2024年九年级数学中考复习 第21课时图形的相似讲义

第21课时图形的相似 C要点归纳 知识点 名师点睛 比例的基本性质 了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割 图形的相似 认识图形的相似，了解相似多边形和相似比 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理，能熟练运用该性质解题 三角形相似 掌握两个三角形相似的条件，并能运用其解题 位似 掌握图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小 e考试重点 1.平行线分线段成比例定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2.相似三角形的判定、性质及其应用………………………………………………… 3.位似的概念、性质及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 典型母题 母题1如图,在△ABC中,已知AB=AC,以AB为直径的圆分别交 AC、BC于点D、E,点 F 在AC 的延长线上,且 (1) 求证:直线BF 是⊙O的切线; (2) 若 求 BD、BF的长. 【解答】 (1) 如图,连接AE.因为AB 是⊙O的直径,所以∠AEB=90°.因为AB=AC,所以 因为 所以∠CBF=∠BAE.因为∠BAE+∠ABE=90°,所以∠CBF+∠ABE=90°,即AB⊥BF,所以直线 BF是⊙O的切线.(2)由(1)可知∠CBF=∠BAE.在Rt△ABE中,BE=ABsin∠BAE=AB sin∠CBF=5×√ = ,所以 设CD=x,则AD=5-x.因为 AB是⊙O的直径,所以 所以 ，所以 ,所以x=2,AD=3,则BD=4.因为△ABD∽△BFD,所以 即 ，所以 【要点剖析】 本题考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形、锐角三角函数的定义等，解题的关键是熟练掌握相关知识解决问题.(1)关键证 AB⊥BF；(2)先求BE，进而可得 BC的值，利用勾股定理列方程求出CD，进一步求出 BD，最后利用相似三角形的性质求 BF的长. 母题 2 在矩形ABCD 中,已知E 为CD 的中点,H 为BE 上的一点, 连接CH 并延长交AB 于点G，连接GE 并延长交AD 的延长线于点F. (1) 求证: (2)若∠CGF=90°时,求 的值. 【解答】 (1) 因为四边形 ABCD 为矩形,所以AB∥CD,所以∠HBG=∠HEC,∠HGB=∠HCE,所以△BHG∽EHC,所以 (2) 因为 所以设 BG=m,则EC=3m.所以DC=6m,所以 AG=5m.因为△FDE∽△FAG,所以 设 FD=3n,AD=2n,则 BC=2n.因为△AFG∽△BGC,所以 即 所以 所以 【要点剖析】 本题主要考查了相似中常见的几个基本图形，抓住复杂图形中的基本图形，能为我们的解题带来很大的方便.第(1)问考查了平行条件下常见的“X”字模型；第(2)问考查了常见的“A”字模型和垂直条件下的“K”字模型. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷1 如果两个相似三角形的面积之比是1：4，那么它们的周长之比是 ( ) A. 1:16 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:2 必刷2 已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF 的相似比为 ,则△ABC与△DEF 对应中线的比为 ( ) A. B. C. D. 必刷3 如图,在△ABC中,DE∥BC,若 则 的值是 ( ) A. B. C. D. 必刷4 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD与正方形BEFG 是以原点O为位似中心 的位似图形，且相似比为 ,点A、B、E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则点C的坐标为 ( ) A. (3,2) B. (3,1) C. (2,2) D. (4,2) 必刷 5 如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB 交⊙O于点E,交AB 于点D,连接AE,则S△ADE :S△CDB的值为 ( ) C. 1:2 D. 2:3 必刷6 如图,已知D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,如果△ABD的面积为 15,那么△ACD的面积为 ( ) A. 15 B. 10 C. D. 5 必刷 7 如图，已知点 F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF交DA 的延长线于点E.在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 必刷 8 如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,AC=6,BC=8,点 F在边AC上,且CF=2,E为边BC上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C落在点 P 处，则点 P到边AB 距离的最小值是 . 必刷9 如图,已知D为⊙O上一点,点C在直径BA 的延长线上,且∠CDA=∠CBD. (1) 求证:CD 是⊙O的切线; (2)过点 B作⊙O的切线交CD 的延长线于点E，若 求BE的长. 必 刷 提 优 题 必刷10 如图,在△ABC中,已知BF平分∠ABC,AF⊥BF 于点F,D为AB 的中点,连接DF 并延长交AC 于点E.若AB=10,BC=16,则线段 EF的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 必刷11 如图,在四边形 ABCD 中,已知∠ABC=90°,AB=BC=2 ,E、F 分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD 的面积为6,则△BEF的面积为 ( ) A. 2 B. C. D. 3 必刷12 如图,已知点 E、F 分别在菱形ABCD 的边AB、AD 上,且AE=DF,BF交DE 于点G,延长 BF交CD的延长线于点H，若 则 的值为 ( ) A. B. C. D. 必刷13 在△ABC中,已知P为边AB上一点. (1) 如图1,若∠ACP=∠B,求证: (2) 若 M为CP 的中点,AC=2. ① 如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长. ② 如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长. 必刷14 在 中,已知AD 是边BC 上的高,BC=12,AD=8.矩形 EFGH 的顶点E、F分别在AB、AC上,点 H、G在BC 上. (1) 若矩形EFGH 是正方形,求 EF 的长. (2) 求矩形 EFGH的最大面积. 必刷15 如图,在△ABC中,已知∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从点B 出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点 P从点C 出发,沿CA 方向以1cm/s的速度移动.若点 Q、P 分别同时从点B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似. 必刷16 如图,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,D在BC 上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD 于点E,交 AC 于点 F. (1) 如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE; (2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD 于点M,求证: ①GM=2MC; 必刷17 如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角尺PHF 的直角顶点 P 落在边AD 上(不与点 A、D 重合),在 AD 上适当移动三角尺顶点 P. (1)能否使你的三角尺两直角边分别通过点 B与点C?若能，请你求出此时AP 的长；若不能，请说明理由. (2)再次移动三角尺位置，使三角尺顶点 P 在AD 上移动，直角边 PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC 延长线交于点Q，与BC 交于点E，能否使CE=2cm? 若能，请你求出此时AP 的长；若不能，请说明理由. 必刷18 如图,已知M为等腰三角形ABD的底边AB的中点,过点D作DC∥AB,连接BC. AB=8cm,DM=4cm,DC=1cm,动点 P 自点A 出发,在AB上匀速运动,动点 Q自点 B 出发,在折线BC—CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点 P 运动t(s)时，△MPQ的面积为S(不能构成△MPQ的动点除外). (1)当t(s)满足什么条件时，点Q在BC 上运动?当t(s)满足什么条件时，点Q在CD上运动? (2)求S与l之间的函数关系式； (3)当t为何值时，S有最大值?最大值是多少? (4) 当点 Q在CD 上运动时，直接写出t为何值时，△MPQ是等腰三角形. 第 21 课时 图形的相似 1.【解答】 D 【要点剖析】 由两个相似三角形的面积之比1：4得到两个相似三角形的相似比1：2，进而得到它们的周长之比1：2. 2.【解答】 A 【要点剖析】 根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比. 3.【解答】 B 【要点剖析】 因为 DE∥BC,所以 4.【解答】 A 【要点剖析】 直接利用坐标原点为位似中心的位似图形的性质求出 AD=2，然后△OAD∽△OBG,求出 AO=1,即可确定点C的坐标(3,2). 5.【解答】 D 【要点剖析】 因为△ADE∽△CDB,面积之比就等于相似比的平方，所以求出相似比 即可.因为AB是⊙O的直径,∠B=30°,设AC=1,则AB=2,BC= .因为CE平分∠ACB,连接BE，可知△AEB为等腰直角三角形，则. 则 6.【解答】 D 【要点剖析】 本题考查了相似三角形的判定,解题的关键是△ACD∽△BCA.因为△ACD∽ △BCA, 所 以 即 因为△ABD的面积为 15,所以S△ACD=5,故选择 D. 7.【解答】 C 【要点剖析】 在平行四边形 ABCD 中，因为CD∥AB,所以△AEF∽△DEC.因为 AD∥BC,所以△AEF∽△BCF. 8.【解答】 【要点剖析】 当点E在BC 上运动时，PF的长固定不变,即 PF=CF=2,所以点 P在以点F为圆心，以2为半径的圆上运动.过点 F作FH⊥AB交⊙F于点 P,垂足为 H,此时 PH最短.则△AFH∽△ABC,所以 即 即 所以点 P到 AB 距离的最小值PH= 9.【解答】 (1) 连接OD,证明∠ODC=90°.本题利用等量代换即可求得∠ODC=90°.(2) 因为△CDA∽△CBD,所以 因为 所以CD=4.因为CE、BE都是⊙O的切线,所以 BE=DE,BE⊥BC,所以 BE² 即 解得 BE 10.【解答】 B 【要点剖析】 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及 D 是AB 的中点，可得 DF=DB=5,则∠DBF=∠DFB.又 BF平分∠ABC, 则∠DFB=∠CBF,则 DE∥BC,易得△ADE∽△ABC.根据相似三角形对应边成比例求得DE=8,则EF=3. 11.【解答】 C 【要点剖析】 连接AC、BD.因为∠ABC= 所以 S△ABC=4.因为四边形ABCD的面积为6,所以 .因为 E、F分别是AD、CD的中点,所以 EF∥AC,S△ABE=S△DBE, 所以 =3.因为△DEF∽△DAC,所以 所以 12.【解答】 B 【要点剖析】 由菱形 ABCD知AB∥CD,AD∥BC，可知图中存在多个相似三角形中的基本图形：“A”型与“X”型.由基本图形得 设DF=AE=a,则AF=2a,所以AD=AB=3a,BE = 2a. 类 似 地, 所以 由基本图形，得 设 BG=4b,HG=3b,所以 HB=7b.因为 所以 13.【解答】 (1) 略 (2) ① ② -1 【要点剖析】 (1) 因为∠A=∠A,∠ACP=∠B,所以△ACP∽△ABC,所以. AB.(2) ① 如图,作 CQ∥BM交AB的延长线于点Q. 因为∠PBM=∠Q=∠ACP,∠PAC= ∠CAQ,所以△APC∽△ACQ,所以 所以AC²=AP·AQ.又因为 M为PC的中点,BM∥CQ,所以 设 BP=x,则 PQ=2x,所以 解得 (舍去),所以. .②过点C作CH⊥AB 于点 H.因为AC=2,∠A=60°,所以CH= .又因为∠ABC=45°,所以. 由①可知,设BP=x,则PQ=2x,则 所以 又 因为∠A= ,所以△QCP∽△QAC,所以 即 所以 ，化简得. 2x-6=0,解得 (舍去),所以 14.【解答】 (1) 设EF=x,KD=y.因为四边形 EFGH 是矩形,所以 HG ∥EF,所以△AEF∽△ABC.因为 AD 是边BC 上的高,所以AK⊥HG,∠ADG=∠HGF =∠GFK =90°,所以四边形 DGFK 是矩形,所以 KD=GF=y,所以AK:AD=EF: BC.因为BC=12,AD=8,所以 所以 当x=y时，矩形 EFGH是正方形，所以 解得 即 时,矩形 EFGH是正方形.(2) 矩形 EFGH的面积为 因为 所以当x=6,即EF=6时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是 24. 15.【解答】 设经过xs后，两三角形相似，则CQ=(8-2x) cm,CP=xcm.因为∠C=∠C=90°,所以当 或 时，两三角形相似.(1)当 时, 所以 (2) 当 时, 所以 所以经过 或 方，两三角形相似. 16.【解答】 (1) 在 Rt△ABE 和 Rt△DBE中,易证△ABE≌△DBE.(2) ① 过点 G作GH∥AD交BC于点H.因为AG=BG,所以BH=DH.因为BD=4DC,设DC=1,BD=4,所以BH=DH=2.因为GH∥AD,所以 所以GM=2MC.②过点C作CN⊥AC交AD的延长线于点 N,则 CN∥AG,所以△AGM∽△NCM,所以 由①知GM=2MC,所以2NC= AG.因为∠BAC=∠AEB=90°,所以∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE,所以△ACN∽△BAF,所以 因为AB=2AG,所以 所以2CN·AG=AF·AC,所以. AF·AC. 17.【解答】 (1) 设AP=xcm,则 PD=(10-x) cm.因为∠A=∠D=90°,∠BPC=90°,所以∠DPC=∠ABP,所以△ABP∽△DPC,则 即AB·DC=PD·AP,所以4×4=x(10-x),即 解得 所以可以使三角尺两直角边分别通过点 B与点C，AP=2cm或8cm.(2)能.设AP=xcm,CQ=ycm.因为四边形ABCD是矩形,∠HPF=90°, 所以△BAP∽△ECQ,△BAP∽△PDQ,所以 所以AP·CE=AB·CQ,AP·PD= AB · DQ,所以 2x= 4y, 即 所以x(10-x)=4(4+y).因为 即 8x+16=0,解得 ,所以AP=4 cm,即在 AP=4cm时,CE=2cm. 18.【解答】 (1) 过点C作CE⊥AB,垂足为E.因为 DA=DB,AM=BM,所以 DM⊥AB.因为CE⊥AB,所以∠CEB=∠DMB=90°.所以CE∥DM.因为 DC∥ME,CE∥DM,∠DME=90°,所以四边形 DCEM是矩形.所以CE=DM=4,ME=DC=1.因为AM=BM,AB=8,所以AM=BM=4.所以BE= BM-ME=3.因为∠CEB=90°,CE=4,BE=3,所以CB=5.因为当t=4时,点P与点M 重合,不能构成△MPQ,所以t≠4.所以当0<t≤5且l≠4(s)时,点 Q在BC上运动;当5≤t≤6(s)时,点 Q在CD 上运动.(2) ①当0<t<4时,点 P 在线段AM 上,点 Q在线段BC 上,过点 Q作QF⊥AB,垂足为 F.因为 QF⊥AB,CE⊥AB,所以∠QFB=∠CEB=90°. J所以 QF∥CE.所以△QFB∽△CEB.则 所以 因为 PM=AM-AP=4-t,所以 S= ②当4<t≤5时,点 P 在线段 BM 上,点 Q 在线段BC 上,过点 Q 作 QF⊥AB,垂足为 F,易证△QFB∽△CEB,则 所以 因为PM=AP-AM=t-4,所以 ③当5<t≤6时,点P 在线段BM 上,点 Q在线段 DC 上,过点 Q作QF⊥AB,垂足为F,此时QF=DM=4.因为 PM=AP-AM=t-4,所以 -4)×4 =2t-8.综上所述:当0<t<4时S= 当4<t≤5时, 当5<t≤6时,S=2t-8.(3)①当0<t<4时,S= 因为 0<2<4,所以当l=2时,S取到最大值,最大值为 . ②当4<t≤5时, 对称轴为x=2.因为 所以当x>2时，S随着t的增大而增大.所以当t=5时，S取到最大值，最大值为2.③当5<t≤6时,S=2t-8.因为2>0,所以S随着t的增大而增大.所以当t=6时，S取到最大值,最大值为2×6-8=4.综上所述:当t=6时，S取到最大值，最大值为4.(4)当点 Q在CD上运动即5≤t≤6时,则有 QM≥QF,QP≥QF,即QM≥4,QP≥4.因为MP=t-4<6-4,即MP<2,所以QM≠MP,QP≠MP.若△MPQ是等腰三角形,则QM=QP.因为QM=QP,QF⊥MP,所以 因为MF=DQ=5+1-t=6-t,MP=t-4,所以 解得 t 所以当 时，△MPQ是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$