1.4.2 充要条件（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦逆命题与充要条件核心知识点，通过命题A和B的互逆关系导入逆命题概念，再结合“若p则q”的命题真假分析过渡到充要条件，构建从命题关系到条件判断的递进式学习支架。 其亮点是用问题驱动引导学生以数学眼光观察命题联系，通过定义法、集合法培养数学思维，如充要条件证明分充分性和必要性两步，结合方程根、三角形全等实例用数学语言表达逻辑。助力学生提升推理能力，为教师提供分层练习和清晰知识脉络，提高教学效率。

1.4.2　充要条件 1 知识点一　逆命题 01 知识点二　充要条件 02 提能点　充分、必要及充要条件的应用 04 目录 课时作业 05 知识点三　充要条件的证明 03 2 知识点一 逆命题 01 PART 目 录 问题1　命题A：a，b＞0，若 ＞1，则a＞b； 命题B：a，b＞0，若a＞b，则 ＞1. 两命题有何特点？它们之间存在什么关系？ 提示：两个命题均为真命题，且两命题条件和结论互换. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若 q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 【例1】　“若x＞2，则x2－3x＋2＞0”的逆命题是（　　） A. 若x2－3x＋2＜0，则x≥2 B. 若x≤2，则x2－3x＋2≤0 C. 若x2－3x＋2≤0，则x≥2 D. 若x2－3x＋2＞0，则x＞2 解析：　若x＞2，则x2－3x＋2＞0的逆命题为若x2－3x＋2＞0，则x＞ 2.故选D. √ 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　对于命题的判断及形式改写，关键是要分清条件与结论，原命题与其 逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题，原命题的真假性与其逆命题 的真假性无关. 训练1　命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 ⁠ 命题.填（“真”或“假”） 解析：命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为“如果 a，b互为相反数，那么a＋b＝0”，该命题为真命题. 真 数学·必修第一册 目 录 知识点二 充要条件 02 PART 目 录 问题2　给出以下两个“若p，则q”形式的命题： （1）p：a＝b，q：a＋c＝b＋c； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等. 在上述的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要 条件. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 命题 真假 “若p，则q”为 命题；“若q，则p”为 ⁠命题 推出 关系 p ⁠q 条件 关系 p既是q的 条件，也是q的 条件，我们说p是q 的 条件，简称为充要条件 　　提醒：符号“⇔”表示“等价”，如“A⇔B”指的是“由A推出 B”，且“由B推出A”. 真　 真　 ⇔　 充分　 必要　 充分必要　 数学·必修第一册 目 录 【例2】　（链接教材P21例3）判断下列各题中，p是 q的什么条件（在 “充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必 要条件”中选出一种作答）. （1）p：｜x｜＝｜y｜，q：x3＝y3； 解：因为｜x｜＝｜y｜时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定 有x＝y，必有｜x｜＝｜y｜，所以p是q的必要不充分条件. （2）p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B； 解：由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件. 数学·必修第一册 目 录 （3）p：A⊆B，q：A∪B＝B； 解：若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有 A⊆B，故p是q的充要条件. （4）p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等. 解：若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等，只需 高和底边的乘积相等即可，不一定有两个三角形全等，故p是q的充分不 必要条件. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假； （2）集合法：即利用集合的包含关系判断； （3）等价法：即利用p⇔q的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命 题，一般运用等价法. 数学·必修第一册 目 录 训练2　以下选项中，p是q的充要条件的是（　　） A. p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B. p：a＞2，b＜2，q：a＞b C. p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D. p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 解析：　对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要 条件；对于B，p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件；对于C， p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所 以p是q的充要条件.故选D. √ 数学·必修第一册 目 录 知识点三 充要条件的证明 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P22例4）求证：“△ABC中两边上的高相等”是 “△ABC为等腰三角形”的充要条件. 证明：充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2. 则S△ABC＝ AC·h1＝ AB·h2， 因为h1＝h2，所以AC＝AB， 故△ABC为等腰三角形，充分性成立. 数学·必修第一册 目 录 必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB 边上的高为h2， 则根据三角形面积公式S△ABC＝ AC·h1＝ AB·h2，可得h1＝h2，必要性 成立. 故“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即 证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集 是相同的. 　　提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 数学·必修第一册 目 录 训练3　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋ b＋c＝0. 证明：①充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0， 即（x－1）（ax＋a＋b）＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. ②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 综上所述，关于x的方程ax2＋bc＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b ＋c＝0. 数学·必修第一册 目 录 04 PART 提能点 充分、必要及充要条件的应用 目 录 【例4】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有 或 解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. 数学·必修第一册 目 录 变式　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在， 求出m的值；若不存在，说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 若p是q的充要条件，则 方程组无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　充分条件与必要条件的应用 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数 的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条 件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进 行求解. 数学·必修第一册 目 录 训练4　函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 （　　） A. m＝－2 B. m＝1 C. m＝－1 D. m＝0 解析：当m＝－2时，f（x）＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之，若函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－ ＝1，即m＝－2.所以函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. √ 数学·必修第一册 目 录 1. 已知p：“x＝2”，q：“x－2＝ ”，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　由q：“x－2＝ ”，解得x＝2，由q可推出p，必要性 成立，反之，由p可推出q，即充分性成立.所以p是q的充要条件.故选C. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是 ⁠. 解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0；若a＝ b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”. a＝b＝0 数学·必修第一册 目 录 3. 已知p：1≤x≤a（a≥1），q：1≤x≤2. （1）当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ 解：因为p是q的充分不必要条件， 所以{x｜1≤x≤a}⫋{x｜1≤x≤2}， 所以1≤a＜2. 所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件. （2）当a为何值时，p是q的充要条件？ 解：因为p是q的充要条件， 所以{x｜1≤x≤2}＝{x｜1≤x≤a}，所以a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件. 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）逆命题概念的理解； （2）充要条件概念的理解； （3）充要条件的证明； （4）充分不必要、必要不充分、充要条件的应用. 2.应体会 利用充要条件求参数的关键是将问题转化为集合之间的关系，建立关于 参数的不等式或不等式组求解. 3.避易错 易混淆充分性与必要性的判断方向致误. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 设x∈R，“若x＜2，则x＜3”的逆命题是（　　） A. 若x＞2，则x＞3 B. 若x＜3，则x＜2 C. 若x≥2，则x≥3 D. 若x≤3，则x≤2 解析：互为逆命题的两个命题的条件与结论是相互对调的，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. “x＞0”是“ ＝x”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　由 ＝x，得x≥0.因为“x＞0”⇒“x≥0”，但 “x≥0”⇒/ “x＞0”，所以“x＞0”是“ ＝x”的充分不必要条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. ∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 已知c＝1，则“a，b的平均数大于1”是“a，b，c的平均数大于1” 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若a，b，c的平均数大于1，则 ＝ ＞1，∴a＋b ＞2，∴ ＞1，即a，b的平均数大于1，反之亦成立. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（　　） A. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B. “a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C. “x＜2”是“ ＜0”的充分不必要条件 D. “a＜6”是“a＜8”的充分条件 解析：对于A，a＝b⇒ac＝bc，但当c＝0时，由ac＝bc不一定推出a＝b，故A为假命题；易知B为真命题；对于C，由 ＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“ ＜0”的充要条件，故C为假命题；易知D为真命题. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕设全集为U，则下面选项中是“A⊆B”的充要条件的是 （　　） A. A∩B＝A B. （∁UA）⊇（∁UB） C. （∁UB）∩A＝⌀ D. （∁UA）∩B＝⌀ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　由A∩B＝A，可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，故A正确；由（∁UA）⊇（∁UB）可得A⊆B，由A⊆B可得（∁UA）⊇（∁UB），故“（∁UA）⊇（∁UB）”是“A⊆B”的充要条件，故B正确；由（∁UB）∩A＝⌀，可得A⊆B，由A⊆B可得（∁UB）∩A＝⌀，故“（∁UB）∩A＝⌀”是“A⊆B”的充要条件，故C正确；由（∁UA）∩B＝⌀，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故“（∁UA）∩B＝⌀”不是“A⊆B”的充要条件，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1 的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或 “既不充分也不必要”） 解析：由两三角形对应角相等⇒/△ABC≌△A1B1C1；反之由 △ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 必要不充分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条 件是 ⁠. 解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2， 4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”成立的充要条 件. m＝±2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也 不必要条件”中选一个合适的填空. （1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的 ⁠； 解析：设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝ {－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件. （2）“x＜5”是“x＜3”的 ⁠. 解析：设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为B⫋A，所以“x＜ 5”是“x＜3”的必要不充分条件. 充要条件 必要不充分条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：a＝2，q：a2＝4； 解：a2＝4⇒a＝±2，所以p⇒q，q p，即p是q的充分不必要条件. （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； 解：因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件. （3）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； 解：由三角形为等腰三角形等价定义可知，p，q可互相推出，因此 p为q的充要条件. （4）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集. 解：A∩B为空集，则A与B无公共元素，但不一定是空集，若A与B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 已知p：－1≤x＜3，若p是q的充分不必要条件，则q可以是（　） A. －1≤x＜3 B. －1≤x＜2 C. x＜3 D. －2≤x＜0 解析：p是q的充分不必要条件，只需找一个集合使{x｜－1≤x＜3}是其真子集即可，结合选项可知{x｜－1≤x＜3}是{x｜x＜3}的真子集.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是 （　　） A. x≥0 B. x＜0或x＞2 C. x∈{－1，3，5} D. x≤0或x＞2 解析：从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意；选项A为题干成立的既不充分也不必要条件；D为题干成立的充要条件. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 设U＝R，A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若∁UA＝U，则m的取值范围 为 ，集合A中有两个元素的充要条件是 ⁠ ⁠. 解析：由题意得A＝⌀，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当 m≠0时，Δ＝16－8m＜0，解得m＞2.综上可知，m的取值范围为{m｜m ＞2}.集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根，当m ＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＞0，解得m＜2.因此集合A中有 两个元素的充要条件是m＜2且m≠0. {m｜m＞2} m＜2且 m≠0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出： （1）A∪B＝R的充要条件； 解：集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}， 若A∪B＝R，则b≥－2；当b≥－2时，A∪B＝R. 故A∪B＝R的充要条件是b≥－2. （2）A∪B＝R的一个充分不必要条件； 解：由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一 个充分不必要条件是b≥－1.（答案不唯一） （3）A∪B＝R的一个必要不充分条件. 解：由（1）知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一 个必要不充分条件可以是b≥－3.（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.我们知道，如果 △ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2（勾股定理）.反过来，如果a2＋b2 ＝c2，那么△ABC为直角三角形（勾股定理的逆定理）.由此可知，△ABC 为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2. 请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并 证明. 解：已知a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，△ABC为锐角 三角形的充要条件是a2＋b2＞c2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 证明如下：必要性：在△ABC中，∠C是锐角， 如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 显然AB2＝AD2＋DB2 ＝AC2－CD2＋（BC－CD）2 ＝AC2－CD2＋BC2＋CD2－2BC·CD ＝AC2＋BC2－2BC·CD＜AC2＋BC2， 即a2＋b2＞c2. 充分性：在△ABC中，a2＋b2＞c2， 所以∠C不是直角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 假设∠C为钝角，如图2，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则 AB2＝AD2＋BD2＝AC2－CD2＋（BC＋CD）2 ＝AC2－CD2＋BC2＋CD2＋2BC·CD ＝AC2＋BC2＋2BC·CD＞AC2＋BC2， 即c2＞b2＋a2，与“a2＋b2＞c2”矛盾. 故∠C必为锐角，即△ABC为锐角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $