2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷

2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0 2．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝ 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．﹣＝ B．＝2﹣ C．＝2 D． 5．（3分）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（　　） A．10cm B．12cm C．16 cm D．24 cm 6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 7．（3分）下列命题中，正确的是（　　） A．有一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有两个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 5 14 a b 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（　　） A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，众数 D．众数，方差 9．（3分）随着“二胎政策”出生的孩子越来越多，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．2x＝8.5%+9.6% B．2（1+x）＝（1+8.5%）（1+9.6%） C．2（1+x）2＝（1+8.5%+9.6%） D．（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%） 10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点，F为线段AE上一点，若∠CFE＝∠DAE，则EF的长为（　　） A． B． C． D．2 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　 　． 12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝　 　． 13．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 　 　． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，点D是AC的中点，DE∥BC，若∠AEB＝90°，则DE长的为 　 　． 15．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是 　 　． 16．（3分）已知：▱ABCD中，AB＝3，，点E为BC中点，AD＝2AE，则▱ABCD的面积为 　 　． 三、（本题共2小题，每题5分，满分10分） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解方程：3x2+5x﹣2＝0． 四、（本题满分8分） 19．（8分）已知点M，N是▱ABCD的对边BC，AD上的点，且BM＝DN，连接AM，CN与BD相交于点E，F． （1）如图1，求证：AM＝CN； （2）如图2，若AB＝AD，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形． 五、（本题满分10分） 20．（10分）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．滨湖区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月﹣4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．桶前职守时长的频数分布表 时长x/分钟 频数 频率 0≤x＜10 8 0.16 10≤x＜20 10 0.20 20≤x＜30 16 b 30≤x＜40 12 0.24 40≤x＜50 a 0.08 c．其中，时长在20≤x＜30这一组的数据是：20，20，20，21，21，21，22，23，24，24，25，26，26，27，28，29．请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）请补全频数分布直方图； （3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 　 　； （4）3月﹣4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的人数大约为 　 　． 六、（本题满分12分） 21．（12分）【过程学习】对于代数式x2+4x+3，我们可作如下变形： x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，代数式x2+4x+3的最小值为﹣1．这种方法叫做配方法求最值． 【初步应用】对于代数式2x2﹣4x+3可变形为＝2（x+　 　）2+1，∴对于代数式2x2﹣4x+3，当x＝　 　时，最小值为1． 【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台．根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台． ①五月份该专卖店想将销售额提高25%，求这种机床每件的售价； ②求五月份销售额最大值是多少？ 七、（本题满分12分） 22．（12分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE＜BC，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作FH⊥DE于点H，直线FH与直线DB交于点M． （1）依题意补全图1； （2）若∠EDC＝α，请直接写出∠DMF＝　 　（用含α的式子表示）； （3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明． 七、（本题满分0分） 23．已知M是边长为1的正方形ABCD内一点，若，∠CMD＝90°，则MD＝　 　． 2023-2024学年安徽省合肥市包河区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0 【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，求出答案即可． 【解答】解：在实数范围内有意义， 则x﹣4≥0， 解得：x≥4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数的符号分析是解题关键． 2．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式； B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、＝10，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：A． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 3．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c＝ 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、12+22≠22，故不能构成直角三角形，不符合题意； B、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、32+42≠62，故不能构成直角三角形，不符合题意； D、12+12＝（）2，故能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．﹣＝ B．＝2﹣ C．＝2 D． 【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可． 【解答】解：中，没有同类二次根式，不能合并， 故A选项不符合题意； ＝﹣2， 故B选项不符合题意； ＝， 故C选项不符合题意； ＝＝， 故D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质以及加减法则是解题的关键． 5．（3分）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（　　） A．10cm B．12cm C．16 cm D．24 cm 【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD＝BC，BO＝DO，由三角形的中位线定理可得AD＝2OM＝6cm，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝BC，BO＝DO， 又∵点M是AB的中点， ∴AD＝2OM＝6cm， ∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24cm， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的的对角线互相平分是解题的关键． 6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x＝1的两个根，则x1+x1x2+x2的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【分析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系可求得x1+x2和x1x2的值代入即可求得答案． 【解答】解：把方程化为一般形式可得x2﹣3x﹣1＝0， ∵x1，x2是方程的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴x1+x1x2+x2＝3+（﹣1）＝2， 故选：D． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程两根和、两根积与方程系数的关系是解题的关键． 7．（3分）下列命题中，正确的是（　　） A．有一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有两个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理判断即可． 【解答】解：A、有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意； B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，本选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理是解题的关键． 8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 5 14 a b 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（　　） A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，众数 D．众数，方差 【分析】平均数的求解是先求和再除以个数，方差由平均数得来，中位数由数据排序得到，众数则反映原数据中最多的数值． 【解答】解：∵共有30名学生报名这3个项目， 把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数， 则不报的和报1个的就有19人了， 所以中位数不会发生改变， 因为报2个项目和3个项目的一共有11人， 而报1个项目的就有14人， 所以众数也不会发生改变． 故选：A． 【点评】本题考查平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的概念及运算是解题的关键． 9．（3分）随着“二胎政策”出生的孩子越来越多，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．2x＝8.5%+9.6% B．2（1+x）＝（1+8.5%）（1+9.6%） C．2（1+x）2＝（1+8.5%+9.6%） D．（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%） 【分析】设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为（1+8.5%），2022年学生数为（1+8.5%）（1+9.6%），利用该校2022年学生数＝该校2020年学生数×（1+2021、2022这两年该校学生数平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为（1+8.5%），2022年学生数为（1+8.5%）（1+9.6%）， 根据题意得：（1+x）2＝（1+8.5%）（1+9.6%）． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点，F为线段AE上一点，若∠CFE＝∠DAE，则EF的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】延长AE与BC的延长线交于点M，过点C作CN⊥AM于点N，先证△ADE和△MCE全等，得出AD＝CM＝4，AE＝ME，再证△CMF是等腰三角形，得出MF＝2MN，再利用勾股定理求出AE的长，即可得出ME的长，利用直角三角形的面积公式求出CN的长，利用勾股定理求出MN的长，即可得出MF的长，最后根据EF＝MF﹣ME即可求解． 【解答】解：延长AE与BC的延长线交于点M，过点C作CN⊥AM于点N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADE＝∠BCE＝90°，AD∥BC， ∴∠MCE＝90°， ∴∠ADE＝∠MCE＝90°， ∵E为CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△MCE中， ， ∴△ADE≌△MCE（ASA）， ∴AD＝CM＝4，AE＝ME， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠CME， ∵∠CFE＝∠DAE， ∴∠CFE＝∠CME， ∴CF＝CM， 在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为CD边的中点， ∴DE＝CE＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， ∴ME＝5， 在Rt△MCE中，， ∴3×4＝5CN， ∴， 在Rt△MCN中，由勾股定理得， ∵CM＝CF，CN⊥MF， ∴MF＝2MN＝， ∴EF＝MF＝ME＝， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的面积，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 　6　． 【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得． 【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°， ∴（n﹣2）×180°＝720°， 解得n＝6， ∴这个多边形的边数是6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n﹣2），难度适中． 12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE＝　20°　． 【分析】由平行四边形ABCD中，易得∠BCD＝∠A＝70°，又因为DB＝DC，所以∠DBC＝∠DCB＝70°；再根据CE⊥BD，可得∠BCE＝20°． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝70°， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝70°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝20°． 故答案为：20°． 【点评】此题主要考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等． 13．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程 　x2+（x+6）2＝102　． 【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可． 【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程： x2+（x+6）2＝102． 故答案为：x2+（x+6）2＝102． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，点D是AC的中点，DE∥BC，若∠AEB＝90°，则DE长的为 　2　． 【分析】延长AE，交BC于点F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的性质得到BF＝AB＝7，进而求出FC，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，延长AE，交BC于点F， ∵点D是AC的中点，DE∥BC， ∴AE＝EF， 在△AEB和△AEF中， ， ∴△AEB≌△AEF（SAS）， ∴BF＝AB＝7， ∴FC＝BC﹣BF＝11﹣7＝4， ∵AD＝DC，AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DE＝FC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD+ME的最小值是 　　． 【分析】连接BD，BE，BE与AC交点即为M点，过点E作EG⊥BC，交BC延长线于G，则MD+ME＝BM+ME＝BE，在Rt△CEG中，求出CG＝1，EG＝，在Rt△BEG中，求出BE＝2，则可求MD+ME的最小值． 【解答】解：连接BD，BE，BE与AC交点即为M点，过点E作EG⊥BC，交BC延长线于G， ∵菱形ABCD， ∴B与D关于AC对称， ∴BM＝DM， ∴MD+ME＝BM+ME＝BE， ∵BC＝4，点E是CD的中点， ∴CE＝2， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ECG＝60°， 在Rt△CEG中，CE＝2，∠ECG＝60°， ∴CG＝1，EG＝， 在Rt△BEG中，BG＝5，EG＝， ∴BE＝2， 故答案为2． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，灵活运用菱形的对称性，将所求MD+ME的最小值转化为求ME的长是解题的关键． 16．（3分）已知：▱ABCD中，AB＝3，，点E为BC中点，AD＝2AE，则▱ABCD的面积为 　12　． 【分析】先证得AE＝BE＝CE，即可得出∠BAC＝90°，再根据平行四边形对角线互相平分及勾股定理求出OA的长，即可得出AC的长，最后根据平行四边形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接AC与BD相交于点O， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AD＝2AE， ∴AE＝BE＝CE， ∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠3， 又∵∠1+∠ABE+∠2+∠3＝180°， ∴2（∠1+∠2）＝180°， ∴∠1+∠2＝90°， 即∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝，OB＝OD＝， 在Rt△ABO中，由勾股定理得， ∴AC＝2OA＝4， ∴▱ABCD的面积为AB•AC＝3×4＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三、（本题共2小题，每题5分，满分10分） 17．（5分）计算：． 【分析】先化简二次根式，再算加减法即可． 【解答】解：原式＝2﹣+2× ＝+ ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的加减法运算，熟练掌握二次根式的化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 18．（5分）解方程：3x2+5x﹣2＝0． 【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，分别求出两个一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：3x2+5x﹣2＝0， 因式分解得：（3x﹣1）（x+2）＝0， 可化为3x﹣1＝0或x+2＝0， 解得：x1＝，x2＝﹣2． 【点评】此题考查了利用因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据a•b＝0，得到a＝0或b＝0转化为两个一次方程来求解． 四、（本题满分8分） 19．（8分）已知点M，N是▱ABCD的对边BC，AD上的点，且BM＝DN，连接AM，CN与BD相交于点E，F． （1）如图1，求证：AM＝CN； （2）如图2，若AB＝AD，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠AMB＝∠CDN，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （2）连接AC交BD于O，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形，求得AO＝CO，AC⊥BD，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，AE＝CE，根据全等三角形的性质得到∠BAM＝∠DCN，求得AE＝AF，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠AMB＝∠CDN， 在△ABM与△CDN中， ， ∴△ABM≌△CDN（SAS）， ∴AM＝CN； （2）连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，AC⊥BD， ∴AF＝CF，AE＝CE， 由（1）知，△ABM≌△CDN， ∴∠BAM＝∠DCN， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠EAC＝∠ACF， ∵AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴∠EAO＝∠FAO， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝CF＝CE， ∴四边形AECF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 五、（本题满分10分） 20．（10分）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．滨湖区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月﹣4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．桶前职守时长的频数分布表 时长x/分钟 频数 频率 0≤x＜10 8 0.16 10≤x＜20 10 0.20 20≤x＜30 16 b 30≤x＜40 12 0.24 40≤x＜50 a 0.08 c．其中，时长在20≤x＜30这一组的数据是：20，20，20，21，21，21，22，23，24，24，25，26，26，27，28，29．请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝　4　，b＝　0.32　； （2）请补全频数分布直方图； （3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 　22.5　； （4）3月﹣4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的人数大约为 　160人　． 【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解可得； （2）根据（1）中a的值，即可将频数分布直方图补充完整； （3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即可得； （4）用总人数乘以样本中参加桶前职守的时长不低于30小时的人数所占比例即可得． 【解答】解：（1）a＝0.08×50＝4，b＝16÷50＝0.32， 故答案为：4，0.32； （2）补全直方图如下： （3）随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为23、23， 所以随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是＝22.5； 故答案为：22.5； （4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的约有500×＝160（人）， 故答案为：160人． 【点评】本题主要考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数、中位数的概念及利用样本估计总体思想的运用． 六、（本题满分12分） 21．（12分）【过程学习】对于代数式x2+4x+3，我们可作如下变形： x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，代数式x2+4x+3的最小值为﹣1．这种方法叫做配方法求最值． 【初步应用】对于代数式2x2﹣4x+3可变形为＝2（x+　﹣1　）2+1，∴对于代数式2x2﹣4x+3，当x＝　1　时，最小值为1． 【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价2万元，共销售60台．根据市场销售经验知：当这种机床售价每增加0.1万元时，就会少售出1台． ①五月份该专卖店想将销售额提高25%，求这种机床每件的售价； ②求五月份销售额最大值是多少？ 【分析】【初步应用】把代数式2x2﹣4x+3进行配方，然后根据偶次方的非负性进行解答即可； 【问题解决】】①设这种机床每件的售价为x万元，根据销售额＝售价×台数，列出方程，求出答案即可； ②根据销售额＝售价×台数，列出代数式，进行配方，求出最大值即可． 【解答】解：【初步应用】 2x2﹣4x+3 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3 ＝2（x2﹣2x+1）﹣2+3 ＝2（x﹣1）2+1， ∵2（x﹣1）2≥0， ∴对于代数式2x2﹣4x+3，当x＝1时，最小值为1， 故答案为：﹣1，1； 【问题解决】①设这种机床每件的售价为x万元，由题意得： ， x（80﹣10x）＝150，80x﹣10x2﹣150＝0， x2﹣8x+15＝0， （x﹣3）（x﹣5）＝0， x﹣3＝0或x﹣5＝0， x1＝3，x2＝5， 答：这种机床每件的售价为3万元或5万元； ②由①得：销售额为： ＝x（80﹣10x） ＝﹣10x2+80x ＝﹣10（x2﹣8x） ＝﹣10（x2﹣8x+16﹣16） ＝﹣10（x﹣4）2+160， ∴当x＝4时，销售额最大，为160万元， 答：五月份销售额最大值是160万元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程和配方法的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系和利用配方法求最值． 七、（本题满分12分） 22．（12分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上一动点，且CE＜BC，连接DE．点F与点E关于直线DC对称，过点F作FH⊥DE于点H，直线FH与直线DB交于点M． （1）依题意补全图1； （2）若∠EDC＝α，请直接写出∠DMF＝　45°﹣α　（用含α的式子表示）； （3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明． 【分析】（1）由题意补全图形即可； （2）由正方形的性质得出∠BDC＝45°，由直角三角形的性质可得出答案； （3）在CD上取点G，使得CG＝CE，连接GE，由正方形的性质得出∠DBC＝∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，BC＝DC，证明△BMF≌△GED（ASA），由全等三角形的性质得出MB＝EG，由等腰直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）补全图形如图1， （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDC＝45°， ∵FH⊥DE， ∴∠MHD＝90°， ∴∠DMF+∠MDH＝90°， ∴∠DMF+∠BDC+∠CDE＝90°， ∴∠DMF+45°+α＝90°， ∴∠DMF＝45°﹣α． 故答案为45°﹣α． （3）BM与CF的数量关系为BM＝CF． 证明：如图2，在CD上取点G，使得CG＝CE，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，BC＝DC， ∵CG＝CE， ∴∠CGE＝∠CEG＝45°， ∴∠DGE＝∠MBF＝135°， ∴BF＝GD， ∵点F与点E关于直线DC对称， ∴CF＝CE＝CG，且点F在BC上， ∵MH⊥DE于点H， ∴∠MHD＝∠BCD＝90°， ∴∠BFM＝∠HFE＝∠CDE， ∴△BMF≌△GED（ASA）， ∴MB＝EG， ∵GE＝CE＝CF， ∴BM＝CF． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键． 七、（本题满分0分） 23．已知M是边长为1的正方形ABCD内一点，若，∠CMD＝90°，则MD＝　　． 【分析】如图，作MF⊥AB于F，交DC于E．则四边形ADEF，四边形BCEF都是矩形，则DE＝AF，CE＝BF，设DE＝x，EC＝y，构建方程组求出x，y再利用相似三角形的性质求出EM，利用三角函数解决问题即可． 【解答】解：如图，作MF⊥AB于F，交DC于E．则四边形ADEF，四边形BCEF都是矩形， ∴DE＝AF，CE＝BF，设DE＝x，EC＝y， ∵AM2＝AF2+MF2，BM2＝BF2+BM2，AM2﹣BM2＝， ∴AF2﹣BF2＝， ∴x2﹣y2＝， ∵x+y＝1， ∴x＝，y＝， ∴ME⊥CD，∠CMD＝90°， ∴△MED∽△CEM， ∴DE：EM＝EM：CE， ∴EM2＝DE•EC＝， ∴EM＝， ∴tan∠ECM＝＝， ∴∠ECM＝60°， ∴DM＝sin60°•CD＝． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/29 13:18:38；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$