4.1 三角函数的定义及同角三角函数（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

4.1 三角函数的定义及同角三角函数 考点一 任意角与弧度制 【例1-1】（2024广东潮州）（多选）下列说法正确的是（   ） A． B．第一象限的角是锐角 C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角 【例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024河南）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 2（2023春·青海）下列命题中正确的是（    ） A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系 B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角 C．终边相同的角的弧度制表示相差 D．终边相同的角的弧度都相同 3．（2024江西·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二 扇形的弧长与面积 【例2-1】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【例2-3】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【一隅三反】 1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 2．（2023·广西·模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米. 考点三 三角函数的定义 【例3-1】（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C．－2 D．2 【例3-2】（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2024·重庆·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（   ） A． B． C． D．1 【例3-4】．（2024·云南昆明·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，将的终边逆时针旋转之后与圆的交点为B，则点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024湖北）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且为终边上一点，则(       ) A． B． C． D． 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北黄冈·二模）已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（    ） A．或 B．2或 C． D． 考点四 三角函数值正负判断 【例4-1】（2024广东深圳）“且”是“为第四象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-2】（2024四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【例4-3】（2024湖北）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·吉林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·重庆八中）（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式的符号无法确定的是（       ） A． B． C． D． 考点五 三角函数线的应用 【例5-1】（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2024福建）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024黑龙江）比较大小，正确的是（　　）． A． B． C． D． 2（2023·天津）设，使且同时成立的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024云南）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 4．（2024山东）函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为__________________. 考点六 同角三角函数简单运用 【例6-1】（2024四川遂宁）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【例6-2】（2024海南）已知角为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【例6-3】．（2024广西）已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024河北）已知，若，则的值为(       ). A． B． C． D． 2．（2024江苏）已知锐角满足，则（       ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南常德）已知，，则（       ） A． B． C． D． 考点七 弦的齐次 【例7-1】（2024·河南）已知，则（       ） A． B．2 C．5 D．8 【例7-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1（2024河南）若，则（       ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏）已知，则______． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ． 考点八 弦的加减乘 【例8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知 则sin2 等于 （       ） A．- B． C．- D． 【例8-2】（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例8-3】（2024·辽宁沈阳·二模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·河南 ）已知，，则（       ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知是三角形的一个内角，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024甘肃）函数的最大值为（       ） A．1 B． C． D．3 1． 单选题 1．（2024贵州贵阳）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·三模）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，则（    ）. A． B． C． D． 4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025河北·统考模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6·（2024陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 7．（2024·山西太原）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设.则下列错误的结论是（    ） A． B．以射线为终边的角的集合可以表示为 C．在以点为圆心、为半径的圆中，弦所对的劣弧弧长为 D．正八边形的面积为 8．（2024陕西西安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2024·广东佛山·一模）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南·模拟预测）已知，双曲线C：，则（    ） A．可能是第一象限角 B．可能是第四象限角 C．点可能在C上 D．点可能在C上 11．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，的面积为 B．当时，扇形的面积为 C．当时，四边形的面积为 D．四边形面积的最大值为1 3． 填空题 12．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ． 13．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 14．（2024·湖北鄂州·一模）曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 4． 解答题 15．（2024上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 16．（2024江苏）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 17．（2024辽宁大连·期中）已知函数. (1)若是三角形的一个内角，，求的值； (2)设函数，若在时恒成立，求实数m的取值范围. 18．（2024北京）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． (1)求扇形空地AOB的周长和面积； (2)当米时，求PQ的长； (3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 三角函数的定义及同角三角函数 考点一 任意角与弧度制 【例1-1】（2024广东潮州）（多选）下列说法正确的是（   ） A． B．第一象限的角是锐角 C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角 【答案】ACD 【解析】对于A：，A正确； 对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误； 对于C：1°的角为弧度，比1弧度的角小，C正确； 对于D：根据象限角的定义，可得D正确.故选：ACD. 【例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 【一隅三反】 1．（2024河南）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】终边落在阴影部分的角为，， 即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是． 故选：B． 2（2023春·青海）下列命题中正确的是（    ） A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系 B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角 C．终边相同的角的弧度制表示相差 D．终边相同的角的弧度都相同 【答案】A 【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，故A正确，B错误，终边相同的角的弧度制表示相差的整数倍，故C错误，D错误； 故选：A 3．（2024江西·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】依题意，， 而，所以，. 故选：A 考点二 扇形的弧长与面积 【例2-1】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然为等腰三角形，， 则，，又， 所以，于是， 所以璜身的面积近似为. 故选：C 【例2-2】（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由圆与圆外切，得， 又圆，圆与轴分别相切于原点和点，则， 所以劣弧长等于， 所以劣弧对应的扇形面积为. 故选：B 【例2-3】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】设扇形的半径为，圆心角为， 则，所以， 则扇形的周长为， 当且仅当，即时，取等号，此时， 所以周长最小时半径的值为. 故选：C. 【一隅三反】 1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 延长与交于点．由，，得，． 因为所对的圆心角为直角，所以，． 所以该梅花砖雕的侧面积， 扇环的面积为， 则该梅花砖雕的表面积． 故选：C． 2．（2023·广西·模拟预测）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆心角，，， 所以，， 所以． 故选：B. 3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米. 【答案】 【解析】设半圆步道直径为百米，连接，显然， 由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称， 则，又，则∽，有， 即有，因此步道长，， 求导得，由，得， 当时，，函数递增，当时，，函数递减， 因此当时，， 所以步道的最大长度为百米. 故答案为： 考点三 三角函数的定义 【例3-1】（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C．－2 D．2 【答案】A 【解析】由题意可知：， 所以. 故选：A. 【例3-2】（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角， 故，所以.故选：B 【例3-3】（2024·重庆·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】∵角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，， 且，∴， 解得，∴，∴， ∴． 故选：A． 【例3-4】．（2024·云南昆明·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，将的终边逆时针旋转之后与圆的交点为B，则点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角函数定义得， 的终边逆时针旋转之后圆的交点为B， 则，故点B的横坐标为.故选：B 【一隅三反】 1．（2024湖北）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且为终边上一点，则(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数定义可知，， 解得或(舍去)，则.选：C. 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令坐标原点为，以射线为终边的角为，则以射线为终边的角为， 则，， 所以点的横坐标为. 故选：C 3．（2024·全国·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 所以， 则. 故选：C. 4．（2024·湖北黄冈·二模）已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（    ） A．或 B．2或 C． D． 【答案】D 【解析】记为坐标原点，因为，所以， 所以点，均在以原点为圆心为半径的圆上. 连接，取的中点，连接，则， 不妨设，则， 所以. 故选：D. 考点四 三角函数值正负判断 【例4-1】（2024广东深圳）“且”是“为第四象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性： 因为， 所以为第一象限角或第四象限角或终边在轴的非负半轴， 又，则， 所以为第三象限角或第四象限角或终边在轴的非正半轴， 综上知，为第四象限角，故充分性成立； 必要性：若为第四象限角，则且， 此时， 故必要性成立，故“且”是“为第四象限角”的充要条件， 故选:A. 【例4-2】（2024四川内江·期末）已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【解析】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 故选：D. 【例4-3】（2024湖北）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上， 当角终边在第一象限时， 当角终边在第二象限时， 当角终边在第三象限时， 当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选C. 【一隅三反】 1．（2024·吉林·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由复数的几何意义知，复数在复平面中对应点， 又因为，所以，， 所以点位于第一象限.故选：A. 2．（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为或， 所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件. 故选：C. 3．（2024·重庆八中）（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式的符号无法确定的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由三角函数定义，， 所以，对于A选项，当时，，时，，时，，所以选项A符号无法确定； 对于B选项， ，所以选项B符号确定； 对于C选项，，故当时，，时，，时，，所以选项C的符号无法确定； 对于D选项，，所以选项D符号确定. 所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.故选：AC. 考点五 三角函数线的应用 【例5-1】（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 【例5-2】（2024福建）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知点在第一象限得： ，，即，， 当，可得，． 当，可得或，． 或，． 当时，或． ， 或． 故选：B． 【一隅三反】 1．（2024黑龙江）比较大小，正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以．而，， 由，所以，．综上，，故选B． 2（2023·天津）设，使且同时成立的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，由正弦曲线得：时， 由余弦曲线得：时，， 因为， 所以且同时成立的x的取值范围是故选：D 3．（2024云南）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线. A选项：当点在上时，，，故A选项错误； B选项：当点在上时，，，，故B选项错误； C选项：当点在上时，，，，故C选项正确； D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C. 4．（2024山东）函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为__________________. 【答案】 【解析】要使原函数有意义，必须有即， 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知， 解集为,取交集可得 原函数的定义域为 故答案为： 考点六 同角三角函数简单运用 【例6-1】（2024四川遂宁）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴，∴，故选：. 【例6-2】（2024海南）已知角为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是第二象限角，所以，， 由，，可得：.故选：A. 【例6-3】．（2024广西）已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A. 【一隅三反】 1．（2024河北）已知，若，则的值为(       ). A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，解得，又，所以，所以.故选：A. 2．（2024江苏）已知锐角满足，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得：， ，，又，，， 由得：，.故选：B. 3．（2024·湖南常德）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， ，，，， 所以，，．故选：B 考点七 弦的齐次 【例7-1】（2024·河南）已知，则（       ） A． B．2 C．5 D．8 【答案】D 【解析】，，．故选：D． 【例7-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 . 故选：B. 【一隅三反】 1（2024河南）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子进行齐次化处理得： ．故选：C． 2．（2024·宁夏）已知，则______． 【答案】－1 【解析】. 故答案为：－1. 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【解析】由可得，即； 所以 将代入计算可得； 即.故答案为： 考点八 弦的加减乘 【例8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知 则sin2 等于 （       ） A．- B． C．- D． 【答案】D 【解析】两边平方得，，所以. 故选：D. 【例8-2】（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 可得 则， 因为，所以与异号，可得为第二或第四象限， 当为第二象限角时，可得； 当为第四象限角时，可得. 故选：C. 【例8-3】（2024·辽宁沈阳·二模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】则， 即， 又因为，故，，， 故，因为，则， 结合可得，，则. 故. 故选：C 【一隅三反】 1．（2024·河南 ）已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以 ∵，，∴.∴.故选：A. 2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知是三角形的一个内角，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，两边平方得， 即，可得， 因为是三角形的一个内角，且，所以， 所以，得， 又因为，， 联立解得：，，故有：， 从而有． 故选：B． 3．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将平方得， 所以，则． 所以， 从而． 联立，得． 所以，． 故． 故选：D 4．（2024甘肃）函数的最大值为（       ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解析】， 令，所以，则 ， 所以， 所以原函数可化为，， 对称轴为， 所以当时，取得最大值， 所以函数的最大值为， 即的最大值为， 故选：C 1． 单选题 1．（2024贵州贵阳）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 当时，， 所以. 故选：A 2．（2024·山东济南·三模）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B 3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，且，则， 可得，即，解得或（舍去）. 故选：A. 4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得 ，， 且， 所以，即，解得 又因为，所以， 所以故选:A 5．（2025河北·统考模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则 . 故选：D 6·（2024陕西西安·模拟预测）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由题意，得角是第四象限角，则， 故，则为二､四象限角，则， 又因为， 所以（舍去）或， 所以. 故选：B. 7．（2024·山西太原）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设.则下列错误的结论是（    ） A． B．以射线为终边的角的集合可以表示为 C．在以点为圆心、为半径的圆中，弦所对的劣弧弧长为 D．正八边形的面积为 【答案】D 【解析】由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为， ， 因为，， 所以，所以A正确； 因为，所以以射线为终边的角的集合可以表示为，所以B正确； 对于C，因为，半径为1，所以弦所对的劣弧弧长为，所以C正确； 对于D，因为，所以正八边形的面积为，所以D错误， 故选：D 8．（2024陕西西安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即， 故， 所以，即， 又，故，， ， 因为，所以，故， 综上，. 故选：B 2． 多选题 9．（2024·广东佛山·一模）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为角的终边过点， 所以，，， 所以， ，故A和B正确， 因为， 所以，即角的终边位于第一象限或第三象限， 所以，但或均满足题意，故C错误， 由，得， 解得（舍去）或，故D正确. 故选：ABD 10．（2024·湖南·模拟预测）已知，双曲线C：，则（    ） A．可能是第一象限角 B．可能是第四象限角 C．点可能在C上 D．点可能在C上 【答案】BD 【解析】根据题意，可得，即，即且， 所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确； 当在第三象限时，有，，， 双曲线方程为，当即，时，方程为， 所以点在双曲线上，故D正确； 当在第四象限时，有，，， 双曲线方程为，因为，所以点不在双曲线上，故C错误. 故选：BD. 11．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，的面积为 B．当时，扇形的面积为 C．当时，四边形的面积为 D．四边形面积的最大值为1 【答案】AC 【解析】由题意，得圆的半径，，，． 对于A，由，，得， 则，故A正确； 对于B，当时，因为， 所以扇形的面积，故B错误； 对于C，当时， ，故C正确； 对于D， ， 由，得 ， 所以当，即时，取得最大值，为，故D错误． 故选：AC 3． 填空题 12．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ． 【答案】 【解析】由题设知， 即，且， 即，且， 解得， 故答案为：. 13．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 14．（2024·湖北鄂州·一模）曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】 【解析】对于曲线， 在上式中，将y换成得，即曲线关于x轴对称， 将x换成得，即曲线关于y轴对称， 因此只需考虑在第一象限的情形， 当，时曲线即，即， 所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形， 根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分， 所以所围成的封闭图形的面积． 故答案为：. 4． 解答题 15．（2024上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由三角函数的定义可知，，， 因为，为锐角， 所以， ； （2）因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以． 16．（2024江苏）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）、是关于的方程的两个根， ，， ，解得或， 由，得或， ； （2）， 又由（1）可得，， ， ． 17．（2024辽宁大连·期中）已知函数. (1)若是三角形的一个内角，，求的值； (2)设函数，若在时恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 两边平方得，所以， 又因为，所以， 则， ， 所以； （2）， 令，因为，所以 所以， 则，则， 令，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 则时，取得最大值， 此时取得最小值， 所以，所以. 18．（2024北京）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． (1)求扇形空地AOB的周长和面积； (2)当米时，求PQ的长； (3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 【答案】(1)周长为米，面积为平方米 (2)米 (3)平方米 【解析】（1），则扇形空地AOB的周长为， 面积； （2）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（负值舍去）或， 即； （3）由，故，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令， 则 ， 有最大值，此时，即，可取， 此时平方米. 19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【解析】（1）可求得，设，则，， 设点，， 故 所以. （2）设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为 （3）设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$