精品解析：河南省信阳市淮滨县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

河南省信阳市淮滨县2023-2024下期末 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分) 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 77 81 ■ 80 82 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（　　） A 81，80 B. 80，82 C. 81，82 D. 80，80 6. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 下列二次根式中，能与合并的是(　　) A. B. C. D. 9. 如图，菱形对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个使二次根式在实数范围内有意义x的值______． 12. 若一次函数图象经过点，则_________． 13. 某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 1 4 3 2 则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是__________小时． 14. 如图，正方形的面积是4，E是的中点，P是对角线上的动点，的最小值是___________． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，求证：∠C=90°． 18. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 19. 如图，在中，的角平分线交于点D，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 20. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE． （1）求证：△ADE≌△BDF． （2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形． 21. 如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B． （1）求交点P的坐标； （2）求PAB的面积； （3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围． 22. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变） （1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 23. 如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段的长度：______cm， （2）当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． （3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳市淮滨县2023-2024下期末 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分) 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】，故A错； ，故B错； ，C正确； ，故D错． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键． 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形； B、因为，所以不能构成直角三角形； C、因为，所以能构成直角三角形； D、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； C、对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形错误，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般． 5. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 77 81 ■ 80 82 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（　　） A. 81，80 B. 80，82 C. 81，82 D. 80，80 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义． 设丙的成绩为，根据算术平均数的定义列出关于的方程，解之求出的值，据此可得第1个被遮盖的数据，再利用众数的定义可得第2个被遮盖的数据，从而得出答案． 【详解】解：设丙的成绩为， 则， 解得：， ∴丙的成绩为80， 在这5名学生的成绩中80出现次数最多， 所以众数为80， 所以被遮盖的两个数据依次是80，80， 故选：D． 6. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可． 【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴k﹤0， A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意； B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意； C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意； D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 7. 如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可． 【详解】解：由题意将代入，可得，即， 整理得，， ∴， 由图像可知， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质． 8. 下列二次根式中，能与合并的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，同类二次根式的定义． 将各式化为最简二次根式后根据同类二次根式定义“被开方数相同，根指数也相同”即可判断． 【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意； B、，与不能合并，故不符合题意； C、，与能合并，故符合题意； D、，与不能合并，故不符合题意； 故选：C． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48， ∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8， ∴OH=BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题． 10. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个使二次根式在实数范围内有意义的x的值______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴当时，二次根式有意义． 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 若一次函数的图象经过点，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】将点代入一次函数的解析式中即可求出m的值． 【详解】解：由题意知，将点代入一次函数的解析式中， 即：， 解得：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可． 13. 某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 1 4 3 2 则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是__________小时． 【答案】6.6 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数=小时． 故答案为：6.6． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是解题关键． 14. 如图，正方形的面积是4，E是的中点，P是对角线上的动点，的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于点B与点D关于对称，所以如果连接，交于点P，那的值最小．在中，由勾股定理先计算出的长度，即为的最小值． 【详解】解：连接，，． ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于对称，，， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，的值最小，如图所示， ∴的长即为的最小值， ∵正方形的面积是4， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在Rt中，． 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称最短路线问题，还考查了正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质并确定点P的位置是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法和利用完全平方公式展开，再计算加减即可； （2）先计算乘法和绝对值，分母有理化，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，求证：∠C=90°． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，勾股定理求得的值，进而根据，即可得证． 详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴, ∴是直角三角形，且． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 18. 第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生．为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：， D：，E：，F：， 并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝______，a＝______； （2）八年级测试成绩的中位数是______﹔ （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 【答案】（1）20；4 （2）86.5 （3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 【解析】 【分析】（1）八年级D组：的频数为7÷D组占35%求出n，再利用样本容量减去其他四组人数÷2求即可； （2）根据中位数定义求解即可； （3）先求出七八年级不低于90分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数×计算即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占35%， ∴进行冬奥会知识测试学生数为n=7÷35%=20， ∴， 故答案为：20；4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为5%+5%+20%=30%＜50%， A、B、C、D四组的频率之和为30%+35%=65%＞50%， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87， 88 ，89， ∵20×30%=6，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数， 故答案为：86.5； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：两组占1-65%=35%， 共有20×35%=7人 七年级E：，F：两组人数为3+1=4人， 两年级共有4+7=11人， 占样本， ∴该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键． 19. 如图，在中，的角平分线交于点D，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明； （2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠EAD， ∵DE∥AB， ∴∠EDA=∠FAD， ∴∠EDA=∠EAD， ∴AE=DE， ∴平行四边形AFDE是菱形； （2）∵∠BAC=90°， ∴四边形AFDE是正方形， ∵AD=， ∴AF=DF=DE=AE==2， ∴四边形AFDE的面积为2×2=4． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 20. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE． （1）求证：△ADE≌△BDF． （2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件“点D，E分别是AB，AC的中点”，和两个三角形有对顶角，由SAS即可得出结论； （2）先证四边形AFBE是平行四边形，再证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，则∠DEB＝∠CBE，然后证DB＝DE，得AB＝EF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝BD，DE＝DF． 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（SAS）； （2）∵AD＝BD，DF＝DE， ∴四边形AFBE是平行四边形． ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE． ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE． ∴DB＝DE． ∴AB＝EF． ∴平行四边形AFBE是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定的判定和三角形的中位线；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B． （1）求交点P的坐标； （2）求PAB的面积； （3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【解析】 【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标； （2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）根据图象求得即可． 【详解】解:根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解 解这个方程组，得 交点的坐标为 直线与轴的交点的坐标为 直线与轴交点的坐标为 的面积为 在图象中把直线在直线上方的部分 描黑加粗，图示如下: 此时自变量的取值范围为 【点睛】 本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解． 22. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变） （1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】（1）A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元；（2）W= 30t＋420，当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元 【解析】 【分析】（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论； （2）根据题意，即可求出W与t的函数关系式，然后根据题意，求出t的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出结论． 【详解】解：（1）设A种树苗每棵的价格为x元，B种树苗每棵的价格为y元， 由题意可得： 解得： 答：A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元． （2）由题意可得：W=40t＋10（42－t）=30t＋420 解得：14≤t＜42 ∵W= 30t＋420中，30＞0 ∴W随t的增大而增大 ∴当t=14时，W最小，最小值为30×14＋420=840 此时B种树苗42－14=28棵 答：当购买A种树苗14棵，B种树苗28棵时，总费用最少，最少为840元． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用一次函数的增减性求最值是解题关键． 23. 如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段的长度：______cm， （2）当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． （3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形 【解析】 分析】（1）先根据题意求出，再由即可求出答案； （2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可； （3）利用平行四边形的性质得到，由此可建立方程或，解方程即． 【小问1详解】 解；由题意得， ∴， 故答案为；； 【小问2详解】 解：∵以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2； 小问3详解】 解；假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴或， 解得或， ∴存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，正确根据题意列出方程求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$