强化专题01 基本不等式的应用技巧（9大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

强化专题01　基本不等式的应用技巧 【方法技巧】 1. 应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数. ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值. ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件. ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同. 2. 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【考点目录】 考点一：基本不等式求积的最大值 考点二：基本不等式求和的最小值 考点三、二次与二次（或一次）的商式的最值 考点四：条件等式求最值 考点五：基本不等式‘1’的妙用 考点六：基本不等式恒成立问题 考点七：基本不等式的综合应用 考点八：基本不等式证明不等式 考点九：基本不等式的实际应用 【例题详解】 题型一：基本不等式求积的最大值 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）若，则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．16 3．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：基本不等式求和的最小值 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 题型三、二次与二次（或一次）的商式的最值 7．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（19-20高一下·河北唐山·期末）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 题型四：条件等式求最值 10．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 11．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 12．（23-24高一上·福建福州·期末）若正实数满足，则下列结论正确的有 . ①②③④ 题型五：基本不等式‘1’的妙用 13．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 14．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 15．（23-24高一上·河南·期末）已知且，则的最小值为 . 题型六：基本不等式恒成立问题 16．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 17．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 18．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是 ． 题型七：基本不等式的综合应用 19．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 20．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 21．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 题型八：基本不等式证明不等式 22．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 23．（2023·全国·模拟预测）已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 24．（23-24高一上·辽宁大连） （1）已知，，都是正实数，求证： （2）设，且，求证： 题型九：基本不等式的实际应用 25．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 26．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 27．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【专项强化】 一、单选题 28．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 29．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 31．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 34．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 35．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 36．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 38．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 39．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 41．（23-24高一上·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 42．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为8 三、填空题 43．（23-24高一下·云南玉溪·阶段练习）已知均为正数，且，则的最小值为 . 44．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 45．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知实数x满足，则 . 46．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 47．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题 48．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 49．（23-24高一上·全国·期末）（1）已知，求的最小值； （2）若均为正实数，且满足，求的最小值. 50．（23-24高一上·广东江门·期中）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，求的最大值. 51．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 52．（23-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强化专题01　基本不等式的应用技巧 【方法技巧】 1. 应用基本不等式“四”勿忘 ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数. ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值. ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件. ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同. 2. 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【考点目录】 考点一：基本不等式求积的最大值 考点二：基本不等式求和的最小值 考点三、二次与二次（或一次）的商式的最值 考点四：条件等式求最值 考点五：基本不等式‘1’的妙用 考点六：基本不等式恒成立问题 考点七：基本不等式的综合应用 考点八：基本不等式证明不等式 考点九：基本不等式的实际应用 【例题详解】 题型一：基本不等式求积的最大值 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 2．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）若，则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 3．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可. 【详解】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 题型二：基本不等式求和的最小值 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】因为，则，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数，的最小值为. 故选：B. 6．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正实数满足， 所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 题型三、二次与二次（或一次）的商式的最值 7．（20-21高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 8．（19-20高一下·河北唐山·期末）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【答案】D 【分析】构造基本不等式即可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2. 故选：D. 【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题. 9．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 题型四：条件等式求最值 10．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 /0.4 【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由,可得， 当且仅当，即时取到等号, 即的最大值为； ，可得， 当且仅当，即或时取到等号， 即的最小值为； 故答案为：； 11．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 12．（23-24高一上·福建福州·期末）若正实数满足，则下列结论正确的有 . ①②③④ 【答案】②④ 【分析】举反例判断①③；利用基本不等式判断②；展开利用基本不等式判断④. 【详解】①当时，，错误； ②，当且仅当时等号成立，正确； ③当时，，错误； ④， 当且仅当，即时等号成立，正确. 故答案为：②④. 题型五：基本不等式‘1’的妙用 13．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值. 【详解】， 由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知a，b，c均为正数，且， 故， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是， 故答案为： 15．（23-24高一上·河南·期末）已知且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案. 【详解】 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 题型六：基本不等式恒成立问题 16．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可. 【详解】因为且，所以 ，当且仅当时取等号． 因为不等式恒成立， 所以，解得． 故答案为：. 17．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】 【分析】利用配凑法与基本不等式求得的最大值，从而得解； 【详解】因为，所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式 恒成立，所以，则， 所以实数m的最小值为. 故答案为：. 18．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求最小值，结合已知不等式恒成立求参数范围即可. 【详解】由得：， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为27， 又恒成立，故. 故答案为： 题型七：基本不等式的综合应用 19．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）求的最小值. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）32 【分析】根据基本不等式即可直接求解（i）（2），利用乘 “1”法即可求解（ii）， 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为64； （ii），，， ，当且仅当且， 即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）由可得 当且仅当，即时等号成立 故的最小值为32. 20．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 21．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 题型八：基本不等式证明不等式 22．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 23．（2023·全国·模拟预测）已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用基本不等式即可依次证明 【详解】本题考查利用基本不等式证明不等式，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养． （1）由，得， 当且仅当时，取得等号． （2）由基本不等式可知，，，， 所以， 当且仅当时，取得等号． 24．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）（1）已知，，都是正实数，求证： （2）设，且，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）结合基本不等式证明即可； （2）先证明，再结合作差法比较大小证明，进而可证明结论. 【详解】（1）因为，，都是正实数， 所以，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即. （2）因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 由，得，， 所以， 所以， 即. 题型九：基本不等式的实际应用 25．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 26．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案. （2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值. 【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得， ， ， 所以. （2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元， 设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元， 2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 所以. 解法一： ，设， 则，两边平方得， 由得，所以， 当时取等号. 所以，. 所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 解法二： ， 当且仅当，即时取等号， 所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 27．（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求值； (2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】(1) (2) (3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）由题意可知，当时，，所以，解得； （2）由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. （3）由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【专项强化】 一、单选题 28．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 29．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式判断“”和“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，对于任意正实数x，y， ，当且仅当时取等号， 即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立； 当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时， ， 当且仅当时取等号， 此时需满足，解得，此时a不一定等于9， 故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 30．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可. 【详解】因为，且，又， 所以， 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6. 故选：D. 31．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 32．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 33．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 34．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 35．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 36．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 37．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 二、多选题 38．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【分析】对于A，直接利用基本不等式式即可；对于B，利用乘“1”法即可；对于C，代换，再利用乘“1”法即可；对于D，化简表达式得到，再利用和不能同时为零即可否定结论. 【详解】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，故C错误； 对于D，有， 而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用基本不等式及不等式的性质求出或否定最值. 39．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A中所得可得C；借助作差法，结合所给条件可得D. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：由A知，，故， 即，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，故， 则， 由，，故，则， 即，故，故D正确. 故选：BCD. 40．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；根据基本不等式即可判断C；利用万能“”法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，故A正确； 对于B，由都是正数，且，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是3，故B正确； 对于C，若， 则， 所以，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是，故C错误； 对于D，令，则， 又，则， 化简得， 所以，解得， 所以的最大值是4，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 41．（23-24高一上·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 【答案】ACD 【分析】由已知条件，利用基本不等式验证各选项的结论是否正确. 【详解】时有，则， 当且仅当，即时等号成立，A选项正确； ， 等号成立的条件是，即，显然不能成立， 故的等号取不到，B选项错误； 若且，则， 当且仅当，即或时等号成立，C选项正确； ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确； 故选：ACD 42．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最大值为8 【答案】BC 【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误. 【详解】A选项，因为，由基本不等式得， 即，故A错误； B选项，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，B正确； C选项，两边平方得， ，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 的最小值为2，C正确； D选项，因为，， 所以， 故D错误. 故选：BC 三、填空题 43．（23-24高一下·云南玉溪·阶段练习）已知均为正数，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由，得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为均为正数，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 44．（23-24高一下·上海宝山·期末）若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 45．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知实数x满足，则 . 【答案】7 【分析】首先求出范围，方程化简得，再利用基本不等式链即可得到答案. 【详解】，故，方程化简得， 由基本不等式可知， 当且仅当时，即时等号成立； 则方程的解为. 故答案为：7. 46．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 47．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为： 四、解答题 48．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？ （2）函数 的最小值为？ （3）已知x，y是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）  ；（3）． 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件. （2）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可． （3）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号． 故取得最大值时，的值为． （2） ．（） 当且仅当，即时取等号． 故函数的最小值为． （3）x，，． 当且仅当，即，时取等号． ∴的最小值为． 49．（23-24高一上·全国·期末）（1）已知，求的最小值； （2）若均为正实数，且满足，求的最小值. 【答案】（1）8；（2） 【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值； （2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1） 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. （2） 因为均为正实数，， 所以，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 50．（23-24高一上·广东江门·期中）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）利用基本不等式求积的最大值. 【详解】（1）时，根据基本不等式可得：， 当，即时取得等号，故时，函数的最小值是7； （2），故， 根据基本不等式可得：， 当，即时取得等号， 故时，的最大值是. 51．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 52．（23-24高一上·云南·期末）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度的平方的倍，固定成本为元. (1)将全程运输成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意货车每小时的运输的可变成本为元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可； （2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答. 【详解】（1）由题意得可变成本为元，固定成本为a元， 所用时间为， 则，定义域为． （2）由（1）得，当且仅当，即时取等号， 易知函数在上单调递减，在上单调递增. 又， 所以当时，货车以km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$