精品解析：湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期6月期末调研考试数学试卷

十堰市2023—2024学年度下学期期末调研考试 高二数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 9米/秒 B. 8米/秒 C. 7米/秒 D. 6米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度. 【详解】由，得， 则物体在秒时的瞬时速度米秒． 故选：A. 2. 已知一系列样本点一个经验回归方程为，若，则（ ） A. 67 B. 68 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入回归方程可求得结果. 【详解】由题意得，得． 故选：D 3. 已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得利润与产量的函数关系式，然后求导即可得到结果. 【详解】设利润为，则． 因为，所以当时，，当时，， 故利润最大时． 故选：B 4. 3000的不同正因数的个数为（ ） A. 36 B. 45 C. 32 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】根据质因数分解，结合分步计数原理进行求解即可. 【详解】因， 所以3000的正因数为，其中， 所以3000的不同正因数有个． 故选：C. 5. 已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线斜率为的切线方程可得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增． 令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时， 所以当时，直线与图象有两个不同的交点． 故选：A. 6. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 故选：B. 7. 已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为，第75百分位数为，从样本数据落在区间内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（ ） A. 54 B. 60 C. 64 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先利用百分位数的定义求出，然后可知从中各取一个数组成的3位数是3的倍数，利用列举法求解. 【详解】因为，所以第25百分位数为2，所以， 因为，所以第75百分位数为7，所以， 所以从中各取一个数. 因为所组成的三位数能被3整除，所以所取的三个数字可以为， ， 其中含0的每组可组成4个不同的三位数，不含0的每组可组成6个不同的三位数， 所以共有个不同的三位数. 故选：C 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理得到，得到，结合2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，从而得到答案. 【详解】由二项式定理，得 , 因为能够被7整除， 被7除余1，所以． 因为2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4， 所以． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛．统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为．若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中优秀的学生人数为，则（ ） A. 估计知识竞赛的及格率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正态分布的性质分析判断，对于BCD，由题意可知，然后根据二项分布的性持分析判断即可. 【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确； 对于B，由题意得，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以D正确， 故选：ACD 10. 已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题根据题目条件得出，从而求得，再根据各选项采用赋值法可求出相应的结果，从而判断各选项的正误. 【详解】因为第5项与第6项二项式系数相等，所以，则， 令，得，故A不正确； 令，得，又， 所以，故B正确； 因为，所以，故C不正确； 令，得，所以， 所以，故D正确． 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有极小值，则 B. 若在上单调递增，则 C. 对任意的存在唯一零点 D. 若恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，对函数求导后，当时求函数的极值判断，对于B，由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值即可，对于C，由，得，构造函数，利用导数判断其单调性进行分析判断，对于D，由，得，令，利用导数判断其在上单调递增，则有，再转化为，再构造函数利用导数求出其最小值即可. 【详解】对于A，， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，故A错误． 对于B，若在上单调递增，则在上恒成立， 所以，即． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故B正确． 对于C，令，则． 令，则，所以在上单调递增． 因为，且当时，，当时，， 所以与曲线只有一个交点，即存在唯一零点，故C正确． 对于D，由，得， 即．令，则． ，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上单调递增． 因为，所以，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查函数的极值问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，再利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，则______________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二项分布的性质求出，从而可求出，进而可求出 【详解】因为，所以 所以， 所以． 故答案为：3 13. 已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则______________．（参考公式：决定系数） 【答案】0.96 【解析】 【分析】依据决定系数的公式计算即可. 【详解】因为． 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得（），构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 令，则． 令，则， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向． （1）完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？ 对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计 男生 女生 合计 （2）若每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，1，假设学生能否通过这4项流程相互独立，估计该校高三学生被认为有效招飞的人数． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关． （2）50人 【解析】 【分析】(1)只需根据题干把相应人数填写，再结合独立性检验公式计算统计量即可;(2)由独立事件概率计算公式可得每个人为有效招飞的概率，再根据二项分布求期望即可. 【小问1详解】 列联表如下： 对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计 男生 100 500 600 女生 100 300 400 合计 200 800 1000 零假设：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联． 因为， 所以假设成立，所以根据小概率值的独立性检验，认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关． 【小问2详解】 因为每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立， 所以估计每名报名学生被确认为有效招飞申请的概率． 因为该校有200名学生有民航招飞意向，所以有效招飞的人数.所以估计有人被确认为有效招飞申请． 16. 某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． （1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； （2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）先计算分析“有效促销”和“过度促销”品牌个数，然后根据排列组合知识列出基本事件总数以及所求问题事件数，计算比值即可； （2）由（1）可知“有效促销”的品牌数，得出随机变量的取值，再求相应的概率即可求出分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据题意计算得，7个品牌中“有效促销”的品牌是1，2，3号品牌，共有3个，“过度促销”的品牌是6，7号品牌，共有2个． 设“取出的4个品牌中‘有效促销’ 的个数比‘过度促销’的个数多”为事件， 则． 【小问2详解】 由（1）知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，所以的可能取值是0，1，2，3， 因为，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 17. 设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为． （1）当切线与直线平行时，求实数的值； （2）当时，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意，由此即可解出； （2）先求出的表达式，然后利用导数求解即可. 【小问1详解】 因为，所以． 因为切线与直线平行，所以， 得． 【小问2详解】 因为，所以， 所以切线方程为． 令，得；令，得． 因为，所以． 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故． 18. 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）． （1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； （2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； （3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）． 【解析】 【分析】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5．求出概率即可； （2）可能取0，5，10，15，20．求出对应的概率，列出分布列求出期望； （3）甲能胜出的概率，即．求导数求出函数的单调性求解． 【小问1详解】 设为甲的答题数，则可能取3，4，5． ； ； ． 所以甲进入初赛的概率为． 【小问2详解】 可能取0，5，10，15，20． ； ； ； ； ． 的分布列为 0 5 10 15 20 所以． 【小问3详解】 因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为， 所以甲能胜出的概率， 即． 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 19. 已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的最大值； （2）讨论的单调性； （3）若在上单调递增，且存在且，使得，证明：． 【答案】（1）2 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得关于参数的不等式，将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用基本不等式求出最值即可； （2）先求原函数的导数，再对参数分类讨论，即可得出函数的单调性； （3）根据已知条件先对进行转化，再构造函数，并利用导数求出原函数的单调性，从而证出不等式. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立． 因为，所以，即对恒成立． 因为，当且仅当时取等号，所以，即实数的最大值是2． 【小问2详解】 ， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，恒成立，则在上单调递增； ③当时，令，得， 当，；当，， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 因为，所以， 因为在上单调递增，所以． 要证，即证． 因为在上单调递增，所以只需证． 又因为，所以只需证， 即证． 记， 则， 所以在上单调递增，所以， 故成立． 【点睛】方法点睛：利用分离参数法确定不等式（，为参数）恒成立问题中参数范围的步骤： 1.将参数与变量分离，不等式化为或的形式； 2.求在时的最大值或者最小值； 3.解不等式或，得到的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十堰市2023—2024学年度下学期期末调研考试 高二数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ） A. 9米/秒 B. 8米/秒 C. 7米/秒 D. 6米/秒 2. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若，则（ ） A 67 B. 68 C. D. 3. 已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 4. 3000不同正因数的个数为（ ） A. 36 B. 45 C. 32 D. 54 5. 已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为，第75百分位数为，从样本数据落在区间内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（ ） A. 54 B. 60 C. 64 D. 72 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为．已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛．统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为．若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中优秀的学生人数为，则（ ） A. 估计知识竞赛的及格率为 B. C. D. 10. 已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 若有极小值，则 B. 若在上单调递增，则 C. 对任意的存在唯一零点 D. 若恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 随机变量，则______________． 13. 已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则______________．（参考公式：决定系数） 14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向． （1）完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？ 对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计 男生 女生 合计 （2）若每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为，1，假设学生能否通过这4项流程相互独立，估计该校高三学生被认为有效招飞的人数． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下： 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费 1 2 4 6 10 13 20 销售额 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额与促销活动经费的比值称为促销效率值，当时，称为“有效促销”，当时，称为“过度促销”． （1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率； （2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为，求的分布列与期望． 17. 设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为． （1）当切线与直线平行时，求实数的值； （2）当时，求的最大值． 18. 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）． （1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率； （2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望； （3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值． 19. 已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的最大值； （2）讨论单调性； （3）若在上单调递增，且存在且，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$