的图象是抛物线； (2)存在一个平行四边形，它的对角线不相等； (3)，方程恰有一解． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】将含有一个量词得命题改成其否定，并判断真假即可. 【详解】（1）二次函数的图象是抛物线的否定为：存在一个二次函数，它的的图象不是抛物线，根据二次函数的图象与性质知其是假命题； （2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等的否定是：任意一个平行四边形，它的对角线相等，根据平行四边形的性质知其是假命题； （3），方程恰有一解的否定是：，方程无解或至少有两个解；举例时，方程有无数解，则其是真命题. 06：含有一个量词命题的否定 25．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得. 【详解】因为“”为假命题， 所以其否定恒成立， 所以在上恒成立， 所以即， 所以的取值可以是5. 故选：A 26．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为：“，”. 故选：D. 27．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 28．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当命题为假命题时，为真，分、讨论，可得答案； （2）求出命题为假命题、真命题的范围，求出命题为真命题、为假命题的范围，分命题为假命题、为真命题，或命题为假命题、为真命题两种情况可得答案. 【详解】（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 29．已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 30．（19-20高一·全国·课后作业）已知命题，，，.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】先写出和，从而得到与都是真命题，从而分别得到的不等式，得到的范围. 【详解】，， ，， ，， ，. 因为p与q均为假命题， 所以与都是真命题. 由为真命题得或，故. 由为真命题得或，故 .解得. 故实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，根据命题的真假求参数的范围，属于中档题. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$