精品解析：福建省福州延安中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

福州延安中学2023-2024学年第二学期初二期末试卷数学 （满分：150 分；时间：120 分钟） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 如果 则 等于（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键． 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 4. 某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 平均数为81分 B. 众数为85分 C. 中位数为88分 D. 方差为19.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．分别根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可． 【详解】解：将数据重新排列76，82，85，85，86，88，90， A、平均数为分，此选项不符合题意； B、众数为85分，此选项符合题意； C、中位数为85分，此选项不符合题意； D、方差为，此选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式与实数根的情况之间的关系如下：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根． 【详解】解：A选项，则A选项有两个不等实数根，不符合题意； B选项，则B选项有两个不等实数根，不符合题意； C选项方程的一般式为：，则，则C选项有两个不等实数根，不符合题意； D选项方程，则D选项没有实数根，符合题意． 故选：D． 6. 小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离S（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为( ) A. 400米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象和题意求出小张骑车的速度，然后根据路程 速度 时间，即可求出文具店与小张家的距离． 【详解】解：由题意得：小张骑车的速度米/分钟． ∴文具店与小张家的距离米． 故选：B． 【点睛】此题考查是函数的图象，掌握函数图象的横、纵坐标的实际意义是解决此题的关键． 7. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有 名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，则 名学生共赠贺卡为张，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张， ∴ 名学生共赠贺卡为张， 由题意得：； 故选：D． 8. 如图， 是 的中位线，O是 上一点，且满足．则 的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】假设，根据三角形中位线的性质表示出相关三角形的面积，求出比值即可． 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∵ 是 的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 9. 已知点，，，都在二次函数 （ ， ， 为常数，且）的图象上，若，则 的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和 两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数 过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当 时，， ∴，解得：， 综上可知： 的取值范围是或， 故选：． 10. 古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如（，）的方程的图解法是：如图，画 ，使 ，，，再在斜边 上截取，则该方程的一个正实数根等于（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，在 中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求． 【详解】解：在 中， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， 整理得：， 比较方程，可得 是方程的一个正根， 故选： ． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如图，抛物线 的对称轴是直线，关于 的方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线 的对称轴是，设的另一根为x，利用二次函数的对称性即可求出x． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴是， 设的另一根为x， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 12. 某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 _____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：由题意可得，该职员的年终考评为（分， 故答案为：． 13. 如图，，若，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】利用平行线分线段成比例定理求出 ，再求解即可． 【分析】解：， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 14. 如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线 的对称图形组成．点 是直线 上方“爱心”图案上的任意一点，点 是其对称点．若，则点 的坐标是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的应用及对称点的表示，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是设点的坐标，表示出 的长度． 根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A，B关于直线 对称， ∴设，则， 如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∵在上， ∴， 即， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或； 故答案为：或． 15. 小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了的平分线 ，他这样做的数学原理是_____________________________________________． 【答案】菱形的每一条对角线平分一组对角． 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，菱形的判定与性质，证明四边形是菱形，然后根据菱形的每一条对角线都平分它的一组对角，得出 平分 ： 【详解】解：如图，∵直尺的对边互相平行， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵直尺的宽度相同， ∴ 与间的距离与 间的距离． ∵的面积不变， ∴ ∴是菱形． ∴ 平分 ． ． 故答案为：菱形的每一条对角线平分一组对角 16. 现有 是关于 的二次函数，则下列描述正确的是________． ①当 时，函数图像的顶点坐标为； ②当时，函数图像在 轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图像总过定点； ④若函数图像上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①把 代入,然后再化为顶点式即可求解； ②求得与x轴的交点，进而求得的值，即可判断； ③由，可知当时， 的值与m无关，然后求出x、y的对应值即可； ④m＜0时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：①当 时，， ∴顶点坐标为，故①正确； ②当时，由得：，、 ∴ ∴ ∴， ∴函数图像截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，，当时，y的值与m无关，此时 当；当时，， ∴函数图像总经过两个定点,故③正确； ④当0时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下， 故时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即时，成立，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的坐标特征、二次函数图像与坐标轴的交点、顶点，明确这些点代表的意义及函数特征是解答本题的关键． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 请用两种方法解方程：． 【答案】解法见解析，， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法及配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．运用配方法及因式分解法解方程即可． 【详解】解：方法1：因式分解法： ， ． ，， ，． 方法2：配方法： ，． 18. 已知与成正比例，当时，． （1）求 与 的函数表达式； （2）试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由． 【答案】（1） （2）不在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数的图像上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设，再由当时，，求出的值即可得解； （2）当时，求出 的值，与 进行比较即可． 【小问1详解】 解： 与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与 的函数表达式为； 【小问2详解】 点不在（1）中的函数图像上，理由如下： 在中，当时，， 点不在（1）中的函数图像上． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 20. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 【答案】（1）80，72 （2）160000元 【解析】 【分析】本题考查求平均数和总位数，利用样本平均数计算总体： （1）根据平均数和中位数的确定方法，进行求解即可； （2）利用样本估计总体，进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 中位数是第10，11两个数的平均数， 故； 【小问2详解】 （元）． 故甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额事160000元． 21. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【答案】（1）A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元 （2）采购A种茶具30个，B种茶具50个可获得最大利润为1900元 【解析】 【分析】本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可； （2）计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润＝每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时的值即可． 【小问1详解】 解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元． 根据题意，得 解得， ∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元． 【小问2详解】 解：再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为（元），B种茶具每套进价为（元）． 设购进A种茶具x套，则购进B种茶具套． 根据题意，得， 解得； 设获得的利润为W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当 时，W的值最大，，此时购进B种茶具（套）， 购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元． 22. 已知：如图，在矩形 中， 是边 上的点，连接 ． （1）尺规作图，以 为边，为顶点作， 交线段 于点 ．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵四边形 为矩形， ∴， ， ，，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形 为平行四边形． 【解析】 【分析】（ ）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （ ）由矩形得到， ，，，再证明得到，进而得到，即可求证； 本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某实验室在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一、表二所示． 表一：在下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养索用量 该种幼苗的生长速度（/天） 表二：在范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度（） 该种幼苗达到最大生长速度 平均所需的营养素用量 （1）在下营养素用量从增加到的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在下使用营养素将该种幼苗从培育到，比不使用营养素是否能提前 天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 【答案】（1）； （2） 解：不能提前 天完成，理由如下： 由表一可知，在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度是天， ∴不使用营养素时，该种幼苗从培育到所需的时间是天， 由表二可知，在下该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素是， 即， 代入（ ）中所求函数解析式可得， 即该种幼苗在使用营养素的最大生长速度是天， 此种情况下，该种幼苗在天内的生长高度为 ， ∴不能提前 天完成； （3）． 【解析】 【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解； （ ）由表一求出不使用营养素时，该种幼苗的生长速度，进而求出不使用营养素时，该种幼苗从培育到所需的时间，再求出该种幼苗在使用营养素的最大生长速度，求出比不使用营养素提前 天生长的高度，与比较即可判断； （ ）利用待定系数法解答即可求解； 本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，根据题意，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设营养素用量为，该种幼苗的生长速度为， ∵在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律， ∴可设， 根据表二，函数图象经过，代入可得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设营养素用量为，该种幼苗的生长速度为， ∵在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律， ∴可设， ∵在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同，结合表二可知，当 时，都有， ∴ ， 即 ∵在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变， ∴由（ ）可知，在范围内的不同温度下，， 且当 取最大值时，在范围内的不同温度下，对应的营养素用量如表三中第二行数据所示，将逐一代入 ，分别可求得在范围内的不同温度下解析式中相应的的值，如下表所示： 根据表中数据，的值与相应的温度值大致符合关系式为， ，其中， ∴在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律可用关系式表示． 24. （1）【探究发现】如图①，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边 ， 分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线 分别交矩形 的边 ， 于点E，F，将矩形 沿 翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形 的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线 分别交平行四边形 的边 ， 于点E，F，将平行四边形 沿 翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求 的长． 【答案】（1）见详解； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到 ，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点 作于 ，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点 作，交 的延长线于 ，过点 作于 ，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出 即可． 【详解】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ， 垂直平分 ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：过点 作于 ， 由折叠可知： ，， 在 中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形 的周长； （3）解：过点 作，交 的延长线于 ，过点 作于 ， 四边形 是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在 中，． 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 25. 已知抛物线，其中 是实数． （1）已知三个点，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，抛物线与 轴交于两点（点 在 轴正半轴），与 轴交于点，抛物线的顶点的记为 ， ①若点 在点之间的抛物线上运动（不与点重合），连接 交 于点 ，连接 ．记的面积分别为，求的最大值； ②过点 的直线 与抛物线的另一个交点为 ，直线 与直线交于点 ，过点 作的垂线，交抛物线于点，过的中点 作于点 ．求证：． 【答案】（1） （2）① ②连接和，过点 作与点 ，如图： 设直线的解析式为： 将 代入求得： 故直线的解析式为： ∵直线与直线 交于点F， ∴将点 的纵坐标 代入 得：解得： ， ∴ ∴点的横坐标， ∴， ， ∵直线与抛物线交于两点，则， 整理得： ∴， ， ， 即点 的横坐标为， ∴， ， ， ， 为 的中点， ， 即， ， ， 在中， ， 在中， ， 即， ， 又， ， ， ∴， 即为直角三角形， 又∵ 为 的中点， ∴ 是斜边上的中线， ． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式可得，根据等角对等边推得待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点 作于点 ，点 作 于点 ，根据三角形的面积公式可推得 ，待定系数法求直线 的解析式为，设，求得直线 的解析式为，设，求得直线OD的解析式为，根据 ，推得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值为 即可求得； （3）根据（1）得顶点，连接和，过点 作与点 ，待定系数法求直线的解析式为：，求得直线与直线的交点坐标为 ，求得，根据直线与抛物线交于两点，求得 ，，根据平行线分线段成比例公理可求得，根据正切的定义推得，根据等角的余角相等可得，推得，根据中线的判定可得 是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明 ． 【小问1详解】 解：∵的顶点坐标为， ∴顶点在直线上， 当时，， 当 时，， ∴顶点为， ∴抛物线为； 【小问2详解】 ①过点 作 于点 ，点 作 于点 ，如图， 的面积为 ， 的面积为 则 ， ， 令，则，解得或， ∴，， 当时，， ∴ 设直线 的解析式为 将代入得： ，解得 ， ∴直线 的解析式为， 设则直线 的解析式为， 设则直线的解析式为 ， 即 ， 整理得：， 则， ， 故当时，有最大值为 ， 即 的最大值是 ； ②略 【点睛】本题考查了等角对等边，待定系数法求抛物线解析式，三角形的面积公式，求一次函数解析式，二次函数的性质，平行线分线段成比例公理，正切的定义，余角的性质，中线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据正切的定义推得是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学2023-2024学年第二学期初二期末试卷数学 （满分：150 分；时间：120 分钟） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 如果 则 等于（ ） A. B. C. D. 6 3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 平均数为81分 B. 众数为85分 C. 中位数为88分 D. 方差为19.6 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离S（单位：米）与时间t（单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为( ) A. 400米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 7. 元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有 名学生，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 是 的中位线，O是 上一点，且满足．则 的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，，都在二次函数 （ ， ， 为常数，且）的图象上，若，则 的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如（，）的方程的图解法是：如图，画 ，使 ，，，再在斜边 上截取，则该方程的一个正实数根等于（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如图，抛物线 的对称轴是直线，关于 的方程的一个根为，则另一个根为________． 12. 某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 _____分． 13. 如图，，若，，则________． 14. 如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线 的对称图形组成．点 是直线 上方“爱心”图案上的任意一点，点 是其对称点．若，则点 的坐标是____________． 15. 小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了的平分线 ，他这样做的数学原理是_____________________________________________． 16. 现有 是关于 的二次函数，则下列描述正确的是________． ①当 时，函数图像的顶点坐标为； ②当时，函数图像在 轴上截得的线段的长度大于； ③当时，函数图像总过定点； ④若函数图像上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 请用两种方法解方程：． 18. 已知与成正比例，当时，． （1）求 与 的函数表达式； （2）试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 20. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 21. 茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 22. 已知：如图，在矩形 中， 是边 上的点，连接 ． （1）尺规作图，以 为边，为顶点作， 交线段 于点 ．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：四边形为平行四边形 23. 某实验室在的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一、表二所示． 表一：在下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养索用量 该种幼苗的生长速度（/天） 表二：在范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度（） 该种幼苗达到最大生长速度 平均所需的营养素用量 （1）在下营养素用量从增加到的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在下使用营养素将该种幼苗从培育到，比不使用营养素是否能提前 天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 24. （1）【探究发现】如图①，已知矩形 的对角线的垂直平分线与边 ， 分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线 分别交矩形 的边 ， 于点E，F，将矩形 沿 翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形 的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线 分别交平行四边形 的边 ， 于点E，F，将平行四边形 沿 翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求 的长． 25. 已知抛物线，其中 是实数． （1）已知三个点，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，抛物线与 轴交于两点（点 在 轴正半轴），与 轴交于点，抛物线的顶点的记为 ， ①若点 在点之间的抛物线上运动（不与点重合），连接 交 于点 ，连接 ．记的面积分别为，求的最大值； ②过点 的直线 与抛物线的另一个交点为 ，直线 与直线交于点 ，过点 作的垂线，交抛物线于点 ，过的中点 作于点 ．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $