精品解析：江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

2023—2024学年第二学期期末检测 高二数学 2024.06 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是上的增函数 B. 的值域为 C. “”是“”的充要条件 D. 若关于的方程恰有一个实根，则 7. 五一劳动节放假5天，小王同学各花1个上午的时间游览茱萸湾风景区､双博馆，另外花2个下午的时间打篮球､1个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（ ）种. A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200 8. 若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. 或 D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 利用线性回归方法求出一组数据的线性回归直线方程，则这组数据确定的点中至少有一个在这条直线上 B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 C. 若随机变量服从二项分布，则的方差为2 D. 若随机事件满足，则事件与相互独立 10. 若为正整数且，则下列等式中正确的是（ ）. A. B. C. D. 11. 棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（ ）. A. 任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2 B. 存在一个位置，使 C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 当时，的最大值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量服从正态分布，若，则__________. 13. 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 14. 定义域为的函数满足，且时，，则__________，__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）求； （2）若实数，集合，且“”是“”的必要条件，求的取值范围. 16. 已知，且. （1）求与的值； （2）求的值. 17. 已知三棱柱的棱长均为. （1）证明：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 18. 为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为），某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据（单位：人）： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 20 60 女性 16 24 40 合计 56 44 100 （1）根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关； （2）现从这100人中任选1人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手､若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数. （1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期期末检测 高二数学 2024.06 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，然后求交集. 【详解】，所以. 故选：A. 2. 已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与共线判断. 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可. 【详解】根据题意，函数，定义域为R， ， 则是奇函数，图象关于原点对称，排除CD， 又，排除A. 故选：B. 4. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题为假命题，则否命题为真命题，根据否命题列出不等式，求解即可． 【详解】因为“”是假命题， 所以“”是真命题，则，解得， 故选：C． 5. 已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为， 且四点共面， 由空间共面向量定理可知，存在实数满足， 即， 所以，解得，所以的值为. 故选：D. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是上的增函数 B. 的值域为 C. “”是“”的充要条件 D. 若关于的方程恰有一个实根，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，先求出每一段的值域，再可求出函数的值域，对于C，由解不等式，再结合充要条件的定义分析判断，对于D，画出函数图象分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，所以不是上的增函数，所以A错误， 对于B，当时，，当时，， 所以的值域为，所以B错误， 对于C，当时，由，得，解得， 当时，由，得，解得， 综上，由，得，或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C错误， 对于D，的图象如图所示， 由图可知当时，直线与图象只有一个交点， 即关于的方程恰有一个实根，所以D正确， 故选：D 7. 五一劳动节放假5天，小王同学各花1个上午的时间游览茱萸湾风景区､双博馆，另外花2个下午的时间打篮球､1个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（ ）种. A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200 【答案】B 【解析】 【分析】分上午和下午分别计数，根据分步乘法原理求解. 【详解】先从5个上午中选两个去游览茱萸湾风景区､双博馆，有种， 再从5个下午中选两个打篮球，选1个踢足球，有种， 根据分步乘法原理，共有种. 故选：B 8. 若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导函数，再分类讨论大小根据极值点求参数. 【详解】因为若为函数的极大值点, 所以, , 当,单调递减，单调递增, 所以是的极大值点符合题意； 当时， 当即,单调递增,单调递减， 所以是的极大值点符合题意； 当即,单调递增,单调递减， 所以是的极小值点不符合题意； 当即,单调递增,无极值点不符合题意. 故或. 故选：C. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ）. A. 利用线性回归方法求出一组数据的线性回归直线方程，则这组数据确定的点中至少有一个在这条直线上 B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 C. 若随机变量服从二项分布，则的方差为2 D. 若随机事件满足，则事件与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据线性回归直线的含义判断；B选项，根据残差的含义判断；C选项，根据二项分布方程的公式计算；D选项，根据条件概率和乘法公式判断. 【详解】样本中心点在线性回归直线上，但这组数据确定的点不一定在线性回归直线上，故A错； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模拟的你和精度越高，故B正确； ，故C错； ，则，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：BD. 10. 若为正整数且，则下列等式中正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据组合数的性质判断ABC选项；根据二项式展开式判断D选项. 【详解】根据组合数的性质可知AC正确； ，故B错； ，故D正确. 故选：ACD. 11. 棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（ ）. A. 任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2 B. 存在一个位置，使 C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 当时，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用古典概型的概率公式直接求解判断；当时，能证出平面，即能证出.首先找出即为二面角的平面角，，在三棱锥中通过提外心的方法求出外接球的半径；建系求解D选项即可. 【详解】任取三棱锥中的三条棱，有种， 其中共面一共有种，故概率为，故A对； 如图：若，则为等边三角形，取的中点， ，同理，，平面， 所以平面， 平面，所以.故B对. 设，连接，因为与都是等边三角形， 则有，即为二面角的平面角，， 与的中心依次为，设平面，平面 ，则为外接球的球心， ，，则四边形外接圆的直径为， ，在直角中，利用勾股定理得到， 在中，利用勾股定理得， 外接球的表面积为.所以C错； 在点处建系，为轴，为轴，则，,，， ，， 则， ，，则 ， 的最大值为，故D对. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】0.2 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴，有， 由，则. 故答案为：0.2 13. 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，且其相关系数，记关于的线性回归方程为.经计算可知：，则__________. 参考公式：. 【答案】##1.875 【解析】 【分析】根据参考数据及公式先利用相关系数求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 由， 解得， 所以. 故答案为： 14. 定义域为的函数满足，且时，，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，求出，令，求出，令，求出，令，可求出函数的周期，令，可得，再根据函数的周期性即可求出. 【详解】由， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 即，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 令，则，即， 又时，，所以， 令，则， 所以，即， 所以， 则， 由，得， 由，得， 所以 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是采用赋值法结合已知条件得到函数的周期性. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）求； （2）若实数，集合，且“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求集合，再根据并集运算求解； （2）先求集合C，由必要条件可知，根据包含关系分析求解. 【小问1详解】 因为，解得，即； 又因为，解得，即； 所以. 【小问2详解】 因为，且，可知， 解得，即， 若“”是“”的必要条件， 则，即，可得， 所以的取值范围为. 16. 已知，且. （1）求与的值； （2）求的值. 【答案】（1）448，-448 （2）-3280 【解析】 【分析】（1）根据列方程得到，然后求，将变形为，然后利用二项式的性质求； （2）利用赋值法求系数和即可. 【小问1详解】 由题可知， 即，即， 所以（舍）或. 所以； 因为①， 所以. 【小问2详解】 在①式中，令，则②， 令，则③， 由②-③得，， 所以. 17. 已知三棱柱的棱长均为. （1）证明：平面平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】（1） 如图，取AC的中点，连接， 由余弦定理，， 故有，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取AC的中点，连接由余弦定理和勾股定理证明，再证，推出平面，最后由线面垂直推出面面垂直即可； （2）由题意建系，根据题设条件，求出平面的法向量，借助于空间向量夹角公式求出的值，最后利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，故可分别以所在直线为轴 建立空间直角坐标系如图所示. 则， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则 不妨取， 可得是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 化简整理得解得，或（舍去），则， 又因为，可得. 设点到直线的距离为， 则，解得. 故点到直线的距离为. 18. 为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为），某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据（单位：人）： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 20 60 女性 16 24 40 合计 56 44 100 （1）根据表中数据，判断是否有的把握认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关； （2）现从这100人中任选1人，表示“受邀者接受挑战”，表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层抽样，随机抽取5名受邀选手､若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关. （2）3 （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与6.635比较大小，得出结论. （2）先根据条件概率公式求，，再根据定义，求的值. （3）列出的可能值，结合条件概率，求出对应的每一个值的概率，可得的分布列，再求期望. 【小问1详解】 假设：是否接受挑战与受邀者的性别无关. 根据列联表中的数据可以求得 ， 由于，且当成立时，， 所以有的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有关. 【小问2详解】 ， 同理，所以. 【小问3详解】 由分层抽样知，随机抽取的5名受邀选手中，男性有3人，女性有2人. 根据频率估计概率知，男性选手接受挑战的概率为，不接受挑战的概率为. 可能得取值为， 3名被抽取的男性选手中，恰抽到人被访谈记为事件， 则， 被访谈的2名选手中接受挑战的男性人数恰好为人记为事件， 则， ， 所以 ， ， . 故的分布列如下： 0 1 2 . 【点睛】方法点睛：在问题（3）中，分层抽样得到得5个人中，由3男2女，包含事件：①从5人中抽出的2人都不是男生；②从5人中抽出的2人有1个男生，但他拒绝挑战；③从5人中选出的2人都是男生，但他们都拒绝挑战，所以的概率应该用条件概率来求，类似的，，也要考虑的周全一些. 19. 已知函数. （1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若有两个零点，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义先求切点，即可得解； （2）方法一：利用导数求函数的最小值； 方法二：分离参数法，等价于恒成立； 方法三：由题意，分离参数法，等价于恒成立； （3）方法一：思路一：构造函数，利用导数研究函数单调性；思路二：要证，即证，令，即证；思路三：令，要证，即证，即证，即证，利用导数证明； 方法二：由，令，求其最小值，由的单调性可知，思路一：构造函数，利用导数得证；思路二：令，要证，即证，即证；思路三：令，则，要证，即证，即证；思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【小问1详解】 当时，. 设切点，则 消得，解得，代入得. 【小问2详解】 方法一：因为， 所以， 当时，设，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 又-axe，故恒成立，所以成立. 当时，， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 故，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为. 方法二：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 设，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 方法三：因为恒成立， 又，所以上式等价于恒成立. 记，则， 所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以. 令，则，则恒成立. 记，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 故的取值范围为. 【小问3详解】 方法一：因为有两个零点，不妨设， 则， 即，即， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即. 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则， 故在上单调递减， 又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：要证，即证，即证. 令，即证. 构造函数. 则， 故在内单调递减，则，即. 故. 思路三：因为，即， 令，则 即 要证，即证， 即证，即证， 下同思路一，略. 方法二：因为有两个零点，不妨设， 则， 即. 令，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以. 令，则单调递增， 又，所以，即 由的单调性可知. 思路一：构造函数. 则 ， 令，则， 所以当时，单调递减， 所以当时，，则，所以， 故在上单调递减，又，所以，则，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以. 故. 思路二：因为，所以， 即， 令，要证，即证， 即证. 构造函数. 则， 故在上单调递减，则. 故. 注：要证明，即证，构造函数. 则， 故在上单调递减，则.故. 思路三：令，则即. 要证，即证，即证. 下同思路二，略. 思路四：对两边取对数，得，下面同方法一. 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $