精品解析：江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024年南通市高一学年度质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ） A B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ） A. 10m B. 14m C. 17m D. 20m 8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 13. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________． 14. 以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 17. 某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，85） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 18. 已知的面积为9，点D在BC边上，． （1）若，， ①证明：； ②求AC； （2）若，求AD最小值． 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年南通市高一学年度质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】利用数字特征的含义求解即可. 【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量， 方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度. 故选：D. 3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据公式可解． 【详解】根据题意圆锥的母线长，代入即可求得 ． 故选：B. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长. 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用古典概型可解． 【详解】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为， 从盘中任选两个，可得 共种情况． 选中的水果品种相同的选法有：，，有种． 所以选中的水果品种相同概率为：． 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ） A. 10m B. 14m C. 17m D. 20m 【答案】C 【解析】 【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】 如图，设米，则米，米. 在中，由题意可得，， 由余弦定理可得， 解得 米. 故选：C. 8. 在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切化弦的思想以及两角和的公式，等价变形已知条件，求得，然后消元，得到，再一次化简为只有一个三角符号，再求出角A的范围，即可求解. 【详解】因为，所以 所以，又三角形ABC为锐角三角形，所以， 所以 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以 所以 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理逐项进行边角互化即可判断. 【详解】对于A，若，由正弦定理得，所以，所以为直角三角形，故A正确； 对于B，若，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，故B正确； 对于C，若，由正弦定理得，即， 所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误； 对于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以为等腰直角三角形，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误； 对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确； 对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确； 对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据百分数的定义就可求得第40百分位数. 【详解】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据 ， 所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11， 故答案为：11. 13. 已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先利用投影向量的定义求出，再利用数量积的定义求出即可. 【详解】由已知向量在上的投影向量为，则， 又因为即，所以. 所以 故答案为：2 14. 以棱长为2正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正四棱锥的侧面与底面所成的角为，求出正四棱锥的高，从而求体积. 【详解】根据题意，如图，以棱长为2的正方体的一个面为底面的正四棱锥， 取底面中心，中点， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，则， 所以， 从而该多面体的体积为， 考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理得到，得到； （2）设，代入，求出，再由余弦定理得到，进而得到正弦和正切. 【小问1详解】 ， 故， 因为，所以； 【小问2详解】 设，代入中， ，故，解得， 由余弦定理得， 则， 故. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【小问1详解】 连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 17. 某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 （1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的值，再求平均数； （2）由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，再由古典概率求解. 【小问1详解】 因为容量， 所以， 所以该班学生的平均日睡眠时间为 ； 【小问2详解】 由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人， 记中抽取的2人为，中抽取的3人为， 设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件， 则， ， 所以发生的概率， 所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为. 18. 已知的面积为9，点D在BC边上，． （1）若，， ①证明：； ②求AC； （2）若，求AD的最小值． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）①在中，由正弦定理可得，从而得证； ②在中，利用三角函数恒等变换可得所以，在中，由，可解问题； （2）由，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，化简利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 ①因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 所以； ②设，则， 因为，所以， 设，因为，所以， 在中，， 由①知， 所以， 所以， 整理得，又因为，， 所以， 因为，所以， 在中，因为，， 所以，所以， 则， 所以； 【小问2详解】 记的内角为，所对边为， 因为， 所以， 所以， 在中，因为， 所以由余弦定理可得， 整理得， 因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以AD的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由平面向量得，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，利用三角函数恒等变换化简，并利用基本不等式求最值. 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【小问1详解】 证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 ①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$