2024年人教版九年级数学中考复习讲义　 第 13 课时全等三角形与特殊三角形

第 13 课时全等三角形与特殊三角形 e要点归纳 知识点 名师点睛 全等三角形 理解全等三角形的概念，会证明两个三角形全等 等腰三角形 了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质和判定方法 等边三角形 了解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质和判定方法 直角三角形 了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，能用勾股定理和逆定理解决简单的实际问题 C:考试重点 1.全等三角形的性质和判定……………………………………………………………… 2.等腰(等边)三角形的性质和判定………………………………………………………… 3.直角三角形的性质和判定…………………………………………………………… e考向与策略 中考常考的内容有全等三角形的性质和判定，与特殊三角形有关的分类讨论、证明及计算等综合题，解决这类问题的关键是灵活运用这些知识点来解题. 典型母题 母题 1 如图1，图2，图3分别以△ABC的AB 和AC 为边向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形,BE 和CD 相交于点O. (1) 在图1中,求证:△ABE≌△ADC. (2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120°.请你探索在图2中∠BOC 的度数，并写出证明过程. (3)填空:在上述(1)(2)的基础上可得在图3中∠BOC= (填写度数). (4)由此推广到一般情形(如图4),分别以△ABC的AB 和AC为边向△ABC外作正n边形,BE 和CD 仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为 (用含 n的式子表示). 【解答】 (1) 因为△ADB 和△ACE都是等边三角形,所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,所以∠DAC=∠BAE,所以△ABE≌△ADC.(2)设CD 和AE 的交点为H.因为四边形 ACGE 是正方形,所以∠EAC=90°.因为△ABE≌△ADC,所以∠AEB=∠ACD.又因为∠EHO=∠AHC,所以∠EOC=∠EAC=90°,所以∠BOC=180°—90°=90°.(3)72°.(4) . 【要点剖析】 本题考查了全等及其性质.(1)直接从等边三角形得到AB=AD，AC=AE，再证明∠DAC=∠BAE.(2)同样的方法可证明△ABE≌△ADC,即可得到∠AEB=∠ACD.设CD和AE 的交点为H,则∠EHO=∠AHC,即可得到∠EOC=∠EAC=90°,从而求得∠BOC的度数.(3) 同(2)方法可得∠EOC=∠EAC=108°,那么∠BOC的度数等于∠EOC的外角72°.(4)由前3 小问,可猜测∠BOC的度数等于多边形的一个外角. 母题 2 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S₁、S₂、S₃；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为 S₄、S₅、S₆.其中 11,S₆=14,则. 的值为 ( ) A. 86 B. 64 C. 54 D. 48 【解答】 C 【要点剖析】 本题考查了勾股定理的应用，找出这些面积之间的关系是解题的关键. 设直角三角形的三边长为a，b，c，则 因为 所以 设图2中的扇形的圆心角为α，则 同样得到 所以 故选择 C. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷1 如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ( ) A. AC=BD B. ∠CAB=∠DBA C. ∠C=∠D D. BC=AD 必刷 2 如图,在△PAB中,已知PA=PB,M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P 的度数为 ( ) A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 必刷 3 如图,在△ABC和△DEF中,已知∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是 ( ) A. ∠A=∠D B. BC=EF C. ∠ACB=∠F D. AC=DF 必刷4 已知直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是 3，则此直角三角形的面积为 . 必刷5 如图,已知A、C、D、B四点共线,且 AC=BD,∠A=∠B,∠ADE=∠BCF,求证:DE=CF. 必刷6 如图,已知点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D. (1) 求证:AC∥DE; (2) 若 BF=13,EC=5,求BC的长. 必刷7 如图,已知BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E、D,BE=CD.求证:AB=AC. 必刷8 在△ABC中,已知AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程. 必刷9 在等边三角形ABC中,已知点D、E分别在边BC、AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点 E 作EF⊥DE,交 BC的延长线于点 F,求EF的长. 必 刷 提 优 题 必刷10 如图,已知∠AOB=120°,OP 平分∠AOB,且OP=2.若点 M、N分别在OA、OB 上,且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 必刷11 如图,在四边形 ABCD中,已知∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 ,则BD的长为 . 必刷12 如图,在矩形 ABCD中,已知AD=4,点 P 是直线AD 上一动点,若满足△PBC是等腰三角形的点 P 有且只有3个，则AB的长为 . 必刷13 如图,在△ABC中,已知AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点 F. (1) 求证:AB=AC; (2) 若AD=2 ,∠DAC=30°,求 AC的长. 必刷14 (呼和浩特中考题)如图,已知△ACB 和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为边AB 上一点. (1) 求证:△ACE≌△BCD; (2) 求证:2 第13 课时 全等三角形与特殊三角形 1.【解答】 A 【要点剖析】 题目中已给出一角相等，图形中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，再需要一边或一角相等即可，A选项与两已知条件构成SSA 不能确定两个三角形全等，故选择 A. 2.【解答】 D 【要点剖析】 因为 PA=PB,所以∠A=∠B.又因为AM=BK,BN=AK,所以△AKM≌△BNK,所以∠AMK=∠BKN.因为∠MKN+∠BKN=∠A+∠AMK,所以∠A=∠MKN,所以∠A=44°,所以∠ 3.【解答】 D 【要点剖析】 A 可采用“ASA”来判定三角形全等，B可采用“SAS”来判定三角形全等，C可采用“AAS”来判定三角形全等，D为两边和其中一边的对角，不能判定三角形全等，故选择 D. 4.【解答】 6 【要点剖析】 因为直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，由勾股定理得：另一直角边=4，所以此直角三角形的面积为 故答案为6. 5.【解答】 因为 AC=BD,所以 AD=BC.又∠A=∠B,∠ADE=∠BCF,所以△ADE≌△BCF,所以 DE=CF. 【要点剖析】 本题考查了三角形全等的判定，解题关键是找出能使两个三角形全等的条件. 6.【解答】 (1) 在△ABC 与△DFE 中, 所以△ABC≌△DFE,所以∠ACB=∠DEF,所以 AC∥DE.(2) 因为△ABC≌△DFE,所以 BC=EF,所以 BE=CF,所以 2BE=BF-EC=8.所以BC=BE+CE=4+5=9. 【要点剖析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形的性质来推导结论. 7. 【解答】 因为 BC=CB,BE=CD,所以 Rt△BCE≌Rt△CBD(HL),所以∠CBD=∠BCE,所以 AB=AC. 【要点剖析】 欲证 AB= AC,只需证∠CBD=∠BCE,只需证Rt△BCE≌Rt△CBD. 8.【解答】 在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13.设BD=x,所以CD=14-x.由勾股定理得. 所以 -x)²,解得x=9.所以AD=12.所以 S△ABC= 【要点剖析】 本题综合考查了勾股定理、方程模型等知识，按学习小组给出的解题思路进行解答. 9.【解答】 因为△ABC 是等边三角形,所以∠B=∠ACB=60°.因为 DE∥AB,所以∠EDC=∠B=60°,所以△EDC是等边三角形,所以DE=DC=2.在 Rt△DEF中,DE=2,∠F=30°,所以 DF=4,所以. 【要点剖析】 本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是能灵活运用等边三角形的性质和勾股定理.① 证明△DEC是等边三角形；② 在Rt△DEF 中求出EF 即可解决问题. 10.【解答】 D 【要点剖析】 在OA上截取OC=OP=2.因为∠AOP=60°,所以△OCP是等边三角形,所以CP=OP,∠OCP=∠CPO=60°.在线段OC任取一点M,在OB上截取ON,使ON+OM=2,连接MN、PM、PN.因为MC+OM=2,所以CM=ON.在△MCP 和△NOP 中,因为 CM=ON,∠MCP=∠NOP=60°,CP=OP,所以△MCP≌△NOP(SAS),所以 PM = PN,∠MPC =∠NPO,所以∠MPC +∠MPO=∠NPO+∠MPO,即∠CPO=∠MPN,所以∠MPN=60°,所以△PMN 是等边三 角形.故满 足条件的△PMN有无数个，答案为选项 D. 11.【解答】 【要点剖析】 连接AC,由题意可知,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,所以 AC=5.又因为CD=10,DA=5 ,而 所以∠ACD=90°.过点 D 作DE⊥BC 交BC 的延长线于点 E,所以∠ABC=∠DEC=90°,易证△ABC∽△CED,所以 即 解得CE=6,DE=8,所以BE=4+6=10,在Rt△BDE中, 12.【解答】 4 或2 【要点剖析】 分两种情况来研究：① 当⊙B和⊙C与直线AD 相切时;② 当⊙B 和⊙C 与直线AD 相交，且有两个交点重合时. 13.【解答】 (1) 因为 AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,所以 DE=DF.因为 BD=CD,所以Rt△BDE≌Rt△CDF,所以∠B=∠C,所以AB=AC.(2)因为AB=AC,BD=CD,所以AD⊥BC.在 Rt△ADC 中,∠DAC=30°,AD=2 ，所以 【要点剖析】 本题考查了角的平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的应用，在已知图形中发现常见结论、准确找到全等三角形是解题的关键. 14.【解答】 (1) 因为△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,所以AC= BC, EC= DC,所以∠ACE =∠BCD,所以△ACE≌△BCD.(2) 因为△ACE≌△BCD,所以∠EAC=∠B=45°,BD=AE,所以∠DAE=90°. 在 Rt△ADE 中,. 所以 又在 Rt△DCE 中,CE² 即 【要点剖析】 (1)先由两个三角形是等腰直角三角形推得相等的直角及相等的边，再减去公共角后得相等的角∠ACE=∠BCD，然后由边角边定理证明△ACE≌△BCD.(2) 先由全等三角形的性质得∠EAC=∠B=45°,BD=AE,然后推得∠DAE=90°,从而由勾股定理,得 AE² + 最后由等量代换即可求答. 学科网（北京）股份有限公司 $$