1.4.2 充要条件（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步课堂系列（人教A版2019必修第一册）

1.4.2　充要条件 1 温故知新 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做 . 判断为真的语句是 ；判断为假的语句是 . 中学数学中的许多命题可以写成“若p, 则 q”"如果 p, 那么q" 等形式. p称为命题的 ，q称为命题的 . 命题 真命题 假命题 结论 条件 温故知新 充分条件与必要条件   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 P q p⇏q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 ⇒ 充分 必要 充分 必要 温故知新 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_________ 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_________ 充分条件 必要条件 学习目标 1.通过实例认识并理解充要条件的意义. 2.能自主判断充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件问题.(重点) 3.掌握充要条件的证明方法，并能自主对充要条件进行证明.(难点) 内容索引 二、充要条件 三、充要条件的证明 四、充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 一、逆命题的概念 创设情境 同学们，在上节课内容中，我们学习了什么是充分条件，什么是必要条件，懂得了条件和结论不一定构成唯一的关系，比如“不积硅步无以至千里”。但你们知道吗？生活中也一些实例可以表明条件和结论是唯一的结构，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”。而在我们数学上，也有很多类似的问题，比如“三角形内角和为180度”，“三角形中大边对大角”等等，今天就让我们一起来探索吧！ 一 逆命题的概念 8 问题1　下列命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 新知讲解 1.两个命题的条件和结论刚好反过来，两个命题就成为互逆命题，其中一个叫 ，另一个叫做原命题的 . 2.原命题和逆命题之间的真假关系并不总是对应的，也就是说原命题为真并不意味着其逆命题也为真，同理原命题为假也并不意味着其逆命题为假. 原命题 逆命题 例1 给出以下两个“若p，则q”形式的命题并回答问题： ①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等. ②若m≤0.25，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根. (1)你能判断这两个命题的真假吗？ 命题①是真命题，②是真命题. (2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？ ①逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是 真命题. ②逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根，则m≤0.25，是真命题. 二 充要条件 14 问题2　在以下两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？ ①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等. ②若m≤0.25，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根. 提示　p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.“p⇒q且q⇒p”(即p⇔q)，p是q的充要条件. 新知讲解 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充要 新知讲解 (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定谁是条件，谁是结论；②判断能否互推；③最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 18 例2　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答). ∴p是q的充分不必要条件. A＝{x|x＝1}＝{1}， 19 (2)p：－3≤x≤8，q：x≥－3且x≤8； ∵－3≤x≤8⇔x≥－3且x≤8， ∴p是q的充要条件. xx (3)p：xy≥0，q：x≥0，y≥0； 由xy≥0可以得到x≥0，y≥0或x≤0，y≤0，又p：x≥0，y≥0， 故p是q的必要不充分条件. 20 (4)p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直平分. 正方形的对角线互相垂直平分，但对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形。所以p是q的充分不必要条件 21 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系. (4)传递法：充分和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 变式训练2　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答). (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； 充要条件； (2)p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0； 充要条件； 23 (3)p：A∩B＝∅，q：B＝∅； 必要不充分条件； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 充分不必要条件. 24 三 充要条件的证明 例3　已知圆O的半径r，圆心O到直线的距离为d.求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件. 证明：设p:d=r,q:直线l与圆O相切. (1)充分性 (p⇒q): 如图,作OP⊥l于点P, 则OP=d. 若d=r, 则点P在圆O上.在直线l上任取一点Q (异于点P), 连接OQ. 在Rt△OPQ中OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线l与圆O仅有一个公共点P.所以直线l与圆O相切. 26 ( 2 ) 必 要 性 (q⇒p):若直线l与圆O相切，不妨设切点为P, 则OP⊥I. 因此d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆O相切的充要条件 . 27 反思感悟 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先推证充分性p⇒q成立，然后推证必要性q⇒p成立. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 变式训练3　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. (1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点. (2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 29 四 充分不必要、必要不充分 充要条件的应用 例4　已知p：x2-x-2≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. p：由x2-x-2≤0，得－1≤x≤2,另A={x|－1≤x≤2}，q：B={1－m≤x≤1＋m(m>0)}. 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 故B是A的真子集 31 解得m≤1.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤1}. 所以 或 32 反思感悟 应用充分条件和必要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)化集合：根据已知条件将问题转化为集合间的关系. (2)列式：根据集合间的关系列出含参数的方程(组)或不等式(组)求解. 变式训练4　设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是 √ 34 A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}， 若m＝0，则B＝∅，BA， 若m＝1，则B＝{2}A， 35 课堂小结 1.知识清单： (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用. 2.思想方法：等价转化. 3.易错点：条件和结论辨别不清. 知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸 谢谢 (1)p：x＝1，q：x－1＝； B＝{x|x－1＝}＝{1,2}，可知AB， A.m∈ B.m∈ C.m∈ D.m∈ 若m＝－，则B＝{－3}A， ∴BA的一个充分不必要条件是m∈. $$