精品解析：云南省大理白族自治州祥云县祥云祥华中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

祥云祥华中学2023-2024学年下学期中考试 高一数学测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 2. 在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 6. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 7. 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ） ①圆台的母线长为3； ②球的半径为； ③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为； ④点的轨迹的长度是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在中，角所对的边分别为，给出以下4个命题： ①若，则 ②若，则一定为直角三角形 ③若，则外接圆半径为 ④若是锐角三角形且，则的取值范围为 则其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 10. 今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ） A. 《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数 B. 《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差 C. 《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差 D. 《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数 11. 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示，，，为的中点，为的中点，则在原直三棱柱中，下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 几何体和直三棱柱的体积之比为 D. 当时，与平面所成的角为 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 如图，在离地面高800的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度_________. 13. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论： ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有______. 14. 在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为__________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中i为虚数单位． （I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （II）若z满足，求m的值． 16. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，. （1）求三棱锥的体积； （2）若是侧棱的中点，求二面角的余弦值. 17. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且． （1）求证：； （2）若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围． 18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差． 19. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． （3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥云祥华中学2023-2024学年下学期中考试 高一数学测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式：计算即得. 【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量在向量上的投影向量为：，即， 因，则，，则向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 2. 在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系： 则， 设，则 且， ，解得， ， 在矩形中，为的中点， 所以，由， 所以， ， 故选：D. 3. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件利用正弦定理得的关系，由余弦定理可得，结合三角形面积公式求得的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理得， 所以， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解. 4. 设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】， 因为为纯虚数， 所以有， 故选：D 5. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】找出满足条件的随机数组，根据古典概型概率公式可得. 【详解】由10组随机数知，4~9中恰有三个的随机数有569，989两组， 故所求的概率为． 故选：A 6. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可. 【详解】 由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且， ， 所以，故. 故选：D. 7. 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB＝1，CD＝2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P．以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ） ①圆台的母线长为3； ②球的半径为； ③将圆台的母线延长交的延长线于点，则得到的圆锥的高为； ④点的轨迹的长度是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由球体、圆台的结构特征及已知条件确定母线长、台高和球体的半径，再根据圆锥与圆台相关线段相似比求锥体高，进而求的轨迹的长度. 【详解】圆台上、下底半径分别为，设母线长为，高为，则球的直径为， 因为与半圆相切于点，则，所以，①正确； 过作于，则1， 所以，即球的半径为，②正确； 因为，易得，则，③错误； 过作于，延长与交于，则的轨迹以为圆心，为半径的圆． 作于，得，则，即，得， 所以，点的轨迹的长度是，④错误， 故选：B 8. 在中，角所对的边分别为，给出以下4个命题： ①若，则 ②若，则一定为直角三角形 ③若，则外接圆半径为 ④若是锐角三角形且，则的取值范围为 则其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理及二倍角余弦公式判断①，根据正弦定理及两角差公式化简得角的关系判断②，先根据余弦定理求得，然后利用同角三角函数基本关系求得，再利用正弦定理求解外接圆半径判断③，根据用余弦定理化简得到，再结合正弦定理化简得出，从而可得，从而可得，令，，求导，利用单调性求解范围即可判断④. 【详解】对于①：因为，所以， 所以，所以，为真命题； 对于②：因为，所以，所以， 且， 所以或（舍），又，可得， 所以一定为直角三角形，为真命题； 对于③：由及余弦定理可得， 所以，正弦定理可得， 解得，则外接圆半径为，为假命题； 对于④：因为，得，由余弦定理得， 所以，即， 由正弦定理得， 因为，则， 所以，即. 因为是锐角三角形，所以，，所以. 又在上单调递增，所以，则， 又，，，所以，所以， 则 ，令，则， 令，，故在上单调递增， 所以，所以的取值范围为，为真命题； 综上，真命题的个数为3个. 故选：C 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 二、多项选择题：本题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为6 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】利用向量平行的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B选项；根据向量减法的三角形法则，结合反向检验等号成立的条件，从而判断C；利用向量数量积运算法则得到，进而求得，从而判断D. 【分析】对于A，因为，， 则，解得，故A正确； 对于B，因为，则，解得， 所以，解得，故B错误； 对于C，因为， 而，当且仅当反向时，等号成立， 此时，解得或， 当，同向，舍去； 当，满足反向；故C正确； 对于D，若，则， 即，所以， 则 ，故D正确. 故选：ACD 10. 今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ） A. 《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数 B. 《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差 C. 《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差 D. 《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图表信息逐一判断即可. 【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确; 由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确. 《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误； 因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数， 因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数， 《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确. 故选：ABD. 11. 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示，，，为的中点，为的中点，则在原直三棱柱中，下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 几何体和直三棱柱的体积之比为 D. 当时，与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面位置关系可判断A，B选项，根据几何体的体积计算方法即可判断C选项，利用定义法可判断线面角，即可判断D选项 【详解】如图，将展开的平面图还原成立体图形， 对A选项，连接，为的中点，也为的中点，又为的中点，，，，，四点共面，故A选项正确； 对B选项，，棱柱为直三棱柱，易得平面，又平面，，又，四边形为正方形，，又，平面，又平面，，B选项正确； 对C选项，，分别为，的中点，， 几何体和直三棱柱的体积之比为， 故C选项错误； 对D选项，当时，又，且，，，，又由B选项的分析知平面，即为与平面所成的角，又，与平面所成的角为，故D选项正确． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 如图，在离地面高800的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故答案为：. 13. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论： ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】构造面面平行，寻找线面平行，可以判断①的对错；通过特殊位置，可以判断②是错误的；分析三棱锥的高是确定的，求底面积最大值，可得三棱锥体积的最大值，判断③的对错；根据公理，两个平面的交点在一条直线上，可得④是错误的. 【详解】对①：过作，交于，连接，则平面，因为点再上运动，故满足条件的直线有无数条.所以①正确； 对②：当与重合，为中点时，，所以长度取值范围是是错误的； 对③： 因为直线平面，所以到平面的距离为定值，是正方体体对角线的，所以当与重合时，底面积最大，此时的体积最大，为，所以③正确； 对④，当，位置确定时，线段的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应该是一条直线，所以④错误. 故答案为：①③ 14. 在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件可分析出球心为中点，再由确定点在半径为1的圆上，从而确定点到平面的距离为定值，求出的面积最大值，即可确定三棱锥的体积最大值. 【详解】 该三棱锥的外接球O为的中点，下证： 因为平面，平面，所以，所以， 又，即，所以， 即三棱锥的外接球球心为的中点，球半径. 点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足， 在△中，由正弦定理可得△的外接圆的半径为， 球心到平面的距离为， 因为为的中点，所以到平面的距离为， ， 要使三棱锥的体积最大，只需△的面积最大即可. 在△中由余弦定理可得： ， 所以，当且仅当时等号成立， ， 所以， 当且仅当时, 三棱锥的体积取到最大值. 故答案为：. 【点睛】本题两个关键点：一是通过空间中线线垂直确定球心位置，二是利用正弦定理确定点的轨迹，才能求得三棱锥体积最大值. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，其中i为虚数单位． （I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围； （II）若z满足，求m的值． 【答案】（I）m的取值范围是；（II）． 【解析】 【分析】（I）由实部小于0且虚部大于0，联立不等式组求解即可； （II）设出，先利用复数的共轭的概念和负数的乘法运算化简已知等式的左端，利用两个复数相等的充要条件可求出z的两个值,进而根据题设条件对应得到两个关于的方程组，分别求解即得． 【详解】解：（I）复数z在复平面内对应的点位于第二象限， ，解得：， 所以m的取值范围是； （II）设， ， ， 即 ， 或， 或. ， 当时，，无解； 当时，，解得， 综上可知：． 16. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，. （1）求三棱锥的体积； （2）若是侧棱的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可证得平面ABCD，所以四棱柱是正四棱柱，利用棱锥的体积公式求解可得答案； （2）取PC的中点，所以，又，所以为二面角的平面角，在直角中求解即可. 【小问1详解】 在正方形ABCD中，，又，且公用， 所以，所以，即 因为平面ABCD，所以平面ABCD． 所以四棱柱是正四棱柱． 所以. 【小问2详解】 是侧棱的中点，由（1）知，在直角中，， 在直角中，，在正方形ABCD中，， 所以为正三角形． 取PC的中点，连接AH，BH， 所以，且， 又在等腰直角中，，且， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在直角中，， 即二面角的余弦值为． 17. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且． （1）求证：； （2）若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围． 【答案】（1）证明：由余弦定理可得，        故，由正弦定理得．        所以在中，或．        若，又，故， 因为，所以，故不满足题意，舍去， 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化可得，即可利用三函数的性质求解， （2）根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中， 由正弦定理可得，即 所以 因为是锐角三角形，且， 所得， 所以． 所以线段BD长度的取值范围是． 18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差． 【答案】（1）中位数为，众数为 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求中位数及众数即可； （2）先根据分层抽样求出第四组和第五组抽取的人数，再求出第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数和方差，进而可得出答案. 【小问1详解】 由于， 所以这20人的年龄的中位数为：， 众数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图得各组人数之比为， 故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为， 则， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10． 19. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． （3）若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角． 【答案】（1） 如图所示，设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． （2）1 （3）45° 【解析】 【分析】(1)先证明平面得到； (2)将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解； (3)设，，可证得为二面角的平面角，可得，为直线与平面所成的角，可求得知大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面， 所以． 【小问3详解】 设点是与的交点，由（1）可知平面， 又，均在平面内，从而有，， 故为二面角的平面角，所以， 所以， 因为，所以为等边三角形． 不妨设菱形的边长为，． 则在直角中，，， ，所以， 因为平面，所以为直线与平面所成的角． 则， 所以直线与平面所成的角为45° 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $