精品解析：2024年河南省信阳市息县中考三模数学试题

2024年信阳市息县中考第三次模拟考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页,三个大题,满分120分,考试时间120分钟． 2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求,直接把答案填写在答题卡上． 答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分,共30分）下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倒数的概念求解即可． 【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 2024年1月，国家统计局公布了2023年全年出生人口数约为9020000，其中数字9020000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．根据用科学记数法表示较大的数时，比原来的整数位数少1，即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，根据运算法则逐一计算判断即可，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵不是同类项，无法计算，故A不合题意． ∵， ∴B合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D不合题意． 故选：B． 5. 物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为，，，小木块在斜坡上，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的内角和可得，再由平行线的性质即可求的度数． 本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是明确三角形的内角和为，熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：B． 6. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 7. 如图所示，某同学自制了一个测角仪：等腰直角三角板的底边和量角器直径平行．若重锤线与的夹角为，那么被测物体表面的倾斜角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理和平行线的性质：解决问题的关键是了解测倾器的制作原理． 延长交于点G，由得，在中由内角和定理即可求解． 【详解】解：延长交于点G， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是（ ） A 2 B. 2.6 C. 3 D. 3.1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，根据扇形图以及权重，进行列式计算即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 9. 一个不透明的口袋里有1个红色小球，1个黄色小球，1个蓝色小球，这3个球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回口袋，摇匀后再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到黄色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有1种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为， 故选：B． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像及其性质,掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． 根据二次函数图像的对称性确定点B的横坐标,可判断①;将代入并结合图像可判断②;根据抛物线的对称轴为直线可判断③;根据函数的增减性可判断④． 【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点B的横坐标为b,则有:,解得:, ∴点B的坐标为,即①正确; ∵点B的坐标为, ∴当时,由函数图像可得函数值大于零,即,即②错误; ∵抛物线的对称轴为直线， ∴,即,即③错误; ∵, ∴y随x的增大减小,即,即④正确． 综上,正确的有2个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，得出关于x的不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为∶． 12. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13. 请你写出一个图象经过点的函数解析式：______． 【答案】，，（答案不唯一）． 【解析】 【分析】此题为开放性试题．写的时候，此题只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合的解析式即可． 【详解】解：将点代入一次函数或反比例函数的形式或二次函数得： ，，等， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____． 【答案】10 【解析】 【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可． 【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG， ∵，EF＝CG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴CE＝FG， ∴AF+CE＝AF+FG， ∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG， 由勾股定理得，AG＝＝＝10， ∴AF+CE的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，点E是的中点，将沿折叠后得到，延长交射线于点F，若，则的长为___________. 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和分类讨论思想是解答的关键．设，，先根据矩形的性质和折叠性质得到，，分点F在边上时和点F在的延长线上时两种情况，证得到，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵在矩形中，，点E是的中点， ∴，，， 由折叠性质得，，， 当点F在边上时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，由得， 解得，则； 当点F在的延长线上时，如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，由得， 解得，则， 综上，的长为2或， 故答案：2或． 三、解答题（本大题共8个小题,共75 分） 16. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、零次幂、余弦值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先去分母，化为整式方程，解出，注意验根，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是 17. 为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析． 【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 乙校 b 79 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）补全条形统计图； （3）甲校共有人参加测试，若测试成绩不低于80分为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有 人； （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，平均数、中位数、众数、方差的意义等等： （1）根据抽取的乙校中E组人数及其对应的百分比可求a的值，根据中位数的概念求b的值； （2）先求出甲校中组别C的人数，进而补全统计图即可； （3）用乘以甲校样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案； （4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：， 在乙校共抽取50名学生，其第名和第名学生成绩的平均数为中位数， ∵乙校的F组中有人，E组中有15人， ∴乙校的第名和第名学生成绩在E组中， 将E组成绩从小到大排列为 ∴第名和第名学生成绩分别为和， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：甲校中C组人数为（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人） 故答案为：； 【小问4详解】 解：平均数表示两个学校抽取的人成绩的平均成绩； 众数表示两个学校抽取的人中得分在某个分数的人数最多； 中位数表示两个学校抽取的人中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩； 方差表示两个学校抽取的人的成绩稳定性． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线交于点，交于点； ②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，． （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、垂直平分线的性质，菱形的判定． （1）利用尺规作垂直平分线的方法画图，再按照要求取点连线即可． （2）先猜想四边形为菱形，再证明，由于为的垂直平分线，故，又因为，可证明四边形为平行四边形，然后利用即可证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：按照要求，如图所示，即为所求作的图形． ． 【小问2详解】 猜想：四边形为菱形． 证明：为的垂直平分线， ， ， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 19. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A与点B是关于原点对称的， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴ 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 20. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 【答案】如意雕塑的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 延长交于，延长交于， 根据矩形的性质得到米，米，，米， 解直角三角形即可得到结论. 【详解】延长交于，延长交于， 则米，米，， ∴米， 设米， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴(米)， ∴(米)， 答：如意雕塑的高度约为米. 21. 2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 （1）在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； （2）已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 【答案】（1）跳绳的单价为元根，足球的单价为元个 （2）在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是：（）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（）由总价单价数量，找出关于的函数关系式． （1）设跳绳的单价为元个，足球的单价为元条，根据“按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买跳绳条，则购买足球（）个，根据总价单价数量，可得出关于的函数关系式，由跳绳的数量不超过足球数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质求出最值比较即可解决问题． 【小问1详解】 解：设跳绳的单价为元根，足球的单价为元个，依题意，得： ， 解得：． 答：跳绳的单价为元根，足球的单价为元个． 【小问2详解】 设购买跳绳条，则购买足球（）个， ∵跳绳的数量不超过足球数量的一半， ∴ ∴ 设总费用为元，依题意，得：． ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元）， ， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，为（元） ∵， ∴在甲家店购买，该班所需总费用最低，这个最低总费用为元． 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. （1）【发现】如图1，正方形的边长为4，点 E为中点．连接．将绕点 A 顺时针旋转 至 连接交于点 G．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点 H……请沿着小明的思路思考下去，则 （2）【应用】如图2，菱形边长为3，且，连接，点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转 至，连接交于点G，若，求的值； （3）【拓展】如图3，在四边形中，，且．点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造直角三角形是关键 （1）过点E作，交于点 H，由，可得，进而求出，即可求解； （2）过点E 作，作，求出，由是等边三角形，是等边三角形，，即可求解； （3）过点E作，作，交延长线于点R，交于点Q，可得，设，则，由，得，列出比例式，进而即可求解 【详解】（1）过点E作，交于点 H， ∵正方形的边长为4， ∴四边形矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点 E为中点， ∴， ∵将绕点 A 顺时针旋转 至 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点E 作，作， ∵菱形的边长为3，且， ∴是等边三角形，， ∵ ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将 绕点A顺时针旋转 至， ∴，，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作，作，交延长线于点R，交于点Q， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 设，则， ∵将 绕点A顺时针旋转至， ∴， ∵， ∴，即， 过点B作，过点A作，则， ∴， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 经检验：是方程的解， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年信阳市息县中考第三次模拟考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页,三个大题,满分120分,考试时间120分钟． 2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求,直接把答案填写在答题卡上． 答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分,共30分）下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 2024年1月，国家统计局公布了2023年全年出生人口数约为9020000，其中数字9020000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 物理实验中，小明研究一个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，斜被为，，，小木块在斜坡上，且，，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如图所示，某同学自制了一个测角仪：等腰直角三角板的底边和量角器直径平行．若重锤线与的夹角为，那么被测物体表面的倾斜角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是（ ） A. 2 B. 2.6 C. 3 D. 3.1 9. 一个不透明的口袋里有1个红色小球，1个黄色小球，1个蓝色小球，这3个球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回口袋，摇匀后再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到黄色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 12. 不等式组的解集是__________． 13. 请你写出一个图象经过点的函数解析式：______． 14. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____． 15. 如图，在矩形中，，点E是的中点，将沿折叠后得到，延长交射线于点F，若，则的长为___________. 三、解答题（本大题共8个小题,共75 分） 16. （1）计算：． （2）解方程： 17. 了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析． 【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图． 【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 乙校 b 79 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）补全条形统计图； （3）甲校共有人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有 人； （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中意义． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线交于点，交于点； ②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，． （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明． 19. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 20. 在郑州之林公园内有一座如意雕塑(图1)，它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2 所示的方案测量如意雕塑的高度 EF：①在如意雕塑前的空地上确定测量点A，当测量器高度为时，测得如意雕塑最高点E的仰角 ；②保持测量器位置不变，调整测量器高度为 时，测得点E的仰角， 已知点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度．(结果精确到1m ．参考数据： 21. 2024 年郑州市中招体育考试抽号流程为：第一次抽号确定素质类项目（从1 分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远四项素质类项目中抽考1 项）；第二次抽号确定运动健康技能类统考项目（从篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球三项运动健康技能类中抽考1项）．某班为了备战中考体育，统一采购了一批跳绳和足球，已知跳绳与足球的总数量为50个（每种都购买），下面是经过调查，甲、乙两个商店的跳绳和足球售价信息及优惠方案： 商店 足球单价 跳绳单价 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 足球原价，跳绳五折 （1）在调查过程中，由于粗心，将足球与跳绳的单价遗失了，只知道甲、乙两个商店的足球和跳绳的单价相同，如果按原价买根跳绳与个足球需要花元，花同样的钱还能按原价买根跳绳与个足球，求跳绳与足球的单价； （2）已知跳绳的数量不超过足球数量的一半，若跳绳与足球只能在同一家店购买，则在哪家店购买，该班所需总费用最低？求出这个最低总费用． 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 23. （1）【发现】如图1，正方形的边长为4，点 E为中点．连接．将绕点 A 顺时针旋转 至 连接交于点 G．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作，交于点 H……请沿着小明的思路思考下去，则 （2）【应用】如图2，菱形的边长为3，且，连接，点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转 至，连接交于点G，若，求的值； （3）【拓展】如图3，在四边形中，，且．点E为上一点，连接．将 绕点A顺时针旋转至，连接交于点C，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$