4.2 诱导公式与恒等变化（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

4.2 诱导公式与恒等变换 考点一 诱导公式化简 【例1-1】（2024浙江·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024辽宁沈阳·阶段练习）已知 (1)化简 (2)若，且，求的值. (3)若是第三象限角，且，求的值. 【一隅三反】 1．（2024云南·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且． (1)求的值； (2)求的值． 3（2024四川成都·期中）已知． (1)求的值． (2)求的值； 考点二 两角和差与二倍角公式辨析 【例2-1】（1）（2024江西南昌·阶段练习） （2）（2024江苏泰州·阶段练习） （3）（2024·宁夏银川·二模） 【例2-2】（2023春·四川遂宁）（多选）下列三角式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024广东佛山·期中）（多选）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023云南）利用特殊角的三角函数值计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（2024新疆）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 考点三 辅助角公式 【例3】（2024上海·课后作业）把下列各式化成的形式. (1) ；     (2) ； (3) ；         (4) . （5） （6） （7） 【一隅三反】 （2024广东潮州）将下列函数化简成 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 考点四 给值求值 【例4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·四川眉山·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（2024上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【例4-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例4-5】（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·河南信阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点五 给值求角 【例5-1】（2024江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2024浙江·期末）已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（2024河南南阳·阶段练习）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【一隅三反】 1．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024陕西西安·期中）已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点六 恒等变化 【例6-1】（2024湖北）化简并求值． (1)； (2)； (3)． 【例6-2】（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 【一隅三反】 1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024河南南阳·阶段练习）（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024北京） ． 4．（2024山西）求 . 5．（2024湖南株洲） ． 6．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ． 1． 单选题 1．（2024·广东茂名·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·二模）（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·三模）已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（    ） A． B． C．1 D． 8．（2024山西）已知，则（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2024安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024江苏南通·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 11．（2024江苏镇江·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 3． 填空题 12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． 14．（2024安徽芜湖·期中）已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 4． 解答题 15．（2024江西·阶段练习）已知，且． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 16．（2023四川南充·期中）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解. 已知，且满足条件______. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 17．（2024黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． (4) (5) 18．（2024四川成都·期中）已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 19．（2024江苏泰州·期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 诱导公式与恒等变换 考点一 诱导公式化简 【例1-1】（2024浙江·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用诱导公式化简： 已知角的终边经过点，可得，且.分子分母同时除以： .故选：B 【例1-2】（2024辽宁沈阳·阶段练习）已知 (1)化简 (2)若，且，求的值. (3)若是第三象限角，且，求的值. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【解析】（1）依题意，. （2）由（1）知，，而，所以或. （3）由，得， 由是第三象限角，得， 所以. 【一隅三反】 1．（2024云南·阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1），， ，，则． （2）原式． 3（2024四川成都·期中）已知． (1)求的值． (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【解析】（1）原式； （2）原式． 考点二 两角和差与二倍角公式辨析 【例2-1】（1）（2024江西南昌·阶段练习） （2）（2024江苏泰州·阶段练习） （3）（2024·宁夏银川·二模） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）， （2） （3）因为 所以， 所以 故答案为：. 【例2-2】（2023春·四川遂宁）（多选）下列三角式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，，A满足条件； 对于B选项，，B满足条件； 对于C选项，，C不满足条件； 对于D选项，，D满足条件. 故选：ABD. 【一隅三反】 1．（2024广东佛山·期中）（多选）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项C符合题意. 故选：BCD. 2．（2023云南）利用特殊角的三角函数值计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【解析】（1）. （2） . （3）. （4）原式. . （5）. （6）. 3．（2024新疆）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)1；(6)；(7)(8)． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 考点三 辅助角公式 【例3】（2024上海·课后作业）把下列各式化成的形式. (1) ；     (2) ； (3) ；         (4) . （5） （6） （7） 【答案】见解析 【解析】(1) 因为，所以 . (2) . (3) 因为，所以 ， 其中满足，. (4) 因为，所以 ， 其中满足，. （5）， 即 （6） （7） 【一隅三反】 （2024广东潮州）将下列函数化简成 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 【答案】见解析 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 考点四 给值求值 【例4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 【例4-2】（2024·四川眉山·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，有， 所以.故选；A. 【例4-3】（2024上海宝山·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【解析】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 【例4-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D. 【例4-5】（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法1：由，得， 得， 得，所以， 所以． 解法2：将 展开得， 整理得， 即， 所以． 故选：A 【一隅三反】 1．（2024·河南信阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得. 故选：B 2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，即， 所以， 故选：D 3．（2024·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 4．（2024·山东·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以， 所以. 故选：B 考点五 给值求角 【例5-1】（2024江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 又，， 故，故， 故. 故选：C 【例5-2】（2024浙江·期末）已知为钝角，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于为钝角，且， 所以， 且， 所以， 所以， 故选：D. 【例5-3】（2024河南南阳·阶段练习）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 【一隅三反】 1．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 2．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 解得， 所以， 又，所以，所以. 故选：A 3．（2024陕西西安·期中）已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 则， 可知，，则， 又因为， 可得， 所以. 故选：D. 考点六 恒等变化 【例6-1】（2024湖北）化简并求值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1） . （2） . （3） . 【例6-2】（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 【答案】 【解析】由可得，即， 由可得，即， 两式相加可得， 即，解得； 因为， ， 所以， 所以． 故答案为：；. 【一隅三反】 1．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式 . 故选：B. 2．（2024河南南阳·阶段练习）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B 3．（2024北京） ． 【答案】 【解析】原式， 故答案为：. 4．（2024山西）求 . 【答案】/0.5 【解析】 故答案为：. 5．（2024湖南株洲） ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 6．（2024·全国·模拟预测）已知为锐角，满足，则 ， ． 【答案】 / / 【解析】因为，所以 ， 又，所以， 因为为锐角，所以为锐角， 又，所以， 又，所以， 所以． 故答案为：；. 1． 单选题 1．（2024·广东茂名·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，则， 所以. 故选：D 2．（2024·广东·二模）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D 3．（2024·河北·三模）已知点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 所以. 故选：B. 4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故选：C 5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，， 所以，， 所以. 故选：D 6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以， 两边同除，得到，即. ，. 故选：C. 7．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由积化和差公式可得 ， 故 ， 由和差化积公式可得 ， 故 所以. 故选：A 8．（2024山西）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可将，， 则， ， ，即或． 又，所以， 所以，所以选项A，B错误， 即，则，所以．则C错，D对， 故选：D 2． 多选题 9．（2024安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 10．（2024江苏南通·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A选项，，A错； 对于B选项，因为， 所以，，B对； 对于C选项， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：BD. 11．（2024江苏镇江·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D， ，D错误. 故选：AC 3． 填空题 12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 即，所以， 所以 . 故答案为：. 14．（2024安徽芜湖·期中）已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 【答案】 【解析】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故答案为：． 4． 解答题 15．（2024江西·阶段练习）已知，且． (1)求和的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）因为，又， 解得或， 又，所以， 所以． 所以 ； （2）因为，且，所以， 所以， 由，得，所以． 16．（2023四川南充·期中）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解. 已知，且满足条件______. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）若选①，则由，得， 所以， 所以， 若选②，则由，得， 因为，所以， 化简整理得，，解得或， 因为，所以，所以， 所以， 若选③，则由，得，得， 因为，所以， ，解得或， 因为，所以，所以， 所以，得， 所以， 所以； （2）若选①，则由（1）可知， 因为，得以，即， 所以，所以，所以， 因为，且， 所以， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 若选②，则由（1）可知，， 因为，且， 所以， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 若选③，则由（1）可知，， 因为，且， 所以， 所以 ， 因为，， 所以，所以. 17．（2024黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． (4) (5) 【答案】(1)4(2)1(3)(4)(5) 【解析】（1）. （2） . （3）已知，，，， 所以， . （4） . （5） . 18．（2024四川成都·期中）已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，①，②； (2) 【解析】（1）， ， ， ， ； ① ； ②； （2），则，，且， 所以，， ， ， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号 的最小值为． 19．（2024江苏泰州·期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$