2024年九年级 数学中考复习 第15课时特殊的平行四边形讲义

第15课时特殊的平行四边形 要点归纳 知识点 名师点睛 矩形 掌握矩形的性质和判定，会利用其性质与判定进行有关计算和推理 菱形 掌握菱形的性质和判定，会利用其性质与判定进行有关计算和推理 正方形 掌握正方形的性质和判定，会利用其性质与判定进行有关计算和推理 考试重点 1.矩形的性质及判定………………………………………………………………… 2.菱形的性质及判定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3.正方形的性质及判定……………………………………………………………………………………………… 典型母题 母题1如图,将▱ABCD的边AB 延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边 BC 于点 F. (1) 求证:△BEF≌△CDF. (2) 连接BD、CE,若∠BFD=2∠A,求证:四边形BECD 是矩形. 【解答】 (1) 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB 与CD 平行且相等.因为BE=AB,所以 BE与CD 平行且相等,所以∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,所以△BEF≌△CDF.(2) 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以∠FCD=∠A.因为∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,所以∠FDC=∠FCD,所以 FD=FC.因为△BEF≌△CDF,所以BC=DE.因为 BE与CD 平行且相等,所以四边形 BECD 为平行四边形,所以四边形 BECD 是矩形. 【要点剖析】 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定.在本题中，(1)实际上可以根据一组对边平行且相等得出四边形BECD为平行四边形.从平行四边形的中心对称的角度很容易得出两个三角形全等.(2)要证明这个四边形是矩形，可以考虑先证明它是平行四边形，再证明对角线相等. 母题 2 如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕点A 按顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD、CE 交于点 F. (1) 求证:△AEC≌△ADB; (2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求 BF的长. 【解答】 (1) 因为△ABC绕点A 旋转得到△ADE,所以 AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE,所以∠EAC=∠DAB.又AB=AC,所以AE=AD,所以△AEC≌△ADB.(2)因为四边形 ADFC是菱形,且∠BAC=45°,所以∠DBA=∠BAC=45°.又因为AB=AD,所以∠DBA=∠BDA=45°,所以△BAD是等腰直角三角形，所以 因为四边形 ADFC是菱形，所以DF=AC=AB=2,所以. 【要点剖析】 本题考查了全等三角形的判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、菱形的性质等，解题的关键是熟练掌握这些判定定理及性质定理.(1)由旋转的性质得出全等的条件，利用“SAS”判定△AEC≌△ADB.(2)由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出△BAD是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BD的长度，再根据四边形ADFC是菱形得出DF 的长，从而求出BF的长. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷 1 如图,已知矩形ABCD 的对角线AC与BD 相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2 ,DE=2,则四边形OCED的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 必刷 2 下列关于▱ABCD的叙述正确的是 ( ) A. 若 AB⊥BC,则▱ABCD是菱形 B. 若 AC⊥BD,则□ABCD 是正方形 C. 若AC=BD,则□ABCD 是矩形 D. 若AB=AD,则▱ABCD是正方形 必刷 3 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 ( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 必刷 4 如图，已知正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点 D落在边BC上的点E 处，折痕为GH,若BE:EC=2:1,则线段CH的长是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 必刷5如图，把正方形纸片 ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A落在MN上的点 F 处，折痕为BE.若AB长为2，则 FM的长为( ) A. 2 B. C. D. 1 必刷6 如图,在矩形ABCD中(AD>AB),已知点E 是BC上一点,且 DE=DA,AF⊥DE,垂足为 F.下列结论中，不一定正确的是 ( ) A. △AFD≌△DCE C. AB=AF D. BE=AD-DF 必刷7 如图,在正方形 ABCD 中,已知△ABE 和△CDF 为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,AE 的延长线交 DF 于点G,CF 的延长线交 BE 于点 H,则 EF 的长是 必刷8 如图,在正方形ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,E为BC 上一点,CE=5,F为DE 的中点.若△CEF 的周长为18,则OF 的长为 . 必刷9 如图，△ABC中，已知D是边BC上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且 AF=BD,连接BF. (1) 求证:D是BC的中点; (2)若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论. 必刷10 如图,已知AC 为矩形ABCD 的对角线,将边AB沿AE 折叠,使点 B落在AC 上的点M处,将边CD 沿CF 折叠,使点 D落在AC 上的点 N 处. (1) 求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2) 若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积. 必 刷 提 优 题 必刷11 如图,已知CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与点 B、C不重合),四边形 ADEF为正方形,过点 F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交 DE 于点Q.给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD²=FQ·AC.其中正确结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 必刷12 如图,已知正方形 ABCD 的边长为1,∠EAF=45°,AE=AF,则有下列结论:①∠1=∠2=22.5°;② 点C到EF 的距离是 -1;③△ECF 的周长为2;④ BE+DF>EF.其中正确的结论是 (写出所有正确结论的序号). 必刷13 如图，已知正方形 ABCD的边长为 对角线 AC、BD 相交于点O,E 是OC 的中点,连接BE,过点 A 作AM⊥BE 于点M,交 BD于点 F,则 FM的长为 . 必刷14 如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点 C刚好落在线段AD 上，折痕分别与边BC、AD 相交于点E、F,设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H,连接CF、CG. (1) 判断四边形CEGF 的形状; (2) 若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围. 必刷15 如图,在矩形ABCD中,已知E是AD 上一点,PQ垂直平分BE,分别交 AD、BE、BC于点 P、O、Q,连接BP、EQ. (1) 求证:四边形 BPEQ 是菱形; (2)若AB=6,F为AB 的中点,OF+OB=9,求 PQ的长. 必刷16 在菱形ABCD中,已知P为CD 上一点,连接BP. (1) 如图1,若 BP⊥CD,菱形 ABCD 的边长为 10,PD=4,连接AP,求AP的长; (2)如图2,连接对角线 AC、BD 相交于点O,N 为BP 的中点,过点 P 作PM⊥AC 于点 M,连接ON、MN.试判断△MON 的形状,并说明理由. 必刷17 已知正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O. (1) 如图1,E、G 分别是OB、OC上的点,CE 与 DG 的延长线相交于点 F.若 DF⊥CE,求证:OE=OG; (2)如图2,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连接DH交CE 于点F,交OC于点 G.若OE=OG. ①求证:∠ODG=∠OCE; ② 当AB=1时,求 HC的长. 必刷18 如图,在四边形OABC中,已知OA∥BC,∠OAB=90°,O为原点,点C的坐标为(2,8),点 A 的坐标为(26，0)，点D 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC 向点C 运动，点 E 同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线O—A—B运动，当点 E 达到点 B 时，点 D 也停止运动.从运动开始，设点 D(E)运动的时间为t秒. (1) 当t 为何值时,四边形ABDE 是矩形? (2) 当t为何值时,DE=CO? (3) 连接AD,记△ADE的面积为S,求S与t的函数关系式. 第 15 课时 特殊的平行四边形 1.【解答】 A 【要点剖析】 因为 CE∥BD,DE∥AC,所以四边形OCED 是平行四边形.因为四边 形ABCD为矩形,所以OD=OC,所以□OCED是菱形.因为DE=2,所以AC=4,所以∠ACD=60°,所以△OCD、△ECD 是 等 边 三 角 形, 所 以S四边形CCED=2S△CCD=2 . 2.【解答】 C 【要点剖析】 当AB⊥BC时,□ABCD是矩形,故A 不正确;当AC⊥BD时,□ABCD是菱形,故B不正确;当AC=BD时,□ABCD是矩形,故C正确;当AB=AD时,□ABCD是菱形,故D不正确. 3.【答案】 C 【要点剖析】 A：对角线相等是矩形的特征；B：对角线互相平分是平行四边形的特征，所以矩形和菱形都具有这一特征；C：对角线互相垂直是菱形的特征；D：邻边互相垂直是矩形的特征. 4.【答案】 B 【要点剖析】 设CH=x.因为 BE: EC=2:1,BC=9,所以EC=3.由折叠的性质知,EH=DH=9-x.在 Rt△ECH中,由勾股定理,得 解得x=4,故选 B. 5.【答案】 B 【要点剖析】 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB=BC=2.因为M、N是一组对边的中点,所以MN⊥BC,且BM=1.因为△BEF是由△BEA 翻折得到的,所以 AB=BF = 2. 在Rt△BFM中, 故选择B. 6.【答案】 B 【要 点 剖析】 题 中 没 有 条 件 能 说 明 ∠ADF=30°,所以 也就不一定成立. 7.【答案】 7 【要点剖析】 易证△ABE≌△CDF,进而△ABE≌△DAG,同理可证△ABE≌△BCH,△DAG≌△CDF,所以BE=AG=DF=CH=12,AE=BH=DG=CF=5,所以EH=FH=FG=EG=7.因为∠EGF=90°,所以四边形EHFG是正方形，所以. 8.【答案】 7/2 【要点剖析】 在Rt△DCE中,因为 F 为DE的中点，所以 因为△CEF的周长为18,又CE=5,所以CF+EF=18-5=13,所以DE=DF+EF=13.在 Rt△DCE中,DC=12,所以BC=12,所以BE=7.在△BDE中,因为BO=DO,F为DE的中点,所以 9.【解答】 (1) 要证 D 是BC 的中点,可根据题意先证△AEF≌△DEC(AAS),得 AF=DC.由AF=BD,等量代换可得 BD=DC.(2) 直观猜想四边形AFBD是矩形.先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形AFBD是平行四边形，再由等腰三角形的“三线合一”得AD⊥BC，之后根据矩形的定义，得出四边形AFBD是矩形. 10.【解答】 (1) 略 (2) 30 【要点剖析】 (1) 由折叠得到AM=CN,即AN=CM，再由矩形的性质得到一对直角相等，进而通过全等证明AF=CE，再根据平行四边形的判定方法(一组对边平行且相等)得到平行四边形；(2)先利用勾股定理求出 EC=5，再求出△AEC的面积，进而求出四边形AECF的面积. 11.【解答】 D 【要 点 剖 析】 易 证 △FGA ≌ △ACD,所以AC=FG,故①正确;因为FG=AC=BC,FG∥BC,∠C=90°,所以四边形 CBFG 为矩形,所以故②正确;因为CA=CB,∠C=∠CBF = 90°,所以∠ABC=∠ABF=45°,故③正确;因为∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90°,所以△ACD∽△FEQ,所以 AC:AD=FE:FQ,所以AD·FE 故④正确. 12.【答案】 ①②③ 【要点剖析】① 由已知条件可证△ABE≌ △ADF,再由∠EAF=45°,就可证∠1=∠2=22.5°;② 连接AC交EF 于点G,可证△ECF 为等腰三角形,可证AC⊥EF,从而可证△ABE≌△AGE≌△AGF≌△ADF,得到AG=AB=1,所以点C到EF的距离为 ③ 由②可得 BE=EG,DF=FG,所以△ECF的周长为2;④由③可得BE=EG,DF=FG,可以判断 BE+DF=EF,所以④错误. 13.【答案】 【要点剖析】 ① 利用勾股定理求出OB=OC=2;② 证明△AOF≌△BOE,得OF=OE=1;③ 证明△BFM∽△BEO,利用相似三角形对应边的比相等求出 FM 的长. 14.【解答】 (1) 四边形 CEGF 是菱形.证明如下：由题意知，EF是CG的垂直平分线，所以FC = FG, EC = EG. 又 因 为 AD ∥BC,所以∠GFE= ∠CEF. 由 折 叠 知 ∠CEF =∠GEF,所以∠GFE=∠GEF,EG=GF,所以EG=FG=FC=EC,所以四边形 CEGF 是菱形.(2) 当点 F 与点 D 重合时,四边形 CEFG 是正方形,此时CE最小,且CE=CD=3;当点 G与点A重合时,CE最大.设CE=x,则BE=9-x.由(1)知,AE=CE=x.在 Rt△ABE中, x²,解得x=5.所以CE=5,所以线段CE的取值范围为3≤CE≤5. 15.【解答】 (1) 因为 PQ垂直平分BE,所以QB=QE,OB=OE.因为四边形ABCD是矩形,所以 AD∥BC,所以∠PEO=∠QBO. 在△BOQ 与 △EOP 中, 易 证 △BOQ≌△EOP(ASA),所以PE=QB.又因为 AD∥BC,所以四边形BPEQ是平行四边形.又因为QB=QE，所以四边形 BPEQ是菱形.(2) 因为O、F分别为PQ、AB的中点,所以AE+BE=2OF+2OB=18.设AE=x,则BE=18-x.在Rt△ABE中,6² 解得x=8,BE=18-x=10.所以 设PE=y,则AP=8-y,BP=PE=y,在 Rt△ABP 中,( 解得 在 Rt△BOP 中, 所以PQ= 16.【解答】 (1) 因为四边形 ABCD 是菱形,所以AB=BC=CD=AD=10,AB∥CD.因为 PD=4,所以 PC=6.因为 PB⊥CD,所以PB⊥AB,所以∠CPB = ∠ABP = 90°. 在Rt△PCB中,因为∠CPB=90°,PC=6,BC=10,所以PB=8.在Rt△ABP中,因为∠ABP=90°,AB=10,PB=8, 所以 (2)△OMN是等腰三角形.理由:延长 PM交BC于点 E.因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,CB=CD.因为 PE⊥AC,所以 PE∥BD,所D 所以CP=CE,所以PD=BE.因为CP=CE,CM⊥PE,所以 PM=ME.因为 PN=NB,所以 因为BO=OD,BN=NP,所以 所以ON=MN,所以△OMN是等腰三角形. 17.【解答】 (1) 因为四边形 ABCD 是正方形,所以AC⊥BD,OD=OC,所以∠DOG=∠COE=90°,所以∠OEC+∠OCE=90°.因为DF⊥CE,所以∠OEC+∠ODG=90°,所以∠ODG = ∠OCE, 所 以 △DOG ≌ △COE(ASA),所以OE=OG.(2) ① 因为OG=OE,∠DOG=∠COE=90°,OD=OC,所以△ODG≌ △OCE, 所 以 ∠ODG = ∠OCE.②设CH=x.因为四边形 ABCD 是正方形,AB=1,所以 BH=1-x,∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°.因为 EH⊥BC,所以∠BEH=∠EBH=45°,所以 EH=BH=1-x. 因为∠ODG = ∠OCE, 所 以∠BDC - ∠ODG =∠ACB-∠OCE,所以∠HDC=∠ECH.因为EH⊥BC,所以∠EHC=∠HCD=90°,所以△CHE∽△DCH,所以 EH·CD,所以 解 得 x= 或 (舍去)，所以 18.【解答】 (1) 因为点 C(2,8),点 A(26,0),所以OA=26,BC=24,AB=8.因为点 D(E)运动的时间为ts,所以BD=t,OE=3t.当BD=AE时,四边形ABDE是矩形,即t=26-3t,解得 (2) 当CD=OE时,四边形OEDC为平行四边形,DE=OC,即24-t=3t,解得t=6.(3)当点E在OA 上时,AE=26-3t,则 当点 E 在AB上时,AE=3t-26,BD=t,则 学科网（北京）股份有限公司 $$