2024年九年级数学中考复习 第 18 课时与圆有关的计算讲义

第 18 课时与圆有关的计算 B要点归纳 知识点 名师点睛 弧长与面积 会计算圆弧的弧长、扇形的面积以及组合图形的周长和面积 正多边形与圆 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，能将正多边形问题转化为直角三角形问题来解决 圆柱与圆锥 认识圆柱和圆锥的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算方法 e 考试重点 1.圆弧弧长与扇形面积的计算………………………………………………………………… 2.扇形与圆锥侧面之间的相互转化⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3.与圆有关的阴影部分面积的计算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 典型母题 母题1 如图,在 Rt△ABC中,已知∠B=90°,点O在边AB 上,以点O为圆心,OA 为半径的圆经过点C,过点C作直线MN,使∠BCM=2∠A. (1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若OA=4,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积. 【解答】 (1) MN是⊙O的切线.理由:连接OC.因为OA=OC,所以∠OAC A=∠OCA.因为∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,∠BCM=2∠A,所以∠BCM=∠BOC.因为∠B=90°,所以∠BOC+∠BCO=90°,所以∠BCM+∠BCO=90°,所以OC⊥MN,所以MN是⊙O的切线. (2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°,所以∠AOC=120°. 在 Rt△ACO 中,作 OM⊥AC 于点G.所以AC=2AG=2×4×cos∠OAC=4 ,OG=2,所以 所以 所以图中阴影部分的面积为 【要点剖析】 本题考查了圆的切线的判定、弓形面积的计算，掌握切线的判定方法以及割补法是解题的关键. 母题 2 (宜昌中考题)如图,已知CD是⊙O的弦,AB 是直径,且CD∥AB.连接AC、AD、OD,其中AC=CD.过点 B的切线交CD 的延长线于点E. (1) 求证:DA 平分∠CDO; (2)若AB=12，求图中阴影部分的周长之和. 【解答】 (1)因为CD∥AB,所以∠CDA=∠BAD.又因为AO=OD,所以∠ADO=∠OAD,所以∠ADO=∠CDA,所以 DA 平分∠CDO.(2)如图,连接BD.因为AB是直径,所以∠ADB=90°.因为CA=CD,所以∠DAC=∠CDA.又因为CD∥AB,所以∠BAD=∠CDA,所以∠BAD=∠CAD=∠CDA,所以 又 因为∠BOA=180°, 所以∠BOD=60°,所以∠BAD = 在Rt△BDA 中,∠BAD=30°,所以. 因为过点 B的切线交 CD的延长线于点E,所以AB⊥BE,所以∠DBE=∠ABE-∠ABD=30°.又因为CD∥AB,所以CE⊥BE,所以 所以 =2π.又 所以图中阴影部分周长之和为( 【要点剖析】 本题考查了圆的切线、弧长公式、三角函数、圆周角定理及推论等，关键是通过适当的辅助线将问题转化. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷 如图所示的扇形半径为5cm，用它围成一个圆锥的侧面，若该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是 ( ) A. 3πcm B. 4πcm C. 5πcm D. 6πcm 必刷2 如图,在扇形 AOB中,已知∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是AB的中点,点 D 在OB上，点E在OB 的延长线上，则当正方形CDEF 的边长为2 时，阴影部分的面积为 ( ) A. 2π-4 B. 4π-8 C. 2π-8 D. 4π-4 必刷 3(玉林中考题)如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S₁，正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为 S₂，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 1 必刷 4 如图是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角大小为 ( ) A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 必刷5 如图,已知点 A、B、C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. π-4 C. π-2 必刷6 以半径为1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ( ) 必刷 7 如图,在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,AC=2 ，以点C为圆心，CB 的长为半径画弧，与边AB交于点 D，将BD绕点D 旋转 180°后点 B 与点 A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为 . 必刷8如图，已知圆锥的高为 ，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为 . 必刷9 如图，已知⊙O的半径为2，A 为⊙O外一点.过点A 作⊙O的一条切线AB，切点为B. AO的延长线交⊙O于点C.若∠BAC=30°,则劣弧BC的长为 . 必刷10 如图，已知△ABC是等边三角形，AB=2，分别以A、B、C为圆心，以 2为半径长作弧，则图中阴影部分的面积是 . 必刷11 如图，已知AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 . 必刷12 如图,已知正方形ABCD 内接于⊙O,M为 的中点,连接BM、CM. (1) 求证:BM=CM; (2) 当⊙O的半径为2时,求BM的长. 必 刷 提 优 题 必刷13 如图,在Rt△ABC中,已知∠A=30°,BC=2 ，以直角边 AC为直径作⊙O交AB 于点D，则图中阴影部分的面积是 ( ) 必刷14 如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A、B、C在圆周上.将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ( ) A. 12cm B. 6cm 必刷15 如图，在等腰直角三角形ABC中，已知. ，点 P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M为PC的中点.则当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M运动的路径长是 ( ) B. π D. 2 必刷16 如图,已知⊙O的半径为2,点 A、C在⊙O上,线段 BD经过圆心O,∠ABD=∠CDB= 则图中阴影部分的面积为 . 必刷17 如图,在⊙O中,已知半径OA⊥OB,过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点,且 以O为圆心，OC为半径作( 交OB于点E. (1) 求⊙O的半径OA 的长; (2)计算阴影部分的面积. 必刷18 如图,已知AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,D为⊙O上一点,( ,延长 CD交 BA的延长线于点 E. (1) 求证:CD是⊙O的切线; (2) 连接OC,交 BD于点 F,若OF=2,∠E=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π) 必刷19 如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为 的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点 F，连接DA. (1) 求证:EF为⊙O的切线; (2)若 求阴影区域的面积.(结果保留根号和π) 必刷20 在等腰三角形ABC中,已知AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB、AC相交于点D、E,过点 D 作DF⊥AC,垂足为 F. (1) 求证:DF 是⊙O的切线; (2)分别延长CB、FD,相交于点G,∠A=60°,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积. 第 18 课时 与圆有关的计算 1.【解答】 D 【要点剖析】 本题考查了圆锥侧面展开图，解决问题的关键是知道扇形的半径(圆锥的母线)、圆锥的高、圆锥底面半径构成直角三角形.本题可先利用勾股定理求出圆锥的底面半径为3，然后再利用周长公式求出底面周长. 2.【解答】 A 【要点剖析】 连接OC,根据∠AOB=90°,C是AB的中点，得△COD是等腰直角三角形，然后用S扇形CCB—S△OCD求得阴影部分的面积. 3.【解答】 B 【要点剖析】 化整为零，正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和S₁，与正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和S₂的比，可以归为一个圆中的空白部分的扇形SA，与阴影部分的扇形SB的比，算出两个圆心角，进行比较即可. 4.【解答】 B 【要点剖析】 圆锥的主视图和左视图是一样的，数字“6”是底面直径，数字 是圆锥的高，由勾股定理可以求出圆锥的母线9.然后利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即 所以 所以n=120. 5.【解答】 C 【要点剖析】 根据同弧所对圆心角的度数等于圆周角的2倍,可得∠BOC=90°,根据S扇形BOC—S△BCC可求图中阴影部分的面积. 6.【解答】 D 【要点剖析】 本题首先求出圆内接正三角形、正方形和正六边形的边心距分别为- , , 然后再根据勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，进而求出三角形的面积. 7.【解答】 【要点剖析】 再由BD=AD,得 BD=AD=CD. 又 BC=CD,所以 BD=BC=CD,所以△BCD是等边三角形.因为. 所以 BC=2,问题获解. 8.【解答】 2π 【要点剖析】 由条件可知，底面圆的半径为1，母线长为2，由公式 可知 ·2=2π. 9.【解答】 4π/3 【要点剖析】 连接OB，由切线的性质求出∠BOC的度数 120°，然后代入弧长计算公式求解. 10.【解答】 【要点剖析】 用扇形的面积减去等边三角形的面积再乘以3就是阴影部分的面积. 11.【解答】 【要点剖析】 本题考查了不规则图形面积的计算，将不规则的图形转化成规则的图形是解题的关键.① 连接OC、OD、BD，得两个全等的等边三角形;② 可证CD∥AB,△BCD与△OBD等底等高，面积相等；③ 图中阴影部分的面积与扇形BOD 的面积相等. 12.【解答】 (1) 因为四边形 ABCD 为正方形，所以AB=CD,所以 因为 M 是AD的中点，所以 所以.BM=CM. (2)因为四边形 ABCD 为正方形,所以∠BOC=90°,所以∠BOM=135°.根据弧长公式计算BM的长为 π. 13.【解答】 A 【要点剖析】 连接OD,过点 D作DE⊥AC,则 根据题意分别求出三角形的底和高、扇形的圆心角的半径，即可求出阴影部分的面积. 14.【解答】 C 【要点剖析】 要计算圆锥的底面半径，必须知道此圆的周长，而此圆的周长正好等于弧长BC；而要求弧 BC 的长需要知道它的半径AC 或AB,所以要连接 BC.因为∠A=90°,所以 BC=24,进而求解. 15.【解答】 B 【要点剖析】 取 AB的中点 E,连接 PE、CE.由题意可知， 连接ME,则ME⊥PC.所以点M在以CE 为直径的圆上运动.又因为点 P 沿半圆从点 A 运动至点B，所以对应的点 M即从 AC 的中点运动至 BC 的中点，它运动的路径是一个半圆，故点 M运动的路径长是 故选择B. 16.【解答】5π/ 【要点剖析】 连接AO、CO，通过计算可以证明 得到最后只要求出∠AOC的度数后代入扇形面积公式即可. 17.【解答】 (1) 连接OD,在Rt△OCD中,设半径为x，利用勾股定理即可求得x的值为 2.(2) 由图形可得 ((S扇形AOD—S△COD)，分别求出各部分面积即可求解，阴影部分的面积为 18.【解答】 (1) 连接OD.因为 AB 是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,所以∠OBC=90°.因为OD=OB,所以∠ODB=∠OBD.因为CD=CB,所以∠BDC=∠DBC,所以∠BDC+∠ODB=∠DBC+∠OBD,即∠ODC=∠OBC=90°,所以CD是⊙O 的切线.(2) 由(1)知,∠ODE=∠ODC.因为∠E=30°,所以∠EOD=60°,所以 .因为OD=OB,CD=CB，所以 OC 是线段BD 的垂直平分线，所以 在Rt△OFD中,OF=2,所以OD=4,DF=2 则, 19.【解答】 (1) 连接 OD.因为 D为BC的 中点,所以∠CAD=∠BAD. 因为 OA=OD,所以∠BAD=∠ADO,所以∠CAD=∠ADO.因为 DE⊥AC,所以∠E=90°,所以∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°,所以OD⊥EF,所以 EF为圆O 的切线.(2) 连接OC、CD.因为 DA=DF,所以∠BAD=∠F,所以∠BAD=∠F=∠CAD.又因为∠BAD+∠CAD+∠F=90°,所以∠F=30°,∠BAC=60°.因为OC=OA,所以△AOC为等边三角形,所以∠AOC=60°,∠COB=120°.因为OD⊥EF,∠F=30°,所以∠DOF=60°.在Rt△ODF中, 所以 .在 Rt△AED 中, ∠CAD=30°,所以I 因为 ∠DOF=60°,所以△COD 为正三角形,易证CD∥AB.故 S△ACD =S△COD,所以 S阴影 = S△AED — 20.【解答】 (1) 连接OD.因为 AC=BC,OB=OD,所以∠ABC=∠A,∠ABC=∠ODB,所以∠A=∠ODB,所以OD∥AC.因为 DF⊥AC,所以 DF⊥OD.因为OD是⊙O的半径,所以DF是⊙O的切线.(2) 因为AC=BC,∠A=60°,所以△ABC是等边三角形,所以∠ABC=60°.因为OD=OB,所以△OBD是等边三角形,所以∠BOD=60°.因为 DF⊥OD,所以∠ODG=90°,所以∠G=30°,所以OG=2OD=2×6=12,所以 所以阴影部分的面积=△ODG的面积-扇形OBD的面积= 学科网（北京）股份有限公司 $$