专题1.9 三角形全等几何模型（一线三等角）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.11 三角形全等几何模型（一线三等角） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一线三直角模型 1.基本图形 题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90° 图1 图2 图3 解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA） 结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立 结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论： （1） 四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高） 【知识点二】一线三等角模型 图4 图5 题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D 解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA） 结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明 【例1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点． （1）求证：≌；（2）若，，则的长________． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）小明利用一根长的竿子来测量路灯杆的高度，方法如下：如图，在地面上选一点，使，并测得，然后把在的延长线上左右移动，使，此时测得． （1）此时的度数为 ； （2）路灯杆的高度为 【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明 【例2】（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，若， 求证：． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明 【例3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【变式1】（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，直线，且与的距离为，与的距离为，等腰直角的三个顶点、、分别在直线、、上，，则的面积为（  ） A．10 B．12 C． D．25 【变式2】（22-23八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为 ．    【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且．   （1）过点作，垂足为． ①求证： ②求证：； （2）如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（22-23八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（19-20八年级上·上海徐汇·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是 (填正确结论的编号) 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】 （2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：． 【例2】    （2020·四川南充·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【例2】（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂直分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.11 三角形全等几何模型（一线三等角） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一线三直角模型 1.基本图形 题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90° 图1 图2 图3 解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA） 结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立 结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论： （1） 四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高） 【知识点二】一线三等角模型 图4 图5 题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D 解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA） 结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明 【例1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点． （1）求证：≌；（2）若，，则的长________． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质， 直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键. （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质得出,, 则可得出答案. （1）证明: ∵, ∴，, ∴, 在和中, ， ∴； （2）∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴． 故答案为: ． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知：如图，，，，则不正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解． 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故B、C选项正确，不符合题意； ， ， 故A选项正确，不符合题意； ， ， ， 但不一定等于， 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）小明利用一根长的竿子来测量路灯杆的高度，方法如下：如图，在地面上选一点，使，并测得，然后把在的延长线上左右移动，使，此时测得． （1）此时的度数为 ； （2）路灯杆的高度为 【答案】 【分析】找准对应角即可求得答案；根据题意可得，进而利用求出即可． 解：， ， ． 故答案为：； 在和中， ， ， ． ，， ，即． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，根据题意得出是解题关键． 【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明 【例2】（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，若， 求证：． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．先根据条件得出，，判定，即可得到． 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 解：∵且 ∴ 由外角定理可得， 又∵， ∴， ∵ ∴ 在和中， ∴（）． ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴ ∴的面积是 故答案为：，． 【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明 【例3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·海南海口·期末）如图，直线，且与的距离为，与的距离为，等腰直角的三个顶点、、分别在直线、、上，，则的面积为（  ） A．10 B．12 C． D．25 【答案】C 【分析】，分别过点作的垂线，垂足分别为，证明得出，，根据即可求解． 解：如图所示，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∵与的距离为，与的距离为， ∴，， ∴， ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线之间的距离，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为 ．    【答案】5 【分析】过点C作于点K，过点C作交的延长线于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证出，当A时，与重合，则最大为5，则可得出答案． 解：过点C作于点K，过点C作交的延长线于点N，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当时，与重合，则最大为5， 即的最大值为5， 故答案为：5． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质并作出正确的辅助线是解题的关键． 【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且．   （1）过点作，垂足为． ①求证： ②求证：； （2）如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理； （1）①先由得到，然后由得到，从而得到，再结合、得证；②先由和得到，再结合、得证，进而得到，最后由得到，最后得证； （2）过点作，交的延长线于点，则，先由，得到，然后由是以为斜边的等腰直角三角形得到，，从而得证，因此有，再由得到，然后证明，最后得到． 解：（1）①， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； ②，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，过点作，交的延长线于点，则，    ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1】（22-23八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，，则下列结论：①；②垂直平分；③；④；⑤．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】易证，从而推得①正确； 利用及三角形内角和与对顶角，可证，但现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得，则③正确； 证明，则，可得出结论④正确； 利用全等三角形的面积相等，可得⑤正确． 解：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵与所交的对顶角相等， ∴与所交角等于，即等于， ∴， 现有条件不能证明平分，故②错误； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 即，故③正确； 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 故④正确． ∵，，， ∴，，， ∴． 故⑤正确． 综上可知，正确的有①③④⑤． 故选C． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】（19-20八年级上·上海徐汇·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是 (填正确结论的编号) 【答案】①②③ 【分析】根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明△ACF≌△CBD，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可. 解：∵BD⊥CF，AF⊥CF， ∴∠BDC=∠AFC=90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°， ∴∠ACF=∠CBD，故①正确； 在△ACF和△CBD中，， ∴△ACF≌△CBD， ∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确 ∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确， ∵在Rt△AEF中，AE>AF， ∴AE>CD，故结论④错误. 综上所述，正确的结论是：①②③. 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键. 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】 （2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：． 【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得． 证明：∵， ∴∠BAE＋∠CAF＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE＋∠EBA＝90°， ∴∠CAF＝∠EBA， ∵AB＝AC， ∴△BAE≌△ACF， ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【例2】    （2020·四川南充·中考真题）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到， ，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD． 证明：∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中 ∴≌ 故． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 【例2】（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂直分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 【答案】(1) (2)，见详解 (3)结论成立，见详解 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． （1）解：，理由如下： ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （2）解：，证明如下 ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （3）（1）的结论成立，理由如下： ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$