精品解析：2024年湖北省武汉市武汉二中广雅中学中考二模数学试题

九年级（下）数学中考模拟（二） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的相反数是，则的值是（　　） A. B. 2024 C. D. 2. 下列常用手机的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是(　　) A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的球中至少有1个是黑球 D. 摸出的是2个白球、1个黑球 4. 要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算的结果是x5的为（　　） A. x10÷x2 B. x6﹣x C. x2•x3 D. （x2）3 6. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，五一期间某景区有A，B，C三个入口，D，E两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A或B入口进入，从D出口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长六寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长6寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：尺）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则由图可知瓜蔓与瓠蔓相遇的时间是第（ ）天（注：1尺寸） A. 3 B. C. D. 9. 如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（ ） A. b B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则k的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为的形式，则__________． 12. 写出一个当自变量时，y随x的增大而增大的反比例函数表达式____________． 13. 计算：______． 14. 某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔高度．如图，无人机在距离地面168米的A处，测得该塔底端点B的俯角为，然后向古塔方向沿水平面飞行41秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为．已知无人机的飞行速度为4米/秒，则这座古塔的高度约为__________米（参考计算：，结果精确到米） 15. 抛物线（，a，b，c为常数）交x轴于点，且．下列4个结论：①；②抛物线过点；③；④抛物线上有点，，当时，．其中结论正确的是__________（填写序号） 16. 如图，在半圆O中，直径，点P为半圆O圆弧上一动点，则的最大值为__________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组的非负整数解 18. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 19. 中华文化，源远流长．在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查．根据调查结果绘制成如所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了__________名学生，调查所得数据的众数是__________部，中位数是__________部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为__________度． （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该中学有2000名学生，请估计至少阅读2部四大古典名著的学生有多少名？ 20. 如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． （1）连接，求证：平分； （2）过点D作于点F，若，求的长． 21. 如图网格，正方形顶点都在网格线的交点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）图1中，先画正方形的中心O，再在上找点F，连接，使得平分正方形的面积； （2）图2中，M为边与网格线的交点．先画点M绕点D逆时针旋转的对应点G；再在边上画点H，连接，，使得． 22. 某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． （1）求图1中右边抛物线的解析式； （2）计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； （3）圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 23. （1）问题提出：如图，在正方形中，连接对角线、，E、F分别是对角线和边上的点，且，求证：； （2）尝试应用：如图2，在等腰梯形中，，，连接，若，，点E、F分别为边和对角线上的点，且满足，，求的长； （3）拓展提升：如图3，在菱形中，交的延长线于点H，且，E、F分别是线段和对角线上的点，且，，若满足：，则________． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式为：__________； （2）如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； （3）如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（下）数学中考模拟（二） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的相反数是，则的值是（　　） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数，理解相反数的定义，正确解答即可． 【详解】解：因为2024的相反数是， 所以， 故选：B． 2. 下列常用手机的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念，注意中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是(　　) A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的球中至少有1个是黑球 D. 摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解析】 【分析】根据白球只有个不可能摸出三个即可进行解答． 【详解】解：A. 摸出的是个白球是不可能事件，故本选项不符合题意； B. 摸出的是个黑球是随机事件，故本选项不符合题意； C. 摸出的球中至少有个是黑球是必然事件，故本选项符合题意； D. 摸出的是个白球、个黑球是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，熟记相关知识点是解决问题的关键． 4. 要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从上往下看，得到俯视图即可． 【详解】解：由题意，俯视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图．熟练掌握俯视图是从上往下看得到的，是解题的关键，注意存在看不见的线，用虚线表示． 5. 下列计算的结果是x5的为（　　） A. x10÷x2 B. x6﹣x C. x2•x3 D. （x2）3 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出每一选项的结果，再进行判断即可. 【详解】A. x10÷x2=x10-2=x8，故原选项错误； B. x6﹣x无法计算，故原选项错误； C. x2•x3=x2+3=x5，故此选项正确； D. （x2）3=x6，故原选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、除法以及幂扔乘方运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 6. 健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，五一期间某景区有A，B，C三个入口，D，E两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A或B入口进入，从D出口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小红从入口A，B进入景区并从D出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有6种， 设小红从A或B入口进入景区并从D出口离开的概率是P， ∵小红从A或B入口进入景区并从D出口离开的有2种情况， ∴． 故选：B． 8. 《九章算术》记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长六寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？（大意是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长6寸，地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：尺）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则由图可知瓜蔓与瓠蔓相遇的时间是第（ ）天（注：1尺寸） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用及一次函数图象，正确理解题意是解题的关键．根据瓜蔓、瓠蔓的生长速度可得出瓜蔓、瓠蔓离地面的高度关于生长时间的函数图象解析式，联立两个解析式求出交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：∵墙高9尺，瓜蔓每天长6寸， ∴瓜蔓离地面的高度关于生长时间的函数图象解析式为， ∵瓠向上长，每天长1尺， ∴瓠蔓离地面的高度关于生长时间的函数图象解析式为， 联立两个解析式得：， 解得， 即瓜蔓与瓠蔓相遇的时间是第天 故选：D． 9. 如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（ ） A. b B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则k的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键，补全函数图象，分和两种情况分别利用数形结合进行解答即可. 【详解】解：由函数可知，和时的函数图象关于y轴对称，补全函数图象如图所示， 当时，当直线与 函数的图象有三个交点时， 则，即有两个相等的实数根，即， 解得或， 由图象可知，不合题意，舍去， 即， 当时，当直线与 函数的图象有三个交点时， 则，即有两个相等的实数根，即， 解得或， 由图象可知，不合题意，舍去， 即， 综上可知，k的值为或， 故选：D 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为的形式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：14.12亿， ， 故答案为：． 12. 写出一个当自变量时，y随x的增大而增大的反比例函数表达式____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当时，在每个象限内，y随x的增大而增大，进行解答即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∴当自变量时，y随x的增大而增大的反比例函数表达式为． 故答案为：．（答案不唯一） 13. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，先通分再合并，最后化简，熟练掌握分式加减运算的运算法则是解题的关键． 先通分，再合并，然后将分母进行因式分解，约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔高度．如图，无人机在距离地面168米的A处，测得该塔底端点B的俯角为，然后向古塔方向沿水平面飞行41秒到达点C处，此时测得该塔顶端点D的俯角为．已知无人机的飞行速度为4米/秒，则这座古塔的高度约为__________米（参考计算：，结果精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作地面于E，交的延长线于F，根据正切的定义求出，再根据正切的定义计算即可． 【详解】作地面于E，交的延长线于F， 则四边形为矩形， ∴， 在中， ， 则， ∴， 在中，， 则， ∴（米） 故答案为：． 15. 抛物线（，a，b，c为常数）交x轴于点，且．下列4个结论：①；②抛物线过点；③；④抛物线上有点，，当时，．其中结论正确的是__________（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点，抛物线上点的坐标特征，利用得到，利用“左同右异”判断①，利用对称性判断②，利用点的坐标特征得到，进而判断③，利用二次函数的图象与性质得到时，，或时，，即可判断④． 【详解】解：， ，即， ， ，即①正确； 抛物线交x轴于点，， 抛物线过点；即②正确； 抛物线交x轴于点， ， ， ， ， ， ， ，即③正确； 抛物线（，a，b，c为常数）交x轴于点，， 时，， 或时，， 当时，， ， ，即④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 16. 如图，在半圆O中，直径，点P为半圆O圆弧上一动点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点C，使得，连接，作的外接圆，连接，并延长交于点D，连接，则的值即为的值，当点C与点D重合时，有最大值，即为的值，的直径，解直角三角形求出，利用圆周角定理得到，由为的直径，得到，再利用直角三角形中，含角所对的边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：延长至点C，使得，连接，作的外接圆，连接，并延长交于点D，连接， 则的值即为的值， 当点C与点D重合时，有最大值，即为的值，的直径， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，直角三角形的特征，三角形外接圆，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组的非负整数解 【答案】，原不等式组的非负整数解为0，1 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组，先求出每个不等式组的解集，取公共部分得到不等式组的解集，写出其中的非负整数即可. 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0，1 18. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 分别是，的中点， ， 四边形是平行四边形， ． （2）当时，四边形是矩形，理由： 由（1）已证：四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则， ， ，即， ， 故当时，四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 19. 中华文化，源远流长．在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查．根据调查结果绘制成如所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了__________名学生，调查所得数据的众数是__________部，中位数是__________部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为__________度． （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该中学有2000名学生，请估计至少阅读2部四大古典名著的学生有多少名？ 【答案】（1），1,2， （2） 条形统计图补充如下： （3）名． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图，利用部分的数量及百分比求总数，求扇形圆心角的度数，求总体中部分的数量，正确理解扇形统计图与条形统计图的关系得到相应的信息是解题的关键． （1）利用2部的人数及百分比即可求出调查总人数，根据定义求解众数和中位数，用1部的百分比乘以即可得到扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角； （2）根据（1）中求出的1部的人数补全条形统计图即可； （3）用总人数乘以至少阅读2部的占比即可． 【小问1详解】 本次调查一共抽取了名学生， 由题意可得，1部的人数为（名）， 则调查所得数据的众数是1部， 40个数据从小到排列后，处在中间位置的是第20个和21个数据，即为2和2，故中位数为（部）, 扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为, 故答案为：，1，2， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （名）， ∴至少阅读2部四大古典名著的学生有名． 20. 如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点． （1）连接，求证：平分； （2）过点D作于点F，若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及到圆周角定理、全等三角形的性质及判定、垂径定理的推论，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关性质 （1）连接并延长交于点H，证明，再根据等腰三角形的性质及等量代换来证得结果； （2）连接，过点D作，垂足为点G，证明及，再通过等量代换得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明，如图，连接，过点D作，垂足为点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴ 21. 如图网格，正方形顶点都在网格线的交点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）图1中，先画正方形的中心O，再在上找点F，连接，使得平分正方形的面积； （2）图2中，M为边与网格线的交点．先画点M绕点D逆时针旋转的对应点G；再在边上画点H，连接，，使得． 【答案】（1） 如图，点F即为所求； （2） 如图，点G，点H即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点F即为所求； （2）延长交过点的网格竖线于点，由题知，，进而得到，得到，利用全等三角形的性质可知点G即为所求；连接，交于点H，得到，进而得到，得到，又，得到，即可使得，点H即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． （1）求图1中右边抛物线的解析式； （2）计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； （3）圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）水柱会落在圆形水池外， 理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； 【小问3详解】 略 23. （1）问题提出：如图，在正方形中，连接对角线、，E、F分别是对角线和边上的点，且，求证：； （2）尝试应用：如图2，在等腰梯形中，，，连接，若，，点E、F分别为边和对角线上的点，且满足，，求的长； （3）拓展提升：如图3，在菱形中，交的延长线于点H，且，E、F分别是线段和对角线上的点，且，，若满足：，则________． 【答案】（1）证明： 设正方形对角线交于点， ∵在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得； （2）连接交于点，延长，交于点，先证，再证，列式求解即可； （3）连接交于点，设，，求出，可得，证，得，列式解得，利用列式解得，可得，求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接交于点，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）如图，连接交于点， ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∵菱形中，， ∴，， ∴， ∵菱形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 化简得：， ∴， 解得：（负值舍）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的综合运用，涉及相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，全等三角形的判定与性质，正方形、菱形的性质，勾股定理，比例的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式为：__________； （2）如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； （3）如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数法求解析式即可； （2）设，分类讨论，当时，由，建立关于m的方程并求解即可；当时，由，建立关于m的方程并求解即可； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F，设直线的直线解析式为：，求出P点坐标，联立并求出点坐标，由等腰三角形的性质和中点坐标公式求出E点坐标，利用待定系数法求出的解析式，并求出Q点坐标，进而求出，联立求出N点坐标，利用待定系数法求出的解析式，求出R坐标，进而求出，再根据，建立关于k的方程，解方程求解即可； 【小问1详解】 把和代入得， ，解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 设， 当时，， ， ， 当时，如图， ， ， 解得，（舍）， ， ， 当时，如图， ， ， 解得（舍），， ， ， 综上所述，或； 【小问3详解】 延长交x轴于E，过M作轴于F， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 设直线的直线解析式为：， 把代入得，， 直线的直线解析式为：， 当时，， ， 联立， 得 ，即， 解得， 当时，， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 联立，得，即， 解得， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 解得：或， M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点， ， ， 直线的解析式为：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，面积问题，角度问题，等腰三角形的性质和判定，中点坐标公式等知识点；解题的关键是分割法求面积，根据，建立关于k的方程； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $