精品解析：江苏省苏州市吴江区青云中学2023-2024学年下学期八年级5月考数学卷

江苏省苏州市吴江区吴江区青云中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A选项：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故B符合题意； C选项：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故C不符合题意； D选项：绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列调查，适合普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 某书中的印刷错误 C. 某电视节目的收视率 D. 洗衣机的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，适合抽样调查，故A选项不合题意； B．某书中的印刷错误，适宜全面调查，故B选项符合题意； C．某电视节目的收视率，适合抽样调查，故C选项不合题意； D、洗衣机的使用寿命，适合抽样调查，故D选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可， （1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC=90°或AC=BD． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． 4. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故正确． 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出Δ=02-4×1×（k-3）=-4k+12＜0，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+k-3=0没有实数根， ∴Δ=02-4×1×（k-3）=-4k+12＜0， ∴k的取值范围是k＞3； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 6. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的性质，由得b=2a，然后把b=2a代入中进行分式的混合运算即可． 【详解】解：∵， ∴b=2a， ∴原式===-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）进行计算． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　） A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴， 解得x=45（尺）， 即竹竿的长为四丈五尺． 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 8. 如果反比例函数的图象与正比例函数的图像有交点，那么该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到直线y=x经过一、三象限，若反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象有交点，则反比例函数的图象在第一、三象限． 【详解】解：由正比例函数y=x可知，直线y=x经过一、三象限， ∵反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象有交点， ∴反比例函数的图象在一、三象限， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键． 9. 在四边形中，对角线与交于，过点作的平行线，交、于、．若，与的面积比为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行得到△PDC∽△PAB，可得，以及CD=1，再证明△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，得到，，可得MP和NP，从而得到MN． 【详解】解：∵DC∥AB， ∴△PDC∽△PAB， ∵， ∴，又AB=2， ∴CD=1， ∵MN∥AB， ∴MN∥CD， ∴△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC， ∴，， ∴，， ∴MP=，NP=， ∴MN=MP+NP=， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据平行线找出符合题意的相似三角形，得到线段之间的关系． 10. 如图，已知是等边三角形，边经过坐标原点，点、在反比例函数的图像上．若点在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据反比例函数的对称性即可求得，从而得出，解直角三角形得到，通过证得，得出，即，求得． 【详解】解：连接， 边经过坐标原点，点、在反比例函数的图象上， ， 是等边三角形， ， ， 作轴于，轴于， ， ， ， ， ，即， ， 点B在第四象限， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上的点的坐标特征，等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】2 【解析】 【详解】依题意得：x﹣2=0， 解得x=2． 经检验x=2符合题意， 故答案是：2． 13. 在中，，则的度数是_______________． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出BC∥AD，根据平行线的性质推出∠A+∠B=180°，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠A+∠B=180°， 把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°， ∴∠A=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A+∠B=180°是解此题的关键． 14. 一只不透明的袋子中装有个白球、个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出白球的概率是，则等于___________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：n=1， 经检验：n=1是原方程的解， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 像、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出的一个有理化因式_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，利用平方差公式写出有理化因式即可求解． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解题意是解题的关键． 16. 若是方程的一个根，则的值为______________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可知：2m2-3m=1，然后将2m2-3m=1整体代入原式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：2m2-3m-1=0， ∴2m2-3m=1， ∴原式=3（2m2-3m）+1=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 17. 已知反比例函数的图像与一次函数的图像的一个交点的横坐标是．下列结论：①；②当时，；③随的增大而增大；④以双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是．其中不正确的是_____________ （填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】把交点的横坐标代入一次函数中求出交点坐标，再代入反比例函数中求得，即可判断②；作出函数图象，通过图象观察，即可判断②③；联立两个函数解析式的方程组，解方程组求得交点坐标，并求得直线与轴的交点，利用三角形面积公式求得构成三角形的面积是，即可判断④． 【详解】解：把代入中，得， 交点为， 把代入比例函数中，得，故结论①正确； 把代入，解得，如图： 由图象可知，当时，，故结论②正确； 在每个象限内，随的增大而减小，故结论③错误； 联立方程组， 解得，或， 交点坐标为：和， 直线与轴的交点， 双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为：， 故结论④正确； 故答案为③． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了待定系数法，函数图象与方程的解的关系，函数图象与不等式的解集的关系，数形结合是解题的关键． 18. 如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__． 【答案】5． 【解析】 【详解】试题分析：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案为5． 考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质． 三、解答题（本大题共10小题，共76分．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别化简二次根式，绝对值，零指数幂，然后再计算． 【详解】解： = = 【点睛】本题考查二次根式的化简，实数的混合运算和零指数幂的运算，掌握运算法则准确计算是解题关键． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x1=1，x2=2；（2）x=5 【解析】 【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）方程整理得：x2-3x+2=0， 分解因式得：（x-1）（x-2）=0， 可得x-1=0或x-2=0， 解得：x1=1，x2=2； （2）去分母得：2（x-2）=3（x-3）， 去括号得：2x-4=3x-9， 移项合并得：-x=-5， 解得：x=5， 检验：当x=5时，（x-2）（x-3）≠0， ∴分式方程的解为x=5． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的乘除法可以将题目中的式子化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： = = 当时， 原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点上，请回答下列问题． （1）直接写出的长度为_______； （2）在格点上找一点C，连接，使； （3）利用格点，画线段的中点； （4）在格点上找一点，连接，使． 【答案】（1） （2） 如图，线段即为所求， （3）如图，点D即为所求 （4）如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、三角形中位线的性质定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）根据网的特点作图即可； （3）利用网格的特点找点D即可； （4）根据中位线定理进行作图即可． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 【小问4详解】 略． 23. “足球运球”是备受某校关注的体育项目之一．为了解该校九年级学生“足球运球”的掌握情况，随机抽取部分九年级学生“足球运球”的测试成绩，按、、、四个等级进行统计，制成了如下统计图．根据所给信息，解答以下问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，等级对应扇形圆心角的度数是 ； （3）所抽取学生的“足球运球”测试成绩的中位数会落在 等级； （4）若该校九年级有名学生，请估计“足球运球”测试成绩达到等级的学生有多少人？ 【答案】 （1）补全条形统计图如下： （2）117°；（3）B；（4）130人 【解析】 【分析】（1）先根据B等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再用总人数减去A、B、D等级人数从而求得C等级人数，即可补全图形； （2）用360°乘以C等级人数所占比例即可得； （3）根据中位数的定义求解可得； （4）用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得． 【详解】解：（1）∵被调查的总人数为18÷45%=40（人）， ∴C等级人数为40-（4+18+5）=13（人）； （2）C对应的扇形的圆心角是360°×=117°， 故答案为：117°； （3）∵被调查的总人数为40，将测试成绩从小到大排列第20、21个数据均落在B等级， ∴所抽取学生的“足球运球”测试成绩的中位数会落在B等级， 故答案为：B； （4）估计“足球运球”测试成绩达到等级A的学生有1300×=130（人）． 答：估计“足球运球”测试成绩达到等级A的学生有130人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴，． ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形ACDE是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合菱形的性质，证明两组对边分别平行即可． （2）利用菱形的性质和勾股定理计算AB的长，结合已知计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形，，， ∴，， ． ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴，， ∴的周长． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定和勾股定理是解题的关键． 25. 某学校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍从学校出发．辅导员因有事请，从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，结果同时达到目的地．求大巴车与小车的平均速度各是多少？ 【答案】大巴车的速度为60千米/时，小车的速度为90千米/时 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，根据晚出发半小时，结果同时到达，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为千米/时， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：大巴车的速度为60千米/时，小车的速度为90千米/时． 26. 如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接、，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作，交反比例函数（其中）的图像于点，连接交于点． ①求的长； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①；②4 【解析】 【分析】（1）要求的值，只需要求出的坐标即可，所以过作轴于，由于，所以，利用勾股定理求出的长，得到的坐标，代入到反比例函数解析式中即可解决； （2）①因为轴，所以的横坐标为10，由于在反比例函数图象上，所以可以求出的纵坐标，在直角三角形中，利用勾股定理可以求出的长度；②要求的值，由的长度已知，所以只需要求出或者的长度即可，因为是直线和直线的交点，所以求出直线和直线的解析式，联立两个函数解析式，求得的坐标，进而求出线段的长度，即可解决，此题也可以平行线构造相似来解决． 【详解】解：（1）过作于，如图1， ， ， ， 的坐标为， 为反比例函数（其中图象上的一点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）①， 的坐标为， 轴交反比例函数图象于点， 的横坐标为10， 令，则， ， ， ； ②设直线为，代入点的坐标得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入点的坐标得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 的坐标为， ， ， ． 【点睛】本题是一道反比例函数综合题，注意等腰三角形的性质和勾股定理在求线段时的作用，求线段比可以用直接解析法和相似来转化． 27. 如图1，矩形中，，，E为上一点，F为延长线上一点，且．点P从A点出发，沿方向以的速度向D运动，连结交于点H．设点P运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图像如图2所示． （1）的长是 ； （2）当，时，求t的值； （3）如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点M，连结，当t为何值时，四边形为菱形？ 【答案】（1）0.5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，由图2可知，当时，，进而得出，即可求出； （2）当，．，由，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据菱形的性质以及轴对称的性质，即可证明，根据等腰三角形的性质，可得，设，则，根据勾股定理可得，，即可得出方程，求得的值即可得到点的运动时间． 【小问1详解】 由题意可知，， 由图2可知，当时，， ， ， 故答案分别为：0.5； 【小问2详解】 当，．， ， ， ， ， （负值不合题意，舍去）， ； 【小问3详解】 如图3，四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 令，则， 根据勾股定理可得，， 即， 解得，（负值已舍去） 的运动时间为（秒． 时，四边形为菱形． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的应用以及勾股定理的运用，解题的关键是掌握菱形的性质以及相似三角形的性质．解题时注意方程思想的运用． 28. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①略． ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市吴江区吴江区青云中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列调查，适合普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 某书中的印刷错误 C. 某电视节目的收视率 D. 洗衣机的使用寿命 3. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 4. 下列计算或化简正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　） A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 8. 如果反比例函数的图象与正比例函数的图像有交点，那么该反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 9. 在四边形中，对角线与交于，过点作的平行线，交、于、．若，与的面积比为，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是等边三角形，边经过坐标原点，点、在反比例函数的图像上．若点在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若分式的值为0，则x的值为______． 13. 在中，，则的度数是_______________． 14. 一只不透明的袋子中装有个白球、个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出白球的概率是，则等于___________． 15. 像、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出的一个有理化因式_________． 16. 若是方程的一个根，则的值为______________． 17. 已知反比例函数的图像与一次函数的图像的一个交点的横坐标是．下列结论：①；②当时，；③随的增大而增大；④以双曲线与直线的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是．其中不正确的是_____________ （填序号）． 18. 如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__． 三、解答题（本大题共10小题，共76分．） 19. 计算：． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点上，请回答下列问题． （1）直接写出的长度为_______； （2）在格点上找一点C，连接，使； （3）利用格点，画线段的中点； （4）在格点上找一点，连接，使． 23. “足球运球”是备受某校关注的体育项目之一．为了解该校九年级学生“足球运球”的掌握情况，随机抽取部分九年级学生“足球运球”的测试成绩，按、、、四个等级进行统计，制成了如下统计图．根据所给信息，解答以下问题： （1）补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，等级对应扇形圆心角的度数是 ； （3）所抽取学生的“足球运球”测试成绩的中位数会落在 等级； （4）若该校九年级有名学生，请估计“足球运球”测试成绩达到等级的学生有多少人？ 24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若，，求的周长． 25. 某学校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍从学校出发．辅导员因有事请，从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，结果同时达到目的地．求大巴车与小车的平均速度各是多少？ 26. 如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接、，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作，交反比例函数（其中）的图像于点，连接交于点． ①求的长； ②求的值． 27. 如图1，矩形中，，，E为上一点，F为延长线上一点，且．点P从A点出发，沿方向以的速度向D运动，连结交于点H．设点P运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图像如图2所示． （1）的长是 ； （2）当，时，求t的值； （3）如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点M，连结，当t为何值时，四边形为菱形？ 28. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $