专题1.10 三角形全等几何模型（一线三等角）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.10 三角形全等几何模型（一线三等角）（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（22-23七年级上·山东威海·期末）如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为2和3，则正方形B的面积为（　　）    A．13 B．15 C．17 D．19 2．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知，，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（23-24八年级上·广东东莞·期中）已知：如图，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图所示，且，且，于点，于点，于点，根据图中所标注的数据，可得图中实线所围成的图形阴影部分的面积是(  ) A．64 B．50 C．48 D．32 5．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图为某单摆装置示意图，摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得，当摆线位于位置时，与恰好垂直，则此时摆球到的水平距离的长为（    ）    A． B． C． D． 6．（18-19八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，是经过点的一条直线，且、在的两侧，于，于，交于点，，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．8 7．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，于点，于点，，，则的长是（    ）    A．5 B．3 C．7 D．2 8．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 10．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）已知如图：，且，于D，于D． ，．连接，．则图中阴影部分的面积为（    ）．    A．5 B．6 C．9 D．10 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得旗杆与楼之间距离米，楼高 米． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线、，若，，则 ．    13．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在同一平面内，有相互平行的三条直线，，，且，之间的距离为1，，之间的距离是2，若等腰的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，，在的面积是 ． 15．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，．点在线段上运动（不与，重合），连接，作，交线段于点． （1）当时， °； （2）当 时，．    16．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，，于H，的延长线交于G，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为 ． 17．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．      18．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为16和9，则阴影部分的总面积为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，若， 求证：． 20．（8分）（21-22七年级下·陕西榆林·期末）如图，，于点A，D是线段AB上的点，，． （1）判断与的数量关系为 　 ，位置关系为 　 ． （2）如图2，若点D在线段的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 21．（10分）（23-24七年级下·陕西·期中）（1）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂直分别为点、证明：． （2）如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 22．（10分）（2023八年级上·全国·专题练习） 是经过顶点C的一条直线，．E，F分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则___________；_________（填“〉”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件___________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 23．（10分）（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明．证，推出，，则，，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图，    正方形，的边长分别为2和3， ，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 正方形的面积为， 故选A． 2．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由直角三角形的性质证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，证明，根据全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，故B正确，不符合题意； 在和中， ， ， ，故C正确，不符合题意； ， ， 与互为余角，故A正确，不符合题意； ，但不一定等于，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】先证，得，，同理可得，，得，再求梯形的面积，由阴影部分的面积，可得结果 【详解】解：， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， 同理可得，， ， 梯形的面积， 阴影部分的面积 ． 故选D 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5．B 【分析】利用证明，得． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 摆球到的水平距离的长为， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 6．A 【分析】先根据AAS推出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∵CE⊥AD于E， ∴∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠BAD=∠ACE， 在△ABD与△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AE=BD=4，AD=CE=10， ∴DE=AD-AE=6． 故选：A． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质，利用余角的性质得出∠BAD=∠ACE是解题关键． 7．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，作，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 的面积， 故选：． 9．C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 10．A 【分析】先证明，利用梯形面积与直角三角形的面积差计算即可． 【详解】如图，∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴图中阴影部分的面积为， 故选A． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．8 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由于点，于点，得，因为，所以，而，即可根据“ “证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：8． 13． / 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵且 ∴ 由外角定理可得， 又∵， ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴（）． ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴ ∴的面积是 故答案为：，． 14．5 【分析】本题考查了平行线的距离，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，过作于，过作于，证明，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 15． 3 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质； （1）根据平角定义求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角的性质可得，根据全等三角形的判定定理求出即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当时，， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 即当时，． 故答案为：3． 16．①②④ 【分析】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【详解】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， ，，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 17．10 【分析】先证明，再证明，即可作答． 【详解】， 又， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 18．12 【分析】如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E，于交于点D，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案. 【详解】如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E，于交于点D，则 A，C的面积分别为16和9， 正方形A，B，C， 同理可得： 故答案为：12． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. 19．见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．先根据条件得出，，判定，即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 20．(1)， (2)成立，见解析 【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论； （2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，， 在与中， ， ，， 在中，， ， ， ， 综上可知，； （2）解：成立，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ； （1）中结论仍然成立． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 21．（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了正方形中线段的和差关系，全等三角形的性质与判定． （1）由，，直线，直线，得，，得，得，，即可得． （2）由正方形和正方形，是边上的高，同理得，得，同理得，得，同理，得，即是的中点． 【详解】（1）证明：如图，由，，直线，直线， 得，， 得， 得，， 得． （2）证明：如图，由正方形和正方形，是边上的高， 同理得，， 得，， ∵， ∴， 得，即是的中点． 22．(1)①=；=，② (2)，见解析 【分析】（1）①根据“同角的余角相等”可得，再根据证明，则可得，，由此可证． ②同小问①，先证，再根据证明，则可得，，由此可证． （2）猜想：．同小问（1）根据平角的定义和三角形内角和定理可得，再根据证明，则可得，，由此可证． 【详解】（1）解：①，， ，， ， ，； ， ，， ． ②所填的条件是：． 证明：在中，． ， ． 又， ， 又，， ，， 又， ． （2）解：猜想：． 证明过程： ，，，， ， 又， ． ，， ． 【点拨】本题主要考查了“同角的余角相等”、平角的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识，并能够综合运用是解题的关键． 23．(1) (2)，见详解 (3)结论成立，见详解 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． 【详解】（1）解： 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （2）解： 证明如下：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （3）（1）的结论成立， 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 24．(1)25°，115° (2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，证明见解析 (3)可以，∠BDA的度数为110°或80° 【分析】（1）根据平角的定义，利用角的和差关系可得∠EDC的度数，利用三角形内角和即可求出∠DEC的度数； （2）根据外角性质及角的和差关系可得∠BAD=∠EDC，根据∠B＝∠C，要使△ABD≌△DCE，则CD=AB，即可得答案； （3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可得答案． 【详解】（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°， 在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°， 故答案为：25°，115° （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下： ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠EDC， ∵∠B=∠C＝40°，△ABD≌△DCE， ∴AB＝DC＝2． （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下： ∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°， 分三种情况讨论： ①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA， ∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°， ∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°； ②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°， ∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°， 又∵∠BAC=100°， ∴∠DAE=∠BAE， ∴点D与点B重合，不合题意； ③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°， 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$