精品解析：上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2023学年第二学期高二数学期末质量检测 2024.6 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 2与8的等比中项是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项的定义求解． 【详解】设2与8的等比中项是，则，． 故答案为：． 2. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导可得，代入计算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为： 3. 等差数列中，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可． 【详解】等差数列中，， 则公差，则． 故答案为：0. 4. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用积的导数法则可求解. 【详解】由，可得. 故答案为：. 5. 等差数列中，，，则______． 【答案】260 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式求解即可． 【详解】利用等差数列求和公式：可得， ． 故答案为：260. 6. 函数的驻点是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数即可求解. 【详解】，令，解得， 故答案为：. 7. 设数列的前项和为，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用求得. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 也符合上式， 所以. 故答案： 8. 函数的极值点的个数是______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用导数求函数单调区间，判断极值点的个数. 【详解】函数定义域为， 由，函数在和都单调递增，没有极值点， 函数的极值点的个数为0. 故答案为：0. 9. 已知数列满足，，则数列的前4项和等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，计算出前4项，再计算前4项和； 【详解】，. 当时； 当时； 当时； 所以数列的前4项和等于. 故答案为：. 10. 函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，再由函数单调性求函数最小值及最大值即可求解. 【详解】，令解得或， 时，，当时，， 在上单调递增，在上递减， ， 当时，，当时，，， 函数的值域为 故答案为： 11. 在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由于1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则，从而得解． 【详解】1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列， 则，联立得到，解得或． 当时，，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意； 当时，，此时1、、成等比数列，且、、15成等差数列，符合题意． 综上所得，x、y的值分别是或． 故答案：或． 12. 已知函数，若对任意两个不等正数，，都有恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据题意可知在上单调递增，进而对函数求导，将问题转化为导函数恒成立，最后解出答案. 【详解】令，因为，所以，即， 易得不是常数函数，所以在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令.则， 所以，所以 即的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项．其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 下列说法正确的是( ). A. 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B. 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C. 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D. 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值和最值联系与区别即可判断． 【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象： 对于选项A：极大值极小值，故A错误； 对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确； 如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值，而不是最大值，故C错误；同时，最大值不是极大值，故D也错误． 故选：B. 14. 已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【详解】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 16. 数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都对 D. ①②都错 【答案】C 【解析】 【分析】利用，可判断①，当时，，，可求判断②. 【详解】由，可得，故①正确； ， 当时，，不适合上式， 所以，故②正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. （1）求函数的单调区间． （2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）根据题意，由即可证明. 【详解】（1）因为，所以单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）证明：因为，则， 则 ， 即，所以， 所以数列是严格减数列 18. 已知数列为等比数列，，． （1）求值； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得数列的通项公式，然后代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分组求和法结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为数列为等比数列，则，即，又， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 设数列的前n项和， 则 . 19. 圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？ 【答案】当时，圆柱的体积最大，最大值为． 【解析】 【分析】先设出圆柱的底面半径，利用三角形相似，推出的表达式，然后求出体积表达式，求导可得体积最大值时的圆柱体的高，进而可得最大体积． 【详解】如图作圆锥（圆柱）的轴截面，设圆柱的底面半径为， 由∽，所以，所以． 由此得，圆柱体的体积． 由题意， 求导可得 ， 令，可得或（舍）． 当，，单调递增， 当当，，单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线的斜率； （2）当时，讨论的单调性． 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【小问1详解】 由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 21. 已知等差数列和等比数列， ，，， （1）求通项公式、； （2）求满足的正整数m． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，可得所求 （2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论． 【小问1详解】 设等差数列公差为，等比数列的公比为． 由，可得， 解得，则 【小问2详解】 由，可得 即 (*) 当时，成立； 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，且为奇数时，显然(*)式不成立； 当时，且为偶数时，设， ， 即，可得(*)式不成立． 综上所得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期高二数学期末质量检测 2024.6 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 2与8的等比中项是________. 2. 若，则______． 3. 等差数列中，，则______． 4 若，则______． 5. 等差数列中，，，则______． 6. 函数的驻点是______． 7. 设数列的前项和为，，则_____. 8. 函数的极值点的个数是______． 9. 已知数列满足，，则数列的前4项和等于______． 10. 函数的值域为________． 11. 在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是______． 12. 已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项．其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 下列说法正确的是( ). A. 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B. 函数在某区间上最大值不会小于它的最小值. C. 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D. 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 14. 已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（ ） A B. C. D. 15. 函数图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 16. 数列满足．给出如下两个结论：①；②，则下面判断正确的为（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都对 D. ①②都错 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. （1）求函数的单调区间． （2）数列的通项公式是，证明该数列是严格减数列． 18. 已知数列为等比数列，，． （1）求的值； （2）求数列的前n项和． 19. 圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？ 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线的斜率； （2）当时，讨论的单调性． 21. 已知等差数列和等比数列， ，，， （1）求通项公式、； （2）求满足的正整数m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $