2024年九年级数学中考复习 第11课时二次函数讲义

第11课时二次函数 要点归纳 知识点 名师点睛 定义 了解二次函数的意义，掌握二次函数的三种表达形式，并会求二次函数的解析式 图象和性质 掌握二次函数的图象和性质，能利用配方法确定二次函数图象的顶点坐标、开口方向和对称轴等 应用 能利用二次函数的图象和性质解决营销类、面积类等实际问题 2考试重点 1.二次函数的图象和性质………………………………………………………………… 2.二次函数的最值问题…………………………………………………………………… 3.二次函数的应用…………………………………………………………………………… 典型母题 母题1如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B 在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两个点),对称轴为直线x=1.下列结论： ①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac-b²<8a;④¹/₃<a<²/₃;⑤b>c. 其中正确的有 ( ) A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 【解答】 D 【要点剖析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是读懂图形反映出来的信息，如开口方向、大小、对称轴、交点、增减性等.由图象信息可知a>0,b<0,c<0,故 abc>0,①正确. x=2和x=0时,y值相同.当x=2时,y=4a+2b+c<0,故②错误;因为抛物线的最小值小于-2,所以 即 因为a>0,所以 故③正确.因为抛物线经过点(-1，0)，所以a-b+c=0.因为对称轴为直线:x=1,所以 所以b=-2a.所以a--(-2a)+c=0,所以c=-3a.因为--2<c<-1,所以 故④正确.因为a-b+c=0,所以b--c=a.因为a>0,所以b-c>0,所以b>c,故⑤正确.故选择D. 母题 2 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元(x为整数). (1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式. (2)设宾馆每天的利润为ω元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大?最大利润是多少? (3)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：① 当日所获利润不低于 5 000 元；② 宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元；③每个房间刚好住满2人.问：这天宾馆入住的游客人数最少为多少? 【解答】 (1) y=-x+50;(2) 设该宾馆房间的定价为(120+10x)元(x为整数),那么宾馆内有(50-x)个房间被旅客居住.根据题意得w=(-x+50)(120+10x-20)=-10(x-20)²+9000,所以当x=20,即每间房间定价为10×20+120=320(元)时,每天利润最大,最大利润为 9 000 元.(3) 由解得20≤x≤40.当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少为2y=2(-x+50)=2(-40+50)=20. 【要点剖析】 本题考查了二次函数的应用.(1)通过总房间50个可直接写出房间数量y与x的函数关系式；(2)利用租房利润减去维护费用得到利润，再根据配方法或公式法确定抛物线的顶点坐标，从而求得结论；(3)由题中的两个不等关系列出不等式组求解. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷 1 二次函数 化为 的形式，下列正确的是 ( ) 必刷 2 若点 P₁(-1,y₁),P₂(3,y₂),P₃(5,y₃)均在二次函数 的图象上,则 y₁,y₂，y₃的大小关系是 ( ) 必刷 3 对于二次函数 下列说法正确的是 ( ) A. 当x>0时,y随x的增大而增大 B. 当x=2时,y有最大值-3 C.图象的顶点坐标为(-2,-7) D.图象与x轴有两个交点 必刷 4 已知二次函数 的y与x 的部分对应值如下表： x -1 0 1 3 y -3 1 3 1 则下列判断正确的是 ( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴 C. 当x=4时,y>0 D. 方程( 的正根在3与4之间 必刷 5 若以x为自变量的二次函数. 的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是 ( ) B. b≥1或b≤-1 C. b≥2 D. 1≤b≤2 必刷 6 二次函数 的最小值是 . 必刷 7 如果将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为 . 必刷8 不论自变量x取什么实数，二次函数 的函数值总是正值，则m的取值范围是 . 必刷 9 若函数 的图象与x轴只有一个交点，则a= . 必刷10 如图,已知A(-1,0),B(2,-3)两点在函数. 与二次函数. 的图象上. (1)求m的值和二次函数的解析式； (2) 直接写出 y₁>y₂时，自变量x的取值范围. 必刷11 已知二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程 的两个根； (2)写出不等式. 的解集； (3)若方程 有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 必 刷 提 优 题 必刷12 (兰州中考题)已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0;② 4ac<b²;③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 必刷13 (无锡中考题)已知二次函数 的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP 与过点B 且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:PD=2:3. (1) 求A、B两点的坐标; (2) 若 求这个二次函数的关系式. 必刷14 已知抛物线 与x轴相交于不同的两点A、B. (1)求m的取值范围; (2)证明：该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P，并求出点 P 的坐标； (3) 当 时，由(2)求出的点 P 和点 A、B 构成的△ABP 的面积是否有最值?若有，求出最值及相对应的m值；若没有，请说明理由. 必刷15 如图1，抛物线L: 与x 轴交于A、B(3,0)两点(点 A 在点B 的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴. (1)求抛物线L 的解析式； (2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围； (3)如图2,设点 P 是抛物线L 上任一点,点 Q在直线l:x=-3上,△PBQ能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由. 必刷16 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间x(分钟)，纵坐标 y 表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为 10:00之后来的游客较少，可忽略不计. (1)请写出图中曲线对应的函数解析式； (2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684，后来的人在馆外休息区等待.从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624时，馆外等待的游客可全部进入.请问：馆外游客最多等待多少分钟? 必刷17 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过 2m+2)两点,其中m为常数. (1)求b的值，并用含m的代数式表示c； (2)若抛物线 与x轴有公共点，求m的值； (3)设(a,y₁)、(a+2,y₂)是抛物线 上的两点，试比较 与0的大小，并说明理由. 必刷18 已知点M是二次函数 图象上的一点，点 F 的坐标为(0, ),直角坐标系中的坐标原点 O与点M、F在同一个圆上，圆心 Q的纵坐标为 . (1) 求a 的值; (2)当O、Q、M三点在同一条直线上时，求点 M和点Q的坐标； (3) 当点 M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为 N. 求证:MF=MN+OF. 必刷19 (南宁中考题)如图，已知抛物线 与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(-3,0),C(0,4),点B在x轴上,AC=BC,过点 B 作 BD⊥x轴交抛物线于点 D,点 M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN. (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标； (2) 当△CMN 是直角三角形时,求点 M的坐标; (3) 试求出AM+AN 的最小值. 第 11 课时 二次函数 1.【解答】 B 【要点剖析】 故选择B. 2.【解答】 D 【要点剖析】 当x=--1时,y₁=-3+c;当x=3时 当x=5时 所以 3.【解答】 B 【要点剖析】 将二次函数配成顶点式，利用二次函数的图象和性质即可解决. 4.【解答】 D 【要点剖析】 根据四个点画出二次函数的草图，发现开口向下，所以 A 错误.当x=0时，y=1>0,所以B错误.由点(0,1),(3,1)发现抛物线的对称轴为 所以x=4和x=-1时的y值相同,所以y=-3<0,C错误.当x=3时,y=1>0;当x=4时,y=-3<0.所以当y=0，方程有一正根在3和4之间，故 D正确. 5.【解答】 A 【要点剖析】 抛物线的最低点在x轴或x轴上方时，则| 解得 当抛物线的最低点在x轴下方时，设抛物线与x轴的两个交点为(x₁,0),(x₂,0),所以 且 解得b>2.所以 6.【解答】 -7 【要点剖析】 因为a=1>0,所以x=-2时,y有最小值-7. 7.【解答】 【要点剖析】 本题考查了二次函数图象的平移规律：“左加右减”“上加下减”. 8.【解答】 m>4.5 【要点剖析】 因为抛物线的开口向上，所以当函数值总是正值时,Δ<0,即36-4×2m<0,所以m>4.5. 9.【解答】 1或2 【要点剖析】 当a=1时，为一次函数，符合条件;当a≠1时,为二次函数,Δ=4-4(a-1)=0,所以a=2. 10.【解答】 (1) 将点 A(--1,0)代入 y₁= -x+m,得m=-1.将点A(-1,0),B(2,-3)代入 得 (2) 由图象可知:当y₁>y₂时,-1<x<2. 【要点剖析】 (1) 由代入法可求m,a,b的值；(2)利用数形结合求x的取值范围. 11.【解答】 (1)x₁=1,x₂=3;(2)x<1或x>3;(3)k<2. 【要点剖析】 (1)(2)观察图象直接可得结果;(3)方程 的解的个数可看作抛物线 与直线y=k的交点个数，所以当k<2时，抛物线和直线有两个交点. 12.【解答】 C 【要点剖析】 ① 因为a<0,b<0,c>0,所以abc>0正确；② 因为抛物线与x轴有两个交点,所以b²—4ac>0,所以 4ac<b² 正确;③ 因为抛物线对称轴是直线x=-1，所以 所以2a-b=0,所以2a+b=0错误;④由图象可知,当x=-1时,y>2,所以a-b+c>2正确,故选择 C. 13.【解答】 (1) 过点 C 作CF⊥BD 于点F，交对称轴于点 H.因为 ,所以对称轴为x=1,点 P(1,c-a),H(1,c),CH=1.因为CP:PD=2:3,PH∥BD,所以CH:HF=2:3,所以 HF=1.5,所以点B(2.5,0),所以点A(—0.5,0).(2) 因为 所以 所以 所以点 因为y= 过点 B(2.5,0),顶点为 所以 【要点剖析】( 的对称轴为x=1,如果过点C作CF⊥BD于点F,交对称轴于点 H,可根据 CP: PD=2:3,求出点 A的坐标;(2)由 得出点 P 的坐标，再对比顶点坐标求得点 P 坐标，可得a的值，然后将点 B坐标代入，可求出 c的值. 14.【解答】 (1) 因为 +1-3m是二次函数，所以m≠0.因为抛物线与x轴相交于不同的两点，所以 4m(1-3m)=(4m-1)²>0,)所以 所以m的取值范围是m≠0且 故只要 那么y的值便与m的取值无关，也就是说抛物线必过定点.解. 得 .当x=3时,y=4,即P(3,4);当x=-1时，y=0(舍去).所以该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 P(3,4).(3) 因为 +(1-2m)x+1-3m=(x+1)(mx+1-3m),得 所以 所以 因为 所以 所以当 m取最小值 时, )有最大值 ,此时m=8. 【要点剖析】 (1)根据二次函数的定义及根的判别式，可直接求得m的取值范围；(2)抛物线过定点，也就是说该定点的坐标不受 m取值的影响,所以只要m前的系数为0 即可;(3)△ABP的边AB上的高即为点 P 的纵坐标4，故只要表示出线段AB的值即可表示出三角形的面积，进而求出最值. 15.【解答】 (1) 因为点 B(3,0),对称轴x=1,所以点A(-1,0).设L:y=a(x+1)(x-3),把C(0,3)代入解析式得a=—1,所以L:y= 2) 因为 的顶点为(1,4),直线BC的解析式为y=-x+3,当x=1时,y=2,所以4-2=2,将抛物线L向下平移2个单位长度，抛物线的顶点落在边 BC上，将抛物线L向下平移4 个单位长度，抛物线的顶点落在边 OB上,所以2≤h≤4.(3) 能.设P(m,n),过点P作PE⊥l,垂足为E,过点B作BF⊥x轴,交PE于点 F.若△PBQ是等腰直角三角形，则△PEQ≌△BFP,则PE=m+3=BF=n,即n=m+3 ①,把P(m,n)代入: 得 ②,由①②得 可得P₁(0,3),P₂(1,4). 【要点剖析】 (1)由交点式可解得解析式；(2)先求出抛物线L的顶点，注意考虑临界值，当顶点平移到边 BC 上或边OB 上，求出相应 h 的值；(3)当△PBQ成为等腰直角三角形时，有∠BPQ=90°,所以想到构造“三垂图”来解题. 16.【解答】 (1) 由图象知,点A(30,300)在函数 的图象上.把点 A(30,300)代入 y=ax²,得: 解得 所以当0≤x≤30时，函数解析式为 由图象知，点A(30,300),B(90,700)在函数: 的图象上.把点 A(30,300),B(90,700)代入b(x 得 解 得 所以，当30≤x≤90时，函数解析式为 所以 (2)当y=684时,代入 得 解得 102(不合题意,舍去).所以90-78=12.又 10:30 所以，馆外游客最多等待的时间为12+30+15=57(分钟).答:馆外游客最多等待57分钟. 17.【解答】 (1)把 (0, 分别代入 得1--b+c ( :②,把②代入①中得 2)由(1)得,y= 由题意得， 2m+2)≥0,所以( 又 所以m=-1，所以抛物线 与x轴有公共点时,m=—1.(3)由(1)知解析式为. .因为(a,y₁),(a+2,y₂);是抛物线 上的两点，所以： 2,y₂-y₁=4(a+2).所以当a<-2时, 0;当a=-2时, ;当a>-2时,y₂-y₁>0. 18.【解答】 (1) 圆心 Q的纵坐标为 ,则点F 的纵坐标为 ，所以 解得a=1.(2)由(1)知二次函数的解析式为 当 O、Q、M三点在同一条直线上时，点M的纵坐标为 将 代入 得 所以点 点 或点 点 (3) 设M(n,n²)(n>0),所以N(n,0).|因为 所以 所以 MF=MN+OF. 19.【解答】 (1) 抛物线的解析式为 y=- x²+ x+4,D(3,5);(2) M(o, )或M(0, ) ( 【要点剖析】 解:(1) 把点 A(-3,0)、C(0,4 ) 代 入 得 ∴抛物线的解析式为 ∵AC=BC,CO⊥AB,∴OA=OB.∵A(-3,0),∴B(3,0).∵BD⊥x轴,D在抛物线上,∴D(3,5);(2) 由(1)得OC=4,BC=5,设M(0,a),∵CM=BN,∴CM=BN=4-a,CN=BC-BN=5-(4-a)=1+a.①当∠CMN=90°时,△CMN∽△COB,由 得 解得a= ②当∠CNM=90°时,△CNM∽△COB,由 得 解 得 综上所述：当△CMN 是直角三角形时， 或 (3) 连接 DN、AD,如图,∵BD∥y 轴,∴∠OCB=∠DBN. ∵∠OCB=∠ACM,∴∠ACM=∠DBN.又∵CM=BN,AC=BD, ∴△CAM≌△BDN(SAS).∴AM=DN,∴AM+AN=DN+AN. 18 当A、N、D三点共线时,DN+AN=AD,即AM+AN的最小值为AD. ∵AB=6,BD=5,∴在Rt△ABD中,由勾股定理得， ∴AM+AN的最小值为 11.【解答】 D 【要点剖析】 相对面绝不相邻(不公共边且不公共点)；同一层有三个或四个面时，相间的两个面一定是相对面，根据正方体的表面展开图的特征可知：“我”字相对的面为“梦”字，故选择D. 12.【解答】 B 【要点剖析】 因为AB∥CD,所以∠BAD=∠ADC=35°.因为 DA⊥AC,所以∠1+∠BAD=90°,所以 13.【解答】 B 【要点剖析】 因为 EF⊥BD,∠1=50°,所以 .又因为AB∥CD,所以∠2=∠D=40°. 14.【解答】 D 【要点剖析】 从原图形中剪掉一部分后，其中的剪痕是线段，而剪掉部分是曲线，根据“两点之间，线段最短”可知选择 D. 15.【解答】 A 【要点剖析】 因为DE 是 AC 的垂直平分线,所以AE=CE,AD=CD.因为△ABD的周长=13cm,即AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm.因为△ABC的周长=AB+BC+AC=19cm,所以AC=6cm,所以AE=3cm. 16.【解答】 B 【要点剖析】 因为点 D 在线段 AB 的垂直平分线上,所以AD=CD,所以∠ACD=∠A=50°,所以∠BDC=100°. 17.【解答】 C 【要点剖析】 因为 BD平分∠ABC,所以∠EBD=∠CBD.因为ED∥BC,所以∠EDB=∠CBD,所以∠EDB=∠EBD,所以EB=ED,所以△AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=3+1=4.故选择C. 18.【解答】 A 【要点剖析】 在 Rt△ABC中,因为∠A=30°,所以 AB=2BC=2.因为 D、E为BC、AC的中点，所以 19.【解答】 C 【要点剖析】 若 OC 在∠AOB 内部,则∠BOC=28°;若OC 在∠AOB外部,则∠BOC=112°. 20.【解答】 B 【要点剖析】 因为∠1=50°,所以∠3=40°.因为直尺的对边平行,所以∠2=∠3=40°. 21.【解答】 C 学科网（北京）股份有限公司 $$