4.3 三角函数的性质（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

4.3 三角函数的性质 考点一 周期 【例1-1】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2023·湖南）给出下列函数： ①；②；③；④． 其中最小正周期为的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【例1-3】（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【一隅三反】 1．（2023北京）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024河南）下列函数中是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 考点二 对称性 【例2-1】（23-24高三上·重庆·期末）（多选）下列函数中，其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【一隅三反】 1．（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．3或 B．2或 C．或 D．或 考点三 单调性 【例3-1】（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2024江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【例3-3】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（2024·福建莆田·三模）（多选）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 【一隅三反】 1．（2023春·广西）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·二模）已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为 . 考点四 奇偶性 【例4-1】（2024河北衡水 ）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 3．（2024·福建宁德·三模）（多选）函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 考点五 值域 【例5-1】（2023云南）函数在的最大值是（    ） A．2 B．0 C．1 D． 【例5-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 . 【例5-3】（2024·全国·三模）当时，的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【例5-4】（2024北京朝阳·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 【例5-5】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________． 2．（2024·河北石家庄·二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 3．（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是 . 4．（23-24高三下·河南·阶段练习）（多选）下列函数中，最小值为1的是（    ） A． B． C． D． 考点六 伸缩平移 【例6-1】（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递增 【例6-2】（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 . 【一隅三反】 1．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 2．（2024·山东·模拟预测）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最小值为 C．的最小正周期可以为 D．的图象关于原点对称 3．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 考点七 解析式 【例7-1】（2024·浙江金华·三模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．在区间的最小值为 【一隅三反】 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数在上单调递减 D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 考点八 W的取值范围 【例8-1】（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【一隅三反】 1．（2024·山西太原·三模）已知函数在上有且只有两个零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 3．（2024天津武清·期中）已知函数，若的图象的一条对称轴是，且在区间上单调递增，则w的取值范围是 1． 单选题 1．（2024·宁夏·二模）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3 ．（2024·江西景德镇·三模）函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏银川·三模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于函数，有下列命题： ①的最小正周期为；②函数的图象关于对称； ③在区间上单调递增；④将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 其中正确的为（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 6．（2024·山东聊城·三模）设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（2023·全国·高三专题练习）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北·模拟预测）当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．是图象的一个对称中心 D．在上单调 10．（2024·广东江门·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B．函数在区间上单调递增 C．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位 D．函数在区间上的取值范围是 11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．当时，的图象关于中心对称 B．当时，将图象向右平移个单位长度后的函数图象关于y轴对称 C．当时，在上单调递减 D．设的周期为T，若时，，为方程的两个不相等实根，则 3． 填空题 12．（2024·四川·模拟预测）已知函数（），当时，单调递增，则的取值范围是 ． 13．（2023江西抚州·期末）若函数在的值域为，则的取值范围是 14．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ． 4． 解答题 15．（2024广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 16．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围. 17．（2024·河北·三模）已知函数． (1)求在上的单调增区间； (2)若关于x的方程在区间内有两个不同的解，，求实数a的取值范围，并证明． 18．（2024·重庆·三模）如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”. (1)已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和； (2)若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围. 19．（2024·河北·二模）已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”. (1)判断函数是否是“函数”； (2)设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值； (3)若函数是“函数”，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 三角函数的性质 考点一 周期 【例1-1】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 【例1-2】（2023·湖南）给出下列函数： ①；②；③；④． 其中最小正周期为的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【解析】对于①，，其最小正周期为; 对于②，结合图象，知的最小正周期为． 对于③，的最小正周期． 对于④，的最小正周期．故选：A． 【例1-3】（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即， 且，所以.故选：B. 【一隅三反】 1．（2023北京）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对选项A，由于函数不是周期函数，故排除A； 对选项B，由于函数，周期为，故排除B； 对选项C，由于函数的周期为，故排除C； 对选项D，由于函数的周期为，故D正确. 故选：D 2．（2023·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，，∴ 选项B：且，∴ 对于选项C，，∴ 对于选项D，，∴, 故选：C. 3．（2024河南）下列函数中是奇函数且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由选项A得， 所以该函数为偶函数，且最小正周期为，选项A错误； 对于选项B，，该函数为偶函数，且最小正周期为，选项B错误； 对于选项C，.该函数为偶函数.且最小正周期为，选项C错误； 对于选项D，，该函数是奇函数且最小正周期为,D选项正确. 故选：D 考点二 对称性 【例2-1】（23-24高三上·重庆·期末）（多选）下列函数中，其图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，A不是； 对于B，当时，，B是； 对于C，当时，，C是； 对于D，当时，，正切值不存在，D是. 故选：BCD 【例2-2】（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 【一隅三反】 1．（2024·河北承德·二模）函数的图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以，，解得， 故选：C. 2．（2024·山东滨州·二模）已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：C. 3．（2024·江西·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．3或 B．2或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意可知：， 其中，． 因为的图象关于点中心对称，则， 整理可得，则， 解得，，则， 当时，； 当时，； 综上所述：或．故选：A． 考点三 单调性 【例3-1】（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，令， , 故函数的单调递增区间为. 故选：D． 【例3-2】（2024江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 【例3-3】（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：，，故不以为周期，故A错误； 对B：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 且，故在上单调递减，故B错误； 对C：，，故不以为周期，故C错误； 对D：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 但，故时，， 故在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【例3-4】（2024·福建莆田·三模）（多选）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AB 【解析】由题意可得则， 即.因为在上单调， 所以，所以，即，所以，即， 解得.因为，所以或或. 当时，，，此时在上单调递减，故符合题意； 当时，，，此时在上单调递减，故符合题意； 当时，，，此时在上不单调，故不符合题意. 故选：AB. 【一隅三反】 1．（2023春·广西）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【解析】因为. 对于A选项，当时，在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，则在上单调递增，在上单调递减，故B错； 对于C选项，当时，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，则在上单调递减，故D错.故选：C. 2．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 3．（2024·湖南长沙·二模）已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方， 且仅有单调递增区间， 故和的最小正周期相同，均为， 则，即， 又直线是图象的一条对称轴，则， 即，结合，得， 故，令，则， 即的单调递减区间为， 故选：B 4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数图象的一个对称中心为，且在上单调递增，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为的一个对称中心为，所以，， 即，，①； 又，则，在上单调递增， 所以，， 即，解得，，②； 又，结合①②可得，的最小值为. 故答案为：. 考点四 奇偶性 【例4-1】（2024河北衡水 ）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：最小正周期为，故A错误； 对于B：，最小正周期，且为奇函数，故B正确； 对于C：，最小正周期为的偶函数，故C错误； 对于D：，则， 故为偶函数，故D错误. 故选：B 【例4-2】（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 【一隅三反】 1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】函数，当时， ， 则为奇函数，所以充分性不成立， 当为偶函数时，，所以必要性不成立， 故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 2．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【解析】定义在上的函数周期为，所以， 又为奇函数，所以， 即，所以为奇函数，故B错误； 所以，则， 所以，则为奇函数，故D正确； 由，所以，则关于对称， 令，则，满足函数周期为， 且满足为奇函数， 但是为奇函数，故A错误； 令，则，满足函数周期为， 又满足为奇函数， 但是为偶函数，故C错误. 故选：D 3．（2024·福建宁德·三模）（多选）函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意可得，函数，且， 存在，函数为奇函数，则，所以为奇函数， 可得，所以, 当时，B满足条件，当时，D满足条件，AC不满足.选：BD. 考点五 值域 【例5-1】（2023云南）函数在的最大值是（    ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】C 【解析】由已知可得，. 因为，所以.又在上单调递减， 所以，当，即时，函数取得最大值.故选：C. 【例5-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由题可得： ，令，则，令， 所以函数的值域等价于在区间上的值域， 由于，所以当时，，， 则函数的值域为， 故答案为： 【例5-3】（2024·全国·三模）当时，的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【解析】原式， 其中锐角由确定，由，得， 所以. 故选：D 【例5-4】（2024北京朝阳·期末）函数是（    ） A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为 C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】由函数，可得其定义域，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 因为， 所以为的一个周期， 不妨设， 若时，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得； 若，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得， 综上可得，函数的最大值为，最小值为. 故选：D. 【例5-5】（2024·浙江绍兴·三模）已知函数的图象关于点对称，若当时，的最小值是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，则， 又，故，即， 当时，，又的最小值是， 则，故，即的最大值是. 故选：B. 【一隅三反】 1.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________． 【答案】 【解析】】， 设，，令，得或， 所以当时，， 即在和上单调递减， 当时，，即在上，单调递增， 又因为，，所以的最大值为，故答案为：． 2．（2024·河北石家庄·二模）已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，当时，. 因为函数在区间上的值域均为， 而，，所以. 又因为，, 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024·江苏苏州·三模）函数的值域是 . 【答案】 【解析】因为， 所以是以为周期的周期函数， 当时， 由，则，所以，则； 当时， 由，则，所以，则； 综上可得的值域为. 故答案为： 4．（23-24高三下·河南·阶段练习）（多选）下列函数中，最小值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，，其最小值为，故错误； 对于B， ， 当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C．设，，则， 所以， 当时，，故C错误； 对于D，，又， 所以当，即，时，，故D正确． 故选：BD． 考点六 伸缩平移 【例6-1】（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递增 【答案】BCD 【解析】，故A错误； 由，故B正确； 由，得C正确； 由，令，得，, 当时，，故D正确. 故选:BCD. 【例6-2】（2024·江苏·模拟预测）将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为， 由题意的图象关于轴对称， 所以，解得，，令，得. 故答案为：（答案不唯一）. 【一隅三反】 1．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【解析】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 2．（2024·山东·模拟预测）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最小值为 C．的最小正周期可以为 D．的图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】对于A，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，由题可知，解得，又，所以的最小值为，故B正确； 对于C，若最小正周期，则，由B项可知，不存在满足条件的，故C错误； 对于D，因为，代入，得， 所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象， 则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D正确． 故选：ABD 3．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（    ） A． B．在上单调递增 C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】D 【解析】对于选项A，由题意，可得， 故A错误； 对于选项B，令，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故， 在上的最小值为0，故C错误； 对于选项D，函数的对称轴方程为， 化简可得，取，可得， 所以是图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D. 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，若在上恰有一个极值点，则的取值不可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【解析】因为 ， 又将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象， 所以．当时，， 又因为在上恰有一个极值点，所以，解得.选：A． 考点七 解析式 【例7-1】（2024·浙江金华·三模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．在区间的最小值为 【答案】ACD 【解析】由题意得， 由图象可得， 又，所以， 由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：，故C正确； D：当时，， 所以最小值为，故D正确； 故选：ACD. 【一隅三反】 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知， 则的一个最低点为， 的最小正周期为，则， ，即， 所以， 又因为，所以， 所以， 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得的图象， 再将所得曲线向左平移个单位长度， 得， 故， 故选：D. 2．（2024·吉林长春·模拟预测）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数在上单调递减 D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称 【答案】C 【解析】由得，， 所以，又，所以，故A错误； 时，，所以，，故B错误； ，令，则， 时，，此时单调递增，单调递减， 故在上单调递减，故C正确； 的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得到，图象关于原点对称，故D错误. 故选：C. 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图像可得，函数的最小正周期为， 所以，将点的坐标代入函数的解析式， 且函数在附近递增，所以. 则， 得.因为，所以当时，， 因此. 函数的图象向右平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数的解析式为. 故选：B. 考点八 W的取值范围 【例8-1】（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 故选：D 【例8-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数，若，，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 则或， 又，， 当是函数的一个对称中心时，， 若，则， 所以，则，又， 所以当时； 若，则， 所以，则，又， 所以当时； 当不是函数的一个对称中心时，因为， 即， 所以， 所以，又， 所以当时， 综上所述：. 故选：C 【一隅三反】 1．（2024·山西太原·三模）已知函数在上有且只有两个零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的零点为满足： ， 当 时，函数的第二个正零点 ， 当 时，函数的第三个正零点 ， 综上可得，实数 的取值范围是 . 本题选择B选项. 2．（2024·安徽合肥·三模）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 3．（2024天津武清·期中）已知函数，若的图象的一条对称轴是，且在区间上单调递增，则w的取值范围是 【答案】 【解析】函数，， 且的图象的一条对称轴是， 所以， 所以； 又在区间上单调递增， 所以， 所以， ； 综上，的取值范围是， 故答案为． 1． 单选题 1．（2024·宁夏·二模）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】若对于任意的，都有， 则是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值即为函数的半周期长， 而函数的最小正周期，因此． 故选：B 2．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】一方面，当，时，是奇函数， 是偶函数，故充分性成立， 另一方面，当时，有是奇函数， 是偶函数， 但此时关于的方程没有解，故必要性不成立， 综上所述，在已知 的情况下， “”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 3 ．（2024·江西景德镇·三模）函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得， 又，所以，即，所以， 将函数的图象向右平移个单位得到函数， 即， 因为 ， 所以. 故选：A 4．（2024·宁夏银川·三模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：因为，所以为偶函数， 当时， ，， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B：因为，所以为偶函数， 当时， ， 当时，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以为偶函数， 当时， ， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D：因为， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于函数，有下列命题： ①的最小正周期为；②函数的图象关于对称； ③在区间上单调递增；④将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合． 其中正确的为（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【解析】， 对于①，的最小正周期为，故正确； 对于②，，所以函数的图象关于对称， 故正确； 对于③，当时，，因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故错误； 对于④，将函数的图象向右平移个单位长度后得到 的图象，不与函数的图象重合，故错误． 故选：A. 6．（2024·山东聊城·三模）设函数的图象与函数的图象关于轴对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解析】由题意得，则. 函数的图象由函数图形向右平移1个单位得到. 由函数的图象与的图象关于点对称，在定义域内有4个交点. 所以函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之和为 故选：C. 7．（2023·全国·高三专题练习）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，， 所以最小正周期满足 所以， 所以有：， 故选：B 8．（2024·河北·模拟预测）当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 因为，可得，所以， 可得， 又因为， 所以 即， 因为， 因为，可得，所以， 则，则， 要使得不等式，即恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 2． 多选题 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．是图象的一个对称中心 D．在上单调 【答案】BC 【解析】， 对于A：的最小正周期为，错误； 对于B：令可得， 所以的图象关于直线对称，正确； 对于C：令可得，且， 所以的图象关于点对称，正确； 对于D：因为，所以， 由在上单调递增，上单调递减可知， 在上单调递增，在单调递减，错误； 故选：BC. 10．（2024·广东江门·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B．函数在区间上单调递增 C．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位 D．函数在区间上的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由图得,，所以，， 所以，因为点在图象上，所以， 所以，因为，所以，可得，故A正确； 对于B，由， 得，所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故C错误； 对于D，时，， 所以，函数在区间上的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 11．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数则下列结论正确的是（    ） A．当时，的图象关于中心对称 B．当时，将图象向右平移个单位长度后的函数图象关于y轴对称 C．当时，在上单调递减 D．设的周期为T，若时，，为方程的两个不相等实根，则 【答案】ABD 【解析】 对于A：当时，又， 所以的图象关于中心对称，故A正确； 对于B：当时， 将图象向右平移个单位长度后的函数为 所以为偶函数， 所以将图象向右平移个单位长度后的函数图象关于y轴对称，故B正确； 对于C：当时，因为， 所以，所以在上不是单调递减函数，故C错误； 设的周期为T，若时，则，解得， 当时，由 则可得或， 所以， 当时，由 则可得或， 所以，故D正确. 故选：ABD. 3． 填空题 12．（2024·四川·模拟预测）已知函数（），当时，单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 因为在上单调递增， 则解得， 又，可得． 故答案为：． 13．（2023江西抚州·期末）若函数在的值域为，则的取值范围是 【答案】 【解析】 因为，且， 故可得， 因为在区间单调递减，在单调递增， 且，， 故要满足题意，只需 解得. 故答案为：. 14．（2024·河北衡水·三模）已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意知是函数的一条对称轴， 故，解得，，因为，故， 故，令，解得， 原点附近的6个对称中心分别为， 若3个对称中心恰好是， 则，则t不存在，不合题意； 若3个对称中心恰好是， 则，则； 故当时，符合题意． 故t的取值范围为， 故答案为： 4． 解答题 15．（2024广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【解析】（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. 16．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为. （2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：， 再将其向右平移，可得：， 即函数， 因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是， 再由函数有且仅有4个零点，则满足， 解得，所以实数的取值范围. 17．（2024·河北·三模）已知函数． (1)求在上的单调增区间； (2)若关于x的方程在区间内有两个不同的解，，求实数a的取值范围，并证明． 【答案】(1)和 (2)，证明见解析 【解析】（1）， 由得， 所以增区间为， 而， 故在的单调增区间为和． （2）由得， 即，其中，． 所以当且仅当， 即满足题意． 故实数a的取值范围为． 当时，，即； 此时，而， 所以， 当时，，即； 此时，而， 所以； 综上，． 18．（2024·重庆·三模）如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”. (1)已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和； (2)若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：由函数的“4型正余弦生成数对”为， 可得， 又由方程，即，即， 因为，可得， 设，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有2个解， 设其两根为，且， 由对称性可知，解得，则实根之和为. （2）解：由题意得，其中， 因为在处取最大值，可得， 所以， 即， 可得， 又因为，且在上单调递增， 可得，所以，即的取值范围为. 19．（2024·河北·二模）已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”. (1)判断函数是否是“函数”； (2)设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值； (3)若函数是“函数”，求的取值范围. 【答案】(1)是“函数”，不是“函数” (2)1 (3)，且 【解析】（1）函数是函数，设， 则， 所以存在，使得，所以函数是“函数”. 函数，函数的最小正周期为，函数的图象如图所示， 不妨研究函数在这个周期的图象. 设，则， 所以， 所以函数不是“函数”. （2）因为是以为最小正周期的周期函数，所以. 假设，则，所以，矛盾. 所以必有. 而函数的周期为1，且显然不是函数. 综上所述，的最小值为1. （3）当函数是“函数”时， 若，则显然不是函数，矛盾. 若，则， 所以在上单调递增， 此时不存在，使得， 同理不存在，使得， 又注意到，即不会出现的情形， 所以此时不是函数. 当时，设，所以， 所以有，其中， 当时，因为，所以， 所以， 当时，， 因为，所以， 所以. 综上所述，，且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$