2024年江西省各地市中考数学一模压轴题精选

2024年江西省各地市中考数学一模压轴题精选 温馨提示： 1. 本卷共30题，题目均选自2024年江西省各地市一模试题。 1. 本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。 1. 本卷难度较大，适合基础较好的同学。 第一部分 代数部分 1.(2024·江西省宜春市·一模)对于抛物线与轴的交点为，，则下列说法：一元二次方程的两根为，；原抛物线与轴交于点，轴交抛物线于点，则；点、点在原抛物线上，则；抛物线与原抛物线关于轴对称．其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.(2024·江西省九江市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，且，交轴于点，若的面积是，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.(2024·江西省抚州市·一模)如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 是关于的一元一次方程的一个根 D. 点，在抛物线上，当时， 4.(2024·江西省九江市·一模)在平面直角坐标系中，正方形的边在轴正半轴上，边在第一象限，且、，将正方形绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为______． 5.(2024·江西省宜春市·一模)如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，． 求该反比例函数的解析式． 若，设点的坐标为，求线段的长． 6.(2024·江西省上饶市·一模)综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在正方形中，，动点以每秒个单位的速度从点出发匀速运动，到达点时停止，作的垂线交于，连接，设点的运动时间为，的面积为，探究与的关系． 初步感知 如图，当点由点向点运动时， 当时， ______， ______； 经探究发现是关于的二次函数，请写出关于的函数解析式为______；自变量取值范围为______； 根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图的坐标系中绘制出函数的图象； ______ ______ ______ 延伸探究 当 ______时，； 当的面积为的一半时，求的值． 7.(2024·江西省宜春市·一模)已知抛物线中是常数与轴的交点为，点与点关于抛物线的对称轴对称，二次函数中是常数的自变量与函数值的部分对应值如下表： 下列结论正确的是______ A.抛物线的对称轴是直线 B.当时，有最大值 C.当时，随的增大而增大 D.点的坐标是点的坐标是 求二次函数的解析式； 已知点在抛物线上，设的面积为求与的函数关系式并画出函数图象并利用函数图象说明是否存在最大值，为什么？ 8.(2024·江西省南昌市·一模)已知抛物线：，直线将抛物线分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线的对称图形，得到的整个图形称为抛物线关于直线的“双抛图形”． 如图所示，当时，抛物线：上的点，，，，分别关于直线对称的点为，，，，，如表： ______，______ ______，______ 补全表格； 在图中描出表中各对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为； 若双抛图形与直线恰好有三个交点，则的值为______； 若双抛图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为______． 【探究问题】 若双抛图形与直线恰好有三个交点，则的值为______用含的式子表达； 若双抛图形的函数值随着的增大而增大，求出的取值范围用含的式子表达． 9.(2024·江西省九江市·一模)定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”如图，抛物线与其“衍生直线”交于，两点点在轴上，点在点的左侧，与轴负半轴交于点． 求抛物线和“衍生直线”的表达式及点的坐标． 如图，抛物线的“衍生直线”与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形为正整数，使得点，，，，在“衍生直线”上，点，，，，在轴负半轴上． 直接写出下列点的坐标： ______， ______， ______， ______． 试判断点，，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 10.(2024·江西省抚州市·一模)如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点直线过抛物线的顶点． 求抛物线的函数解析式； 若直线与抛物线交于点，与直线交于点． 当取得最大值时，求的值和的最大值； 当是等腰三角形时，求点的坐标． 11.(2024·江西省鹰潭市·一模)如图，小明和小亮分别站在平地上的、两地先后竖直向上抛小球、抛出前两小球在同一水平面上，小球到达最高点后会自由竖直下落到地面、两球到地面的距离和与小球离开小明手掌后运动的时间之间的函数图象分别是图中的抛物线、已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同． 分别求出、与之间的函数表达式． 在小球离开小亮手掌到小球落到地面的过程中． 当的值为______时，两小球到地面的距离相等； 当为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？ 第二部分 几何部分 12.(2024·江西省上饶市·一模)平面上有个点，它们不在同一直线上，过其中个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为(    ) A. B. C. D. 13.(2024·江西省南昌市·一模)如图是四张完全相同的三角形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的矩形，则满足题意的三角形的个数是(    ) A. B. C. D. 14.(2024·江西省宜春市·一模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”在一次数学活动课上，小明用边长为的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为的是(    ) A. B. C. D. 15.(2024·江西省宜春市·一模)在中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为______． 16.(2024·江西省南昌市·一模)是等边三角形，点与点在的同侧，连接、，是等腰直角三角形，则的度数为           ． 17.(2024·江西省抚州市·一模)矩形中，为对角线的中点，点在边上，且当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 18.(2024·江西省上饶市·一模)如图，在三角形纸片中，，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为______． 19.(2024·江西省宜春市·一模)如图，面积为的▱中，对角线平分，过点作交的延长线于点，，则的值为______． 20.(2024·江西省鹰潭市·一模)在菱形中，，，点，分别是，的中点，动点从出发，沿着顺时针方向运动到点，当为直角三角形时，的长度为______． 21.(2024·江西省宜春市·一模)如图，是的外接圆，，是的直径，是延长线上的一点，且． 求证：是的切线； 若． 求的半径； 是劣弧上的一个动点，过点作，分别交、的延长线于、两点，连接，当和之间是什么位置关系时，线段取得最大值？判断并说明理由． 22.(2024·江西省抚州市·一模)如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点． 求证：是的切线； 当的半径为，时，求的长． 23.(2024·江西省南昌市·一模)中，，为边上一点．经过点，与，两边分别交于点，，连接． 如图，若，，则______． 如图，平分，交于点，经过点． 求证：为的切线； 若，的半径为，求的长． 24.(2024·江西省九江市·一模)如图，在四边形中，，，，，，，点以秒的速度在线段上由向匀速运动，点 同时以秒的速度在线段上由向匀速运动，设运动时间为秒． 求证：∽； 求的长； 试探究：可以为等腰三角形吗？若能，求的值；若不能，请说明理由． 25.(2024·江西省九江市·一模)新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形． 例如：三边的长分别为，，因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 已知是比例三角形，，，求的长． 【问题探究】 如图，是矩形的边上的一动点，平分，交边于点，． 求证：∽． 求证：是比例三角形． 【问题延伸】 如图，在的条件下，当，时，点与点能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 26.(2024·江西省宜春市·一模)定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”如图，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． 概念理解 在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是______ A.平行四边形菱形矩形正方形 等补四边形中，若：：：：，则 ______； 如图，在四边形中，平分，，求证：四边形是等补四边形． 探究发现 如图，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 27.(2024·江西省上饶市·一模)课本再现： 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且求证：下面是小涵同学的证明过程： 证明：是等边三角形， ，． ， ≌， ． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______； 迁移应用： 如图，将图中的延长至点，使，连接，利用中的结论完成下面的问题． 求证：； 若，试探究与之间的数量关系． 28.(2024·江西省鹰潭市·一模)在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张纸进行折纸． 下面给出了“遥遥领先”小组利用半张纸矩形的长：宽折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理． 折法一：如图，将矩形的顶点与边上的任意一点重合对折，折痕为求证：是等腰三角形． 在折法一的条件下，若是的中点，求的值． 折法二：如图，先折出一个正方形，折痕为，再将点折到上并让折痕过点，折痕为，点的对应点为点求证：． 29.(2024·江西省南昌市·一模)【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值我们知道：如图，如果，则点为线段的黄金分割点． 【问题发现】如图，点为线段的黄金分割点，请直接写出：的值为______； 【尺规作黄金分割点】如图，在中，，，，在上截取，在上截取，求的值； 【问题解决】如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接；再次折叠正方形使与重合，点对应点，得折痕，试说明：点是线段的黄金分割点． 30.(2024·江西省抚州市南城县·一模)综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图所示方式摆放，其中点与点重合标记为点当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：请你解答老师提出的问题； 深入探究：老师将图中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． “善思小组”提出问题：如图，当时，过点作交的延长线于点，与交于点试猜想线段和的数量关系，并加以证明请你解答此问题； “智慧小组”提出问题：如图，当时，过点作于点，若，，求的长请你思考此问题，直接写出结果． 参考答案 1.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴为， 由抛物线与轴的交点知抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 则一元二次方程的两根为，，故正确，符合题意； 根据题意，设，， 由抛物线的对称轴为知，得， ，故正确； 由题意知，当时，， 而当抛物线开口向上时，若，则，即， 当抛物线开口向下时，若，则，即，故错误，不符合题意； 抛物线关于轴对称的抛物线为，即，故正确，符合题意； 综上，正确的是， 故选：． 由抛物线的对称轴及其与轴的交点，利用对称性可得另一交点即可判断；根据抛物线的对称性及对称轴可得的长，即可判断；根据抛物线与轴的交点及二次函数的增减性，结合开口方向可判断；根据关于轴的对称的图形横坐标相等、纵坐标为相反数可判断． 本题主要考查抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：连接，作轴于， 的面积是，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ． 故选：． 连接，作轴于，根据三角形中线平分面积求出三角形的面积，再求证出三角形是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出即可． 本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：对称轴为直线， ， ， ，故错误， 抛物线开口向上， ， 对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 即，故错误， 抛物线与轴交于，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 是关于的一元一次方程的一个根，故正确， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，，故错误， 故选：． 根据对称轴判断，根据图象特征判断，根据对称轴及抛物线与轴的交点判断，根据抛物线的性质判断． 本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与轴的交点情况，熟练掌握上述知识点是解决本题的关键． 4.【答案】或或  【解析】解：因为正方形的边在轴正半轴上，边在第一象限，且点、， 所以画图如下： 当正方形绕点顺时针旋转， 点的对应点恰好落在轴正半轴上时，如图， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 点的对应点的坐标为； 点的对应点恰好落在轴负半轴上时，如图， ， 点的对应点的坐标为； 点的对应点恰好落在轴负半轴上时，如图， 同可知： ≌， ，， ， 点的对应点的坐标为； 综上所述：点的对应点的坐标为或或． 故答案为：或或． 根据题意画出图形，分种情况进行讨论：点的对应点恰好落在轴正半轴上时，点的对应点恰好落在轴负半轴上时，点的对应点恰好落在轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点的对应点的坐标． 本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．是中考填空压轴题． 5.【答案】解：把代入得， 反比例函数解析式为； 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为， 轴，点的坐标为， 点的纵坐标为， 当时，，解得，则， ， ，解得， ， 当时，，解得， ， ．  【解析】把点代入中求出得到反比例函数解析式； 先利用待定系数法求直线的解析式为，再表示出，利用三角形面积公式得到，解得，则，然后计算出点坐标，从而得到的长． 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设反比例函数解析式为常数，，然后把一组对应值代入求出得到反比例函数解析式． 6.【答案】               【解析】解：当时，，， 又四边形是正方形， ，， ， ， ， ∽， ， ， ，则， 的面积， 故答案为：，； 当点由点运动到点时，， ∽， ，即， ， ， 的面积， 故答案为：，； 时，，时，，时，，完成列表中的填空如下， 在图的坐标系中绘制出函数的图象； ， ，解得， 故答案为：； 当点由点运动到点时，， ， 的面积为的一半 ，解得， ， ． 证明∽，可得，则，利用三角形的面积公式即可求解； 由题意得，根据相似三角形的性质可得，则，利用三角形的面积公式即可求解； 根据关于的函数解析式计算，，时的值，可完成列表中的填空，绘制出函数的图象； 时，求出符合题意的值即可； 根据的面积为的一半以及三角形的面积公式建立方程，求出的值即可． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是掌握二次函数的图象和性质． 7.【答案】  【解析】解：根据当和时，，得出抛物线的对称轴是：直线，故A错误． 图象过，， 可设抛物线为． 把代入可得：， 解得：． 二次函数的解析式为：． 又， 当时，有最小值，故B错误． 又由题意，当时，随的增大而减小，故C错误． 抛物线与轴的交点为， 时，，则点 ， ． 又对称轴是直线，  ，故D正确． 故选：． 由得，抛物线的解析式为． 如图，连接，轴，， 当时，点到的距离为， ， 又，， 当或时，点到直线的距离为，， 而 ，， ， 故函数图象如图轴上方部分所示， 不存在最大值，从图象可知：当或时，的值可以无限大． 依据题意，根据表格数据进行分析，然后逐个进行判断可以得解； 依据题意，由即可判断得解； 依据题意，当时，点到的距离为，当或时，点到直线的距离为，利用三角形面积得出与的函数关系式，利用图象得出是否存在最大值． 本题主要考查了二次函数的对称性以及利用交点式求函数解析式和三角形面积求法等知识，利用数形结合得出函数值的情况是解题关键． 8.【答案】          或    【解析】解：由题意得：，和，关于直线对称， 故：， 故答案为：，，，； 根据函数的对称性画图如下： 通过图可知，当时，和有个交点， 当时，， 即：， 故答案为：； 从图象看，双抛图形的函数值随着的增大而增大，此时的取值范围为：或， 故答案为：或； 由知，与关于直线对称，且当时，， 时与直线恰好有个交点， 故答案为：； 设抛物线的顶点为点，点关于直线的对称点为， 抛物线：， 顶点的横坐标为，对称点的横坐标为， 当时，若双抛图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为：或， 当时，若双抛图形的函数值随着的增大而增大，则的取值范围为：或． 由题意得：，和，关于直线对称，即可求解； 根据函数的对称性即可画图； 通过图可知，当时，和有个交点，即可求解； 观察函数图象即可求解； 由知，与关于直线对称，即可求解； 分两种情况讨论：当时，当时，若双抛图形的函数值随着的增大而增大，求得的取值范围． 本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，点的对称性，等边三角形的性质等，解题关键是熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识． 9.【答案】        【解析】解：抛物线的“衍生直线”为， ， 将点、点代入抛物线， ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，解得或， ； 当时，， ， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 故答案为：，，，； 点，，在同一条直线上，理由如下： 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 在直线上， 点，，在直线上． 根据新定义直接可求抛物线的“衍生直线”为，再由待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据正方形的性质分别求出各点，归纳出一般规律即可； 求出直线的解析式为，再验证在直线上即可． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，能够通过特殊到一般，归纳出点的坐标规律是解题的关键． 10.【答案】解：抛物线与轴交于和两点， 抛物线对称轴为直线， 在中，令得， 抛物线顶点为， 设抛物线函数解析式为， 将代入得： ， 解得， 抛物线函数解析式为； 如图： 在中，令得， ， 由，得直线解析式为， ，， ， ， 当时，取最大值， 的值为，的最大值为； ，，， ，，； 若，则， 解得与重合，舍去或， ； 若，则， 解得舍去或或不符合题意，舍去， ； 若，则， 解得舍去或或不符合题意，舍去， ； 综上所述，的坐标为或或．  【解析】由抛物线与轴交于和两点，得抛物线对称轴为直线，即可得抛物线顶点为，设抛物线函数解析式为，将代入可得，故抛物线函数解析式为； 求出，得直线解析式为，故E，，得，根据二次函数性质可得答案； 由，，，得，，；分三种情况列方程可解得答案． 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 11.【答案】解：设与之间的函数表达式为． 顶点的坐标是， ， 因为点在抛物线上， 所以点的坐标满足， 即，解得， ， 两抛物线的开口大小相同， 设与之间的函数表达式为， 因为点和都在抛物线上， 所以点和的坐标满足， 即，解得， ； ； 令，则． 解方程得，不合题意，舍去， 在小球离开小亮手掌到小球落到地面这个过程中，． 当时，两球到地面的距离之差， ， 随的增大而减小． 当时，有最大值，最大值是， 当时，两球到地面的距离之差， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值，最大值是， ． 当的值为时，两球到地面的距离之差最大，最大是．  【解析】【分析】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉二次函数的图象和性质是本题解题的关键． 用待定系数法即可求解； 令，即可求解； 在小球离开小亮手掌到小球落到地面这个过程中，当时，两球到地面的距离之差，进而求解；当时，同理可得；当时，有最大值，最大值是，进而求解． 【解答】 见答案； 令，则，解得， 故答案为：； 见答案． 12.【答案】  【解析】解：分为三种情况：当四点都在同一个圆上时，如图，此时， 当三点在一直线上时，如图， 分别过、、或、、或、、作圆，共个圆，即， 当、、、四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过、、或、、或、、或、、作圆，共个圆，即此时， 即不能是， 故选：． 分为三种情况：当四点都在同一个圆上时，当三点在一直线上时，当、、、四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆画出图形，即可得出答案． 本题考查了确定圆的条件，主要考查学生的动手操作能力和画图能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目，有一定的难度． 13.【答案】  【解析】解：所作图形如图所示， 四种图都可以拼一个与原来面积相等的矩形， 故选：． 根据图形可得甲可以拼一个与原来面积相等的矩形，图乙可以拼一个与原来面积相等的矩形； 本题考查了图形的拼剪，解答本题的关键是根据题意作出图形． 14.【答案】  【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积， 平行四边形面积为，中等的等腰直角三角形的面积为， 最大的等腰直角三角形的面积为，则 A、阴影部分的面积为，不符合题意； B、阴影部分的面积为，不符合题意； C、阴影部分的面积为，不符合题意； D、阴影部分的面积为，符合题意． 故选：． 先求出最小的等腰直角三角形的面积，可得平行四边形面积为，中等的等腰直角三角形的面积为，最大的等腰直角三角形的面积为，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解． 本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影部分的面积． 15.【答案】或或  【解析】解：在中， ，， ， ，，． 如图中， 当时， 在和中， ， ≌， ， ． 如图中，当时，同理可证≌， ， ． 如图中，当时，同理可证≌， ， 故答案为：或或． 分三种情形讨论如图中，当时，如图中，当时，如图中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 16.【答案】或或  【解析】解：是等边三角形， ，， 如图，当为斜边时，，， ，， ； 如图，当为斜边时，，，则， ，， ≌， ， ； 如图，当为斜边时，，，， ， ， ， ， ． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 分三种情况：当为斜边时；当为斜边时，当为斜边时，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质，即可求解． 本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 17.【答案】或  【解析】解：分两种情况：如图，当时， 则， 四边形是矩形， ， ， ， 为对角线的中点， ， ， ， ； 如图，当时， 则， 为对角线的中点， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 分两种情况，当时，当时，根据矩形的性质和勾股定理分别求出的长，即可得出结论． 本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 18.【答案】或或  【解析】解：，，， ，， 如图：时， 由折叠的性质知，， 是直角三角形的斜边上的中点， ， 此时点与重合， 折叠， ； 如图：时， 由折叠的性质知，，，， ，， ，， ， 此时点与点重合， 即； 如图：时， ，， ， 由折叠的性质知，，， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， 解得， 综上：当为等腰三角形时，的长为或或， 故答案为：或或． 先得出，，再进行分类讨论，进行作图，结合直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，逐一分析解答． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：连接交于点， 平分， ， ▱中，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ▱的面积为， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 先证明四边形是菱形，由面积可求出长，再由勾股定理得到的长，进而即可得证． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定，正确作出辅助线思考问题． 20.【答案】或或．  【解析】解：四边形为菱形，， ， ， ， ， ， ． ，分别是，的中点， ，， ． 连接，是等边三角形； 当点在边上时；如图， 当点是的中点时，为直角三角形， 此时， ； 当点在边上时；如图， 连接， 当点是的中点时，为直角三角形， 此时， 连接，，， ，， 是等边三角形， ， 由勾股定理得， 由勾股定理得：； 当点在边上时，连接，，，，，如图， 当点是的中点时，此时， ，为的中位线，为的中位线， ，， ， 为直角三角形， ，， 是等边三角形， ， 由勾股定理得； 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 本题分三种情况：当点在边上时，当点在边上时，当点在边上时，需分别画出图形，再求值． 本题主要考查了学生对于菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识的掌握情况，难度较大，需要认真作答． 21.【答案】解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 设圆的半径为，则， 由知，，， ， 解得：； 如图， 当垂直平分时，线段取得最大值； 理由如下： 由知，，， 可求， 过点作，垂足为，交于点， ， ，∽， ， ， 易知：是定值，所以，随着的增大而增大， 当取最大值时，取最大值， 当点为劣弧的中点时，最大，此时垂直平分．  【解析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，结合等腰三角形的性质，可求； 设出半径，表示出，运用三角函数建立方程即可求解； 过点作，垂足为，交于点，推理出“随着的增大而增大，当取最大值时，取最大值”即可求解． 此题主要考查圆的综合问题，会证明圆的切线，会运用方程思想解决问题，熟悉等腰三角形的性质并灵活运用，会结合相似三角形的性质进行推理是解题的关键． 22.【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线； 解：是的直径， ， ， ， ， ， ， 解得：， ．  【解析】根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； 根据三角函数的意义及勾股定理求解． 本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键． 23.【答案】 证明：如图中，连接   ，， 平分，，， ，． 又，， ，又是的半径，为的切线．   解：如图中，过作于点． 由垂径定理，得：，又，， ，在中，由勾股定理，得：， 的半径为，，，． ， 四边形为矩形， ．  【解析】证明是等腰直角三角形可得结论． 如图中，             是直径，，，，， 是等腰直角三角形， 连接，欲证明是切线，只要证明． 过作于点证明四边形四边形为矩形，求出，可得结论． 本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 24.【答案】证明：， 又，， ， ∽； 解：在中，， 由知，∽， ， 即  解得：； 能．由运动知，，， 若为等腰三角形，可分如下三种情况： 当 时，，解得秒． 当时，如图，过点作的垂线，垂足为， 则此时∽ ，即 ， 解得：； 当时，如图，过点作的垂线，垂足为 则此时∽ ，即 ， 解得： 综上所述：当为等腰三角形时，的值为秒或秒或秒．  【解析】利用平行线判断出，即可得出结论； 先根据勾股定理求出，由知，∽，得出，即可得出结论； 分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论． 此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 25.【答案】解：是比例三角形，且，， 当时，得，解得． ， 不符合题意，舍去； 当时，得，解得． ， 不符合题意，舍去； 当时，得，解得负值已舍去， 当时，是比例三角形． 证明：四边形是矩形， ， ． 又， ∽． 证明：由知∽， ， 即． ， ． 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． 能．当点与点重合时，， ， ， ， ∽， ． ，， ， 在中，， 即，解得或舍去． ．  【解析】分三种情况可得出答案； 证出由相似三角形的判定可得出答案； 由知∽，得出，证出，则可得出结论； 证明∽，得出由勾股定理可得出答案． 本题是相似形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、新定义比例三角形以及分类讨论，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 26.【答案】    【解析】解：平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形， 故不选A； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形， 故不选B； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形， 故不选C； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故答案为：； 解：等补四边形对角互补， ：：：：：：， 又， ， 故答案为：； 证明：如图， 在上截取，连接， 在和中， ， ≌， ，． ， ． ． ， ， 又， 四边形是等补四边形； 解：平分，理由如下： 如图，过点分别作于，于， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ≌， ， 是的平分线在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上， 即平分； 解：如图所示，连接，                    图 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分， ， 由知，平分， ， ， 又， ∽， ， 即， ． 判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；根据角的对称性，作与全等的三角形或与全等三角形； 根据“等补四边形“的条件及，构造等角，从而证明三角形全等； 连接，先证，推出，再证，利用相似三角形对应边的比相等可求的长． 本题考查在新定义的情况下，转化为学过的四边形和三角形全等等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化为三角形全等． 27.【答案】  【解析】解：≌， ， ， ， 故答案为：； 证明：由知， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， 又，， ≌， ，， ， ， ， ； 解：， ∽， ， ， ， 又， ， ； 由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； 证明≌，求出，即可得到答案； 证明∽，根据三角形相似的性质即可得到答案． 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 28.【答案】证明：由折叠的性质得． 四边形是矩形， ， ， ， ， 是等腰三角形； 解：如图，过点作于点． 四边形是矩形， ，，， ， 设，， 是的中点， ， ． 的值为； 证明：设，， 四边形是正方形， ， 由折叠的性质得，，， ， ， 由知， 由折叠的性质得， ， ．  【解析】由矩形的性质和折叠的性质可以得出，即可得出结论； 设，，求出，过作于，则，根据锐角三角函数的定义即可求解； 分别求出、的长，即可得出结论． 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和折叠的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 29.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 解得：或小于，舍去， ：：：：； 故答案为：； 解：在中，，， ， ， ， ， ； 证明：设与交于点，过作于，如图： 由翻折的性质可知，，，，，， ，， 是的中点，， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， 是的黄金分割点． 根据黄金分割点的定义，以及线段间的和差关系，列出一元二次方程，求解即可； 根据勾股定理求出的长，然后求出的长即可求解； 设与交于点，过作于，先根据翻折的性质，得出的长，以及，，再根据勾股定理求出的长，然后根据正弦的定义求出的长，最后根据三角形中位线定理，求出的长，即可套用黄金分割点的定义论证结论． 本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数的定义，三角形中位线定理以及翻折的性质，题目难度适中． 30.【答案】解：结论：四边形为正方形．理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． ≌， ． 矩形为正方形； 结论：． 理由：， ， ， ， ，即， ， ， 由得， ． 解：如图：设，的交点为，过作于， ≌， ，，，， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由勾股定理得， ， ， ，即， ， ，，， ∽， ， ，即的长为．  【解析】先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； 由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论； 设，的交点为，过作于，则易得，点是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 第1页，共59页 学科网（北京）股份有限公司 $$