2024年九年级数学中考复习 第20课时 图形的平移、旋转、对称讲义

第五章 图形的变换 第20课时 图形的平移、旋转、对称 2要点归纳 知识点 名师点睛 平移 认识平移，掌握平移的基本性质，体会全等变换，能利用平移的性质解题 旋转 认识旋转，掌握旋转的性质，能利用旋转的性质解题 对称 认知轴对称和中心对称图形，并能利用其性质解题 考试重点 1.轴对称图形的识别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2.中心对称图形的识别………………………………………………………………………… 3.图形的平移、旋转与对称的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 典型母题 母题 如图1，在平面直角坐标系中，已知点 A、B、C的坐标分别为( ，先将 沿一确定方向平移得到 点 B 的对应点. 的坐标是(1,2),再将, 绕原点O按顺时针方向旋转 90°得到 ，点 A₁的对应点为点. (1) 画出. (2) 画出 (3)求出在这两次变换过程中，点 A 经过点. 到达点. 的路径总长. 【解答】 (1) 由点 B(-4,1)到点 相当于向右平移5个单位长度，再向上平移1 个单位长度得到的，所以点 如图2; (2) 点 A₁、B₁、C₁ 绕点O按顺时针方向旋转 90°后. 顺次连接各点,如图2; (3) 从 A 到A₁ 是线段 ,从 A₁ 到A₂ 是以原点 O 为圆心,半径为( 的弧， 所以以 所以路径总长为 【要点剖析】 这道题集中考查了平面直角坐标系中图形的平移、旋转作图，考查了点的平移规律，考查了勾股定理，考查了弧长公式，解题的关键在于掌握并能简单应用上述知识进行操作或计算.解题时，①画出△A₁B₁C₁,同时确定点 A 移到点 A₁的路径长;②画出△A₂B₂C₂,同时确定点 A₁移到点 A₂的路径长；③把①和②中得到的路径长相加，即可得到这两次变换过程中，点A 经过点 A₁到达点 A₂的路径总长. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷1 下列所述图形中，是中心对称图形的是 ( ) A.直角三角形 B.平行四边形 C.正五边形 D. 正三角形 必刷2 下列生态环保标志中，是中心对称图形的是 ( ) 必刷3 以下图形，对称轴的数量小于3的是 ( ) 必刷4 如图,已知A、B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB 平移至A₁B₁,则a+b的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 必刷5 把一副三角尺按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角尺 DEB 绕点 B 按逆时针方向旋转 45°得到△D'E'B,则点 A 在△D'E'B 的 ( ) A. 内部 B. 外部 C. 边上 D.以上都有可能 必刷 6 如图，将△PQR 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点 P 平移后的坐标是 ( ) A. (-2,-4) B. (-2,4) C. (2,-3) D. (-1,-3) 必刷 7 将点 A(2，3)向左平移2个单位长度得到点A'，点 A'关于x轴的对称点是A"，则点 A"的坐标为 ( ) A. (0,-3) B. (4,-3) C. (4,3) D. (0,3) 必刷8 如图,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转,使点C落在线段AB上的点E 处，点 B落在点D 处，则B、D 两点间的距离为 ( ) C. 3 必刷 9 如图，已知直线MN是四边形AMBN 的对称轴，点 P 是直线MN 上的点，下列说法错误的是 ( ) A. AM=BM B. AP=BN C. ∠MAP=∠MBP D. ∠ANM=∠BNM 必刷10 如图，将△ABC绕点C 按顺时针方向旋转至△A'B'C，使点 A'落在 BC 的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则. 必刷11 如图，两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE 的位置,使点 A 恰好落在边DE 上,AB 与CE 相交于点 F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF= cm. 必刷12 如图,在▱ABCD中,已知E 为边CD 上一点,将△ADE 沿AE 折叠至△AD'E 处,AD'与CE 交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED'的大小为 . 必刷13 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则. 必刷14 如图，在边长为1的正方形网格中，已知△ABC的顶点均在格点上，点 A、B的坐标分别是A(4,3),B(4,1),把△ABC绕点C 按逆时针方向旋转90°后得到△A₁B₁C. (1) 画出△A₁B₁C,直接写出点 A₁、B₁ 的坐标; (2)求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积. 必刷15 已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-2,1),C(1,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度). (1)△A₁B₁C是△ABC绕点 按逆时针方向旋转 °得到的,点 B₁ 的坐标是 ; (2)求出线段 AC 在旋转过程中所扫过的面积(结果保留π). 必 刷 提 优 题 必刷16 如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,将△ABC绕点C 按顺时针方向旋转得△A₁B₁C,当A₁落在边 AB上时,连接B₁B,取 BB₁ 的中点 D,连接A₁D,则A₁D的长度是( ) A. B. 2 C. 3 必刷17 如图，已知 P是等边三角形ABC 内一点，将线段 AP 绕点A 按顺时针方向旋转 60°得到线段 AQ,连接BQ.若I ，则四边形APBQ的面积为 . 必刷18 已知 点 P 是∠AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA 上,且OM=4,则点 P 到点M 的距离与到边OA 的距离之和的最小值是 . 必刷19 如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到 与△ABC的位似比是 ; (2) 画出△A₁B₁C₁ 关于y轴对称的 (3)设点 P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点 P 在 内的对应点. 的坐标是 必刷20 在△ABC中,已知∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1) 当直线 MN 绕点C 旋转到图1的位置时,说明:①△ADC≌△CEB;② DE=AD+BE. (2) 当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,说明:DE=AD-BE. (3)当直线MN绕点C 旋转到图3的位置时，试问：DE、AD、BE 具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系. 必刷21 (1) 如图1,把A c 沿DE 折叠,使点 A 落在点 A′处,试探索∠1+∠2 与∠A 的关系.(不必证明) (2)如图2,BI平分∠ABC,CI 平分∠ACB,把△ABC折叠,使点A 与点I 重合,若∠1+∠2=130°,求 的度数. (3)如图3,在锐角三角形 ABC中,BF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,BF、CG交于点 H,把△ABC折叠使点 A 和点 H 重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论. 必刷22 如图,矩形OABC 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点 A(0,4),C(2,0).将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转 ,得到矩形 EFGH(点 E与O重合). (1) 若GH交y轴于点M,则 (2) 将矩形 EFGH沿y 轴向上平移t 个单位长度. ① 直线GH 与x 轴交于点 D,若 求t的值； ②若矩形 EFGH 与矩形OABC 重叠部分的面积为S 个平方单位长度，试求当 时，S与t 之间的函数关系式. 必刷23 定义: 如图1，A，B 为直线l 同侧的两点，过点 A 作直线l的对称点. 连接 B交直线l于点P，连接AP，则称点 P 为点A，B 关于直线l的“等角点”. 运用： 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知. 两点. 三点中，点 是点 A，B关于直线x=4的“等角点”; (2)若直线l垂直于x轴,点 P(m,n)是点 A,B 关于直线l的“等角点”,其中 求证: (3) 若点 P 是点A,B 关于直线. )的“等角点”，且点 P 位于直线AB 的右下方，当 时，求b的取值范围(直接写出结果). 第五章 图形的变换 第20课时 图形的平移、旋转、对称 1.【解答】 B 【要点剖析】 本题考查中心对称图形的定义：将一个图形绕着某个点旋转180°后，如果旋转后的图形能够和原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形.解题的关键是区别中心对称图形与轴对称图形. 2.【解答】 B 【要点剖析】 根据中心对称图形的定义对各选项进行判断识别. 3.【解答】 D 【要点剖析】 本题考查了轴对称图形的对称轴个数，解决问题的关键在于理解轴对称概念.可试着折叠，看能否找到这样一条直线，沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够重叠. 4.【解答】 A 【要点剖析】 利用平面直角坐标系中点的平移特征，先求得a=1，b=1，然后再相加即可. 5.【解答】 C 【要点剖析】 第一步：画图，画出三角尺DEB绕点B按逆时针方向旋转45°后的图形，这是解这一题的关键(可以是草图)；第二步：思考点A的位置，假设射线 BA 与边D'E'的交点为M，则在 Rt△ME'B中,∠E'BM=45°,E'B=5,所以 可知答案. 6.【解答】 A 【要点剖析】 知道图形的平移与点的坐标变化的关系：横坐标加2，纵坐标减3. 7.【解答】 A 【要点剖析】 第一步，将点 A(2，3)向左平移2个单位长度，其横坐标减2，纵坐标不变，确定点A'(0，3)；第二步，再根据关于x轴对称时，横坐标不变、纵坐标互为相反数确定点 A″(0，-3). 8.【解答】 A 【要点剖析】 连接BD.因为△BDE是直角三角形,DE=BC=3,BE=AB--AE=1,所以 9.【解答】 B 【要点剖析】 根据直线 MN 是四边形AMBN 的对称轴，得到点 A 与点 B 对应，根据轴对称性质得到结论. 10.【解答】 46 【要点剖析】 先根据三角形外角的性质求出 再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C,得到△ABC≌△A'B'C,则 所以 11.【解答】 2 【要点剖析】 要求 CF的长，容易求出 AC=4，所以证明△ACF 是含 30°角的直角三角形即可. 12.【解答】 36° 【要点剖析】 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以∠B=∠D=52°.又因为∠DAE=20°,所以 .由翻折可知,∠AED=∠AED'=108°,所以 13.【解答】 6 【要点剖析】 解题的关键是画出折叠之前的矩形纸片，这样便一目了然，通过角度之间代换得到△ABC是等腰三角形，得解. 14.【解答】 (1) A₁(—1,4)和 B₁(1,4),图略; 【要点剖析】 (2)△ABC在旋转过程中扫过的面积就是以点C 为圆心、CA 为半径、圆心角度数为90°的扇形面积与△ABC的面积之和.因为 ，所以根据扇形面积公式和三角形面积公式可求. 15.【解答】(1)C 90 (1,-2) (2)5π/ 【要点剖析】 (1)由旋转的定义及性质，结合网格可得图形的旋转中心和旋转角度；(2)线段 AC 在旋转过程中所扫过的面积是一个圆心角 为90°的扇形面积，根据扇形面积公式计算可得. 16.【解答】 A 【要点剖析】 要求 A₁D的长度，关键是发现Rt△A₁BD,A₁B=2,BD可求得为 ，则利用勾股定理得 17.【解答】 【要点剖析】 连接PQ，可得△PAQ是等边三角形，△BPQ是直角三角形，分别求出这两个三角形的面积即可得四边形 APBQ的面积. 18.【解答】 2 【要点剖析】 本题利用了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个知识点.作出点 M关于OC的对称点M′，然后过点M′作边OA 的垂线M'N，则M'N 的长度即为所求的最小值. 19.【解答】 (1) 2: 1 (2)图略 (3)(-2a,2b) 【要点剖析】 (1)位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比，根据位似比的概念即可得出答案；(2)由轴对称性画出图形；(3)第一次变换位似比是2，第二次变换横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以P(a，b)依上述两次变换后，对应点 P₂ 的坐标是(--2a,2b). 20.【解答】 (1) ① 因为 AD⊥DE,BE⊥DE,所以∠ADC=∠BEC=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,所以∠DAC=∠BCE.在△ADC和△CEB中,易证△ADC≌△CEB(AAS).② 由①知△ADC≌△CEB,所以AD=CE,CD=BE.因为DC+CE=DE,所以DE=AD+BE.(2)因为 BE⊥EC,AD⊥CE,所以∠ADC=∠BEC=90°,所以∠EBC+∠ECB=90°.因为∠ACB=90°.所以∠ECB+∠ACE=90°,所以∠ACD=∠EBC.在△ADC 和 △CEB 中, 易 证 △ADC ≌△CEB(AAS),所以 AD=CE,CD=BE,所以 DE=EC-CD=AD-BE.(3)DE=BE-AD.理由:因为BE⊥EC,AD⊥CE,所以∠ADC=∠BEC=90°,所以∠EBC+∠ECB=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ECB+∠ACE=90°,所以∠ACD=∠CBE.在△ADC 和△CEB 中,易证△ADC≌△CEB(AAS),所以 AD=CE,CD=BE,所以DE=CD-CE=BE-AD. 21.【解答】 (1)∠1+∠2=2∠A. (2)由(1)∠1+∠2=2∠A,得2∠A=130°,所以∠A=65°.因为 IB平分∠ABC,IC平分∠ACB,所以 所以∠BIC =180°— (∠IBC + ∠ICB ) = 180°— (3)因为 BF⊥AC,CG⊥AB,所以. ∠FHG+∠A=180°,所以∠BHC=∠FHG=180°-∠A.由(1)知∠1+∠2=2∠A,所以∠A= 所以 ∠2). 22.【解答】 (1) 由旋转可得∠AOF=135°.又∠AOC=90°,所以∠COF=∠AOF--∠AOC=45°.又∠MOC=90°,所以∠FOM=45°.又OF∥HG,所以∠OMH=∠FOM=45°.又∠H=90°,所以△OHM为等腰直角三角形，所以OH=HM=2.则根据勾股定理得( (2) ① 连接AD、BO.因为AD∥BO,AB∥OD,所以四边形ADOB为平行四边形,所以DO=AB=2.由平移可知∠HEM=45°,所以∠OMD=∠ODM=45°,所以OM=OD=2. 由平移可知 所以矩形EFGH平移的路程 ②分三种情况考虑：(i)当0<t≤2时，重叠部分为等腰直角三角形，此时OE=t，则重叠部分面积 (ii) 当 时，重叠部分为直角梯形，此时 (iii)当 时，点E在点A下方，重叠部分为五边形，此时 综上， 23.【要点剖析】 (1) C;(2) 方法一:过点 A作AC⊥直线 l于点C,过点 B作BD⊥直线 l于点D.∵A(2, ),B(-2,- ),P(m,n),x=m>2,∴AC=m-2,BD=m+2,CP= -n,DP=n+ .∵∠APC=∠BPD,∠ACP=∠BDP=90°,∴△ACP∽△BDP.∴△G=00,即 整理得 即 PA',∠APB =α, ∴ ∠A = ∠A′ = a/₂.在Rt△ACP中, 方法二：过点 A 作点 A 关于直线l的对称点 ，则直线 A'B的解析式为 当x=m时,y=n=2 .∵PA=PA',∠APB=α,∴∠A=∠A'= 在 Rt△ACP中, (3)由A、B为定点,∠APB=60°，发现A、B、P三点共圆，且此圆是边长为AB的等边三角形的外接圆，不妨设此等边三角形为△ABQ，利用相似可求出定点Q的坐标为Q(3， .当直线y=ax+b经过点A、Q时,直线AQ的解析式为 当直线y=ax+b经过点 B、Q时,直线 BQ的解析式为 又∵a≠0, 故b的取值范围为 或 且 34 学科网（北京）股份有限公司 $$