2024年九年级数学中考复习 第22 课时解直角三角形讲义

第22 课时解直角三角形 C要点归纳 知识点 名师点睛 锐角三角函数 了解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的锐角三角函数值，会使用计算器求已知锐角的 三角函数值或由已知的三角函数值求它对应的锐角 解直角三角形 能利用直角三角形中的边边、边角关系解直角三角形 解直角三角形的应用 能结合仰角、俯角和坡度等知识，运用锐角三角函数值解决与直角三角形有关的实际问题 e考试重点 1.特殊角的三角函数值…………………………………………………………………… 2.解直角三角形的应用…………………………………………………………………… 典型母题 母题 1 (徐州中考题)如图，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点 C，测得旗杆顶部 A 的仰角为45°，在C、B之间选择一点D(C、D、B三点共线),测得旗杆顶部A的仰角为75°,且CD=8m. (1) 求点 D到CA 的距离; (2)求旗杆AB的高.(注：结果保留根号) 【解答】 (1) 如图,过点 D 作DE⊥AC.在 Rt△DCE 中,因为 CD=8,∠C=45°,所以 (2) 因为 ,所以CE=DE= 又因为∠C=45°,∠ADB=75°,所以∠CAD=30°.在 Rt△ADE中, 所以 AC= 在Rt△ABC中, 【要点剖析】 本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题；解题的关键是熟记特殊角的三角形函数值，选择恰当的直角三角形和三角函数关系式解直角三角形. (1)过点D作AC 的垂线，垂足为E，在Rt△CDE中，已知一角一边，此直角三角形可解； (2)利用第(1)问的结论，发现Rt△ADE 也可解，那么 AC的长就容易知道了.在Rt△ACB中,已知∠C=45°和AC的长,利用三角函数即可求出AB的长. 母题2 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14 海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间. 【解答】 设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时.如图，由题得∠ABC=45°+75°=120°,AB=12,BC=10x,AC=14x.过点A作AD⊥CB的延长线于点D.如图,在 Rt△ABD中,AB=12,∠ABD=60°,所以BD=6,AD=6 ,所以CD=10x+6.在 Rt△ACD 中,由勾股定理得( 解得 (舍去).答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 2 小时. 【要点剖析】 此类问题通常应用锐角三角函数(解直角三角形)求解，观察图形发现图中并没有直角三角形.若过点A 作AD⊥CD交CB 的延长线于点D，可得在Rt△ABD中，AB=12,∠ABD=60°,易得AD、BD的长,这样在Rt△ACD 中,通过勾股定理可得解. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷1 在 Rt△ABC中,已知则AB= ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 必刷2 坡比常用来反映斜坡的倾斜程度，如图所示，斜坡AB的坡比为 ( ) A. 1:3 B. 3:1 必刷3 如图，已知以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A、B两点，P 是AB上一点(不与点A、B重合),连接OP,设∠POB=α,则点 P 的坐标是 ( ) A. (sinα,sinα) B. (cosα,cosα) C. (cosα,sinα) D. (sinα,cosα) 必刷 4 如图，已知半径为3的⊙A 经过原点O和点C(0，2)，B是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan∠OBC的值为 ( ) A. B. 2 必刷5 如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是 ( ) A. 2 C. 必刷 6 如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向点 N 方向前进16m到达 B处，在 B 处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( ) 必刷7 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点 C作⊙O的切线交AB 的延长线于点E,若A=30°,则sinE的值为 ( ) A. 必刷 8 如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC 分别落在x轴、y轴上，连接OB,将纸片 OABC沿OB 翻折,点 A 落在点A'位置,若 则点 A'的坐标为 . 必刷 9 如图,在正方形 ABCD 外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC= 必刷10 测量计算是日常生活中常见的问题.如图，建筑物BC 的屋顶留有一根旗杆AB，从地面上点 D 处观测旗杆顶点 A 的仰角为50°，观测旗杆底部点 B 的仰角为45°.(可用参考数据： (1) 若已知CD=20m,求建筑物 BC的高度; (2) 若已知旗杆的高度 AB=5m,求建筑物 BC 的高度. 必刷11 如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6km/h 的速度沿 MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内.当该飞行器飞至村庄C的正上方A 处时，测得∠NAD=60°,该飞行器从A 处飞行40 min至 B 处时,测得∠ABD=75°,求村庄C、D间的距离.( 取1.73,结果精确到0.1km) 必 刷 提 优 题 必刷12 如图,△ABC中,已知AB=AC=4,C=72°,D是AB 的中点,点E在AC上,DE⊥AB,则cosA 的值为 ( ) 必刷13 如图,已知半径为3的⊙O与Rt△AOB 的斜边AB 切于点D,交OB 于点C,连接CD交直线OA 于点E,若B=30°,则线段 AE 的长为 . 必刷14 如图，在边长相同的小正方形网格中，已知点 A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 P,则グв= ,tan∠APD= . 必刷15 如图，某无人机于空中A 处探测到目标B、D，从无人机A 上看目标B、D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从 A 处继续水平飞行30 m到达 A'处. (1) 求 A、B之间的距离; (2)求从无人机 A'上看目标D 的俯角的正切值. 第22 课时 解直角三角形 1.【解答】 D 【要点剖析】 ① 根据锐角三角函数的定义 确定sinA 是哪两条边的比；②代入数据得关于AB的方程；③ 解方程求得 AB的长. 2.【解答】 C 【要点剖析】 根据坡比定义得出 BC：AC= 3.【解答】 C 【要点剖析】 过点 P 作 PQ⊥OB,在Rt△OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出点 P 的坐标. 4.【解答】 C 【要点剖析】 连接CD,则CD 是⊙A 的直径,且∠OBC=∠ODC,在 Rt△OCD 中可求得tan∠ODC. 5.【解答】 D 【要点剖析】 先判断△ABC是直角三角形，则 6.【解答】 A 【要点剖析】 本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是建立起 Rt△AMN和Rt△BMN之间的关系.可先设 BN=x,根据∠MBN=45°,求出MN=x,根据A=30°,列出关于x的方程. 7.【解答】 A 【要点剖析】 要求 sinE的值，可寻求直角三角形，或求得E的大小即可.因为 EC是⊙O的切线,所以可连接OC,得到OC⊥CE,即△ECO是直角三角形,且∠ECO=90°,又由OA=OC,A=30°,得到∠EOC=60°,从而有E=30°,进而求解. 8.【解答】 【要点剖析】 过点 A'作A'E⊥OC于点E.先根据 求出BC=1,OC=2.再设OC与A'B交于点F，由折叠及矩形的性质可证FO=FB.然后设OF=x,得FB=x,CF=2-x,进而在 Rt△BCF 中运用勾股定理构建方程求出x 值，得到线段 最后在Rt△OA'F 中,结合 A'E 是斜边OF 上的高及折叠产生的( ，综合运用勾股定理及面积的不同表示方法就可求得 A'E 和OE 的长. 9.【解答】 【要点剖析】 作 EF⊥BC于点 F.设 EF=CF = a, 则 EC = √₂ a, DC = 2a = BC,所以 10.【解答】 (1) 由题意得∠ACD=90°,∠BDC=45°,所以BC=CD=20.答:建筑物BC的高度为20米.(2) 设CD=x(米),同(1)得 BC=CD=x,AC≈1.2x.因为AB=5,所以x+5=1.2x,解得x=25,所以BC=25(米).答:建筑物BC的高度约为 25 米. 11.【解答】 【要点剖析】 在△ABD中,∠NAD=60°,∠ABD=75°,则∠BDA=45°.所以过点 B 作BE⊥AD于点E，依次解三个特殊的直角三角形即可. 12.【解答】 C 【要点剖析】 在等腰三角形 ABC 中求出∠ABC=72°,A=36°.又由题意知DE是AB 的垂直平分线,所以AE=BE.于是∠ABE=A=36°.再求得C=∠BEC=72°,所以BC=BE.由 C=C,A=∠EBC=36°,得△CBE∽△CAB,有 即 从而求出 最后在 Rt△ADE 中求出 cosA的值. 13.【解答】 【要点剖析】 连接OD,因为 AB切⊙O于点D,所以OD⊥AB.又半径为 3,B=30°,所以∠DOC=60°,OB=2OD,所以△COD为等边三角形,∠OCD=60°.在Rt△AOB 中求出( 在 Rt△COE 中求出( 14.【解答】 3 2 【要点剖析】 (1) 通过 AC∥BD 及AC 与BD 的比值不难求出AP : BP=3.(2) 如图,连接BE,构造 Rt△BFP.因为AP: BP=3,所以CP=3DP.设DP=a,则CP=3a.所以CD=4a,PF=a,BF=2a,所以 从而求出tan∠APD=2. 15.【解答】(1) 120m 【要点剖析】 (1) 在 Rt△ABC中,B=30°,AC=60m,所以AB=120m.(2)从无人机A'上看目标D的俯角为∠AA'D，要求其正切值，可直接把它构造在一个直角三角形中，于是作DE⊥AA'于点 E,先通过解 Rt△ADE,求得 AE 进而可知 最后在Rt△A'ED中计算tan∠EA'D|的值为 学科网（北京）股份有限公司 $$