精品解析：天津市和平区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

天津市和平区2023-2024学年七年级下学期期末 数学试卷 温馨提示： 1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页，试卷满分100分，考试时间100分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上． 第Ⅰ卷 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 2分，共 24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. －2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. － 2. 下列实数中，比3大的有理数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，小强在某校随机采访了8名七年级学生 B. 为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，采用普查的方式 C. 为了解神舟十八号飞船设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式 D. 了解海河水质，采用抽样调查的方式 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在x轴上，则点 所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中 点A对应直尺的刻度为7，将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为1，连接则四边形的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直 B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 C 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 8. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 一种苹果的进价是每千克元，销售中估计有的苹果正常损耗，为了避免亏本，商家所定售价至少为（ ） A. 元 B. 元 C. 2元 D. 元 10. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是 ，在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为5，则被墨水所覆盖的图形是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，同学们将平行于凸透镜主光轴（图中虚线表示主光轴）的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，由此发现凸透镜的焦点略有偏差，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ） A B. C. 1 D. 2 第Ⅱ卷 注意事项： 1、用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）； 2、本卷共13题，共76分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若，则整数a的值可以是__________．（写出一个值即可） 14. 为了解2024届本科生的就业状况，今年3月，某网站对2024届本科生的签约状况进行了网络调查．截至4月底，参与网络调查的8500人中，只有3000人已与用人单位签约，在这项网络调查中，样本容量是______． 15. 如图，直线相交于点O，平分，，若，则_____度． 16. 在等式 中，当时，；当时，；当时，．则______，______，_______． 17. 已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为______________； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，，与相交于点 F． （1）请用无刻度的直尺，过点C画一条与平行的线段（点 P在格点上），不写画法； （2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________． 三、解答题 （本大题共 7 小题，共 58 分，解答应写出演算步骤、解题过程或证明过程） 19. 解方程组 ． 20. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为______． 21. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲并直播，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课．这是中国空间站第二次太空授课，也是中国航天员第三次进行太空授课．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校1000名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成A、B、C、D四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n值为 ，a的值为 ，b的值为 ； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 ； （3）若规定学生竞赛成绩为优秀．请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 22. 如图， （1）已知，如图1，点C、D在直线上，．求证：． （2）如图2，，在（1）的条件下，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M． ①若，求的度数； ②若，则 （用α表示）． 23. 某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式，常规方式：不购买会员证，每次游泳付费n元．针对学生推出购买会员证的优惠方式：先购买会员证，每张会员证m元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费在n元的基础上打七折．小明购买了会员证，他游泳 10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元． （1）求m、n的值； （2）这个暑假，小明计划游泳不少于 25次，他选择哪种付费方式更合算？写出计算过程； （3）小强班里有一部分同学以购买会员证的方式来这家游泳馆游泳，一周后，小强统计，这些同学购买会员证和凭证游泳共花了 2400元，请你算一算：这些同学可能有多少名？ 24. 已知关于x，y的方程组 ． （1）当x、y互为相反数时， ； （2）已知，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 25. 如图1，点，，且满足 ． （1）直接写出点M、点N的坐标：M ，N ； （2）点P以每秒2个单位长度的速度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图1，当时，直线，交于第四象限的点D，已知点D的横坐标是3，求点 D的纵坐标； ②如图 2，当时，在线段 上任取一点E，连接，点 G 为的角平分线上一点，且满足 ．请将图补全，直接写出、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市和平区2023-2024学年七年级下学期期末 数学试卷 温馨提示： 1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页，试卷满分100分，考试时间100分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上． 第Ⅰ卷 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 2分，共 24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. －2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. － 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接解答即可. 【详解】解：－2的相反数是2． 故选：A． 【点睛】本题考查相反数，相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 2. 下列实数中，比3大的有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的概念判断，，是无理数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，而，是有理数，，是无理数， ∴比3大的有理数是； 故选：D． 【点睛】本题考查的是有理数与无理数的识别，实数的大小比较，熟记无理数的概念是解本题的关键． 3. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，小强在某校随机采访了8名七年级学生 B. 为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，采用普查的方式 C. 为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式 D. 了解海河水质，采用抽样调查的方式 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了普查和抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据实际情况进行判断即可． 【详解】解：A．为了解市民对“天津时调”的喜爱程度，小强在某校随机采访了8名七年级学生,样本容量太小，不具有代表性，故选项不符合题意； B．为了解天津市青少年儿童的睡眠时间，应该采用抽样调查的方式，故选项错误，不符合题意； C．为了解神舟十八号飞船的设备零件的质量情况，应该采用普查的方式，故选项错误，不符合题意； D．了解海河水质，采用抽样调查的方式，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，求一个数的平方根 ，求一个数的算术平方根． 逐一计算后判断即可． 【详解】A．，原式正确； B．，原式错误； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：A． 5. 若点在x轴上，则点 所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点所在象限，根据x轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点坐标，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C． 6. 如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中 点A对应直尺的刻度为7，将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为1，连接则四边形的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，得到，，得到四边形是长方形，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到， ∴，，， ∴， ∴四边形是长方形， ∵点A对应直尺的刻度为7，点对应直尺的刻度为1， ∴， ∵， ∴四边形的面积是； 故选C． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直 B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角与垂直的含义可判断A，根据点到直线的距离的含义可判断B，根据平行线的性质可判断C，根据垂线的性质可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A．两直线相交，如果对顶角互补，那么这两条直线互相垂直，真命题，符合题意； B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．原来命题为假命题，不符合题意； C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原来命题为假命题，不符合题意； D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来命题为假命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题真假的判断，对顶角的含义，垂直的含义，点到直线的距离的含义，平行线的性质，掌握基础概念与性质是解本题的关键． 8. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的基本性质，首先根据题意，判定的关系，再逐一根据不等式的性质判定各选项的不等式即可． 【详解】解：由题意，得 A选项，∵， ∴；不符合题意； B选项，∵， ∴，符合题意； C选项，∵，， ∴，不符合题意； D选项，∵， ∴；不符合题意； 故选：B． 9. 一种苹果的进价是每千克元，销售中估计有的苹果正常损耗，为了避免亏本，商家所定售价至少为（ ） A. 元 B. 元 C. 2元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中估计有的苹果正常损耗，故每千克苹果损耗后的价格为，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设商家把售价应该定为每千克x元，总千克数为 根据题意得：， 解得，， ∴为了避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克2元． 故选：C． 10. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是 ，在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为5，则被墨水所覆盖的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，将代入，可求出值，进而可得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，代入方程组的解，可求出的值，再对照题意，即可得出被墨水所覆盖的图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：将代入（2）中第一个方程得：， 解得：， 图（2）所表示方程组的解为． 设被墨水所覆盖的图形表示的数为， 将代入得：， 解得：， 被墨水所覆盖的图形为 故选：D． 11. 如图，同学们将平行于凸透镜主光轴（图中虚线表示主光轴）的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，由此发现凸透镜的焦点略有偏差，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，先根据两直线平行、同旁内角互补，求出，再根据邻补角和为180度计算的度数． 【详解】解：如图， 由题意知， ，， ， ，， ， ， 故选：D 12. 已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 第Ⅱ卷 注意事项： 1、用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 2B 铅笔）； 2、本卷共13题，共76分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若，则整数a的值可以是__________．（写出一个值即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数估算，根据，得到，进而求出整数a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴整数a的值可以是：2； 故答案为：2（答案不唯一）． 14. 为了解2024届本科生的就业状况，今年3月，某网站对2024届本科生的签约状况进行了网络调查．截至4月底，参与网络调查的8500人中，只有3000人已与用人单位签约，在这项网络调查中，样本容量是______． 【答案】8500 【解析】 【分析】此题考查样本容量的概念，样本容量指样本中个体的数量，没有单位名称．样本容量指样本中个体的个数，通过题意可知参与网调的有8500人，因此样本容量为8500． 【详解】解：参与网络调查的有8500人，因此样本容量为8500． 故答案为：8500． 15. 如图，直线相交于点O，平分，，若，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义、垂直的定义等知识，先求出，由垂直定义得到，则，由平分线定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴ ∴， 故答案为： 16. 在等式 中，当时，；当时，；当时，．则______，______，_______． 【答案】 ①. 6 ②. ③. 【解析】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，分别代入每组数值得到三元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得到， 解得 故答案为： 17. 已知关于x的不等式组 ． （1）若，则该不等式组的最大整数解为______________； （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是__________． 【答案】 ①. 1 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题； （1）根据，再确定最大整数解即可． （2）根据题意可得不等式组的解集为，再由该不等式组的所有整数解的和为，即可求解． 【详解】解：（1）当时，不等式组为， ∴， ∵不等式组的最大整数解为， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∵该不等式组的所有整数解的和为， 而或； ∴或， 故答案为：或． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，，与相交于点 F． （1）请用无刻度的直尺，过点C画一条与平行的线段（点 P在格点上），不写画法； （2）请用无刻度直尺，在线段上找一点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，则与的交点为 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，则可由沿到的方向平移得到，则； （2）如图，把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，与的交点为；从而可得答案； 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）如图，即为所求； 把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形， 的对应点为，与的交点为； 由平移的性质可得：， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查网格作图，同时考查了平移的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键． 三、解答题 （本大题共 7 小题，共 58 分，解答应写出演算步骤、解题过程或证明过程） 19. 解方程组 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是二元一次方程组的解法，先把方程组整理为，再直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 20. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）画图见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （3）在数轴上利用大于向右，小于向左，结合实心点，表示不等式的解集即可； （4）利用数轴确定不等式的解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得 ， ∴， ∴， 【小问2详解】 解不等式②，得 ， ∴； 【小问3详解】 在数轴上表示两个不等式的解集如下： 【小问4详解】 原不等式组的解集为． 21. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲并直播，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富进行授课．这是中国空间站第二次太空授课，也是中国航天员第三次进行太空授课．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校1000名学生进行了“航天知识竞赛”．教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成A、B、C、D四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题： 分组 频数 A： a B： 18 C： 24 D： b （1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ； （2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 ； （3）若规定学生竞赛成绩为优秀．请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1）60，6，12； （2）图见解析，圆心角为：； （3）600． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图．、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． （1）由B的人数除以所占百分比得出m的值，即可求出a、b的值； （2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360乘以“C”所占的比例即可； （3）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解： ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图所示： 扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：． 【小问3详解】 解：(人)， ∴估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为． 22. 如图， （1）已知，如图1，点C、D在直线上，．求证：． （2）如图2，，在（1）的条件下，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M． ①若，求的度数； ②若，则 （用α表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可证明； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数．②类比①的方法可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴． ②∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴． 23. 某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式，常规方式：不购买会员证，每次游泳付费n元．针对学生推出购买会员证的优惠方式：先购买会员证，每张会员证m元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费在n元的基础上打七折．小明购买了会员证，他游泳 10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元． （1）求m、n的值； （2）这个暑假，小明计划游泳不少于 25次，他选择哪种付费方式更合算？写出计算过程； （3）小强班里有一部分同学以购买会员证的方式来这家游泳馆游泳，一周后，小强统计，这些同学购买会员证和凭证游泳共花了 2400元，请你算一算：这些同学可能有多少名？ 【答案】（1）m、n的值分别为：，； （2）当时，选择常规方式；当时，两种方式一样；当时，选择购买会员证的优惠方式； （3）这些同学可能有人或人． 【解析】 【分析】（1）根据小明购买了会员证，他游泳 10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元，再建立方程组解题即可； （2）设游泳次，可得常规方式付费为：元；购买会员证的优惠方式：，再建立方程或不等式解题即可； （3）设这些同学可能有人，共游泳次，可得，再结合方程的正整数解可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴m、n的值分别为：，； 【小问2详解】 解：常规方式：小明计划游泳不少于 25次，设游泳次， 付费：元； 购买会员证的优惠方式： 当， 解得：． 当， 解得：， 当， 解得：， 综上：当时，选择常规方式； 当时，两种方式一样； 当时，选择购买会员证的优惠方式； 【小问3详解】 解：设这些同学可能有人，共游泳次， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或； ∴这些同学可能有人或人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程与二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是关键． 24. 已知关于x，y的方程组 ． （1）当x、y互为相反数时， ； （2）已知，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键． （1）解出二元一次方程组，然后根据，互为相反数列方程求解即可； （2）将方程组的解代入，解不等式组即可； （3）根据题意求出方程组的解即可得到答案． 【小问1详解】 由得， ∵，互为相反数， ∴，则， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 解得， 即a的取值范围是； 【小问3详解】 ∵，a为整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或都满足题意． 25. 如图1，点，，且满足 ． （1）直接写出点M、点N的坐标：M ，N ； （2）点P以每秒2个单位长度的速度从点M向y轴负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度的速度从点N向x轴正半轴运动，设点P，Q运动的时间为t秒． ①如图1，当时，直线，交于第四象限的点D，已知点D的横坐标是3，求点 D的纵坐标； ②如图 2，当时，在线段 上任取一点E，连接，点 G 为的角平分线上一点，且满足 ．请将图补全，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质可得，解方程组即得答案； （2）①证明即可得到点D的纵坐标； ②分点G在上方和下方两种情况补全图形，过点G作，过点O作，设，，根据平行线的性质分别求出，，的度数，即可求得答案． 【小问1详解】 ， ， 解得， 所以点M、点N的坐标：，； 故答案为：；； 【小问2详解】 ① 过点D作轴于点H， 则， ， ， ，， ， ， 点 D的纵坐标为； ②补全图形有两种可能，具体如下（图a和图b） 或． 理由如下： 如图a，当点G在上方时， 点 G 为的角平分线上一点， 设， ， 设，则， ， ， 过点G作， ， ，， 过点O作， ， ， ，， ， 而， ， ； 如图b，当点G在下方时， 点 G 为的角平分线上一点， 设， ， 设，则， ， ， 过点G作， ， ，， ， 过点O作， ， ， ，， ， ， ． 综上说述，、、之间的数量关系是或． 【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，坐标与图形，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组,作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $