精品解析：江西省九江市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

九江市2023-2024学年度下学期期末考试 八年级 数学试题卷 本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中．） 1. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若，则m的值是（ ） A. 100 B. 799 C. 800 D. 801 5. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰中，顶角，点D为边上的一点，，点E为上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正十边形的每个外角等于______． 8. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 9. 化简________． 10. 已知不等式组的解集是，则________． 11. 如图，在中，于点D，F为中点，连接并延长交于E，若，，则________． 12. 如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）分解因式：． （2）如图，于点C，于点D，．Q是射线OP上一点，于点E，于点F．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．求方程的解． 16. 已知，点E是的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）如图1，求作的中点F； （2）如图2，求作的中点M． 17. 某校推行“新时代好少年·红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. （1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． （1）求m，k的值； （2）直接写出不等式的解集． 20. 在中，，D是斜边上的一点，作，垂足为E，延长到F，连接，使． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接，若E为中点，求证：． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在等边中，点D是BC边的中点． （1）如图1，，．垂足分别为E、F．求证：； （2）点E在的延长线上，且； ①如图2，若点F在边上，判断DE与DF的数量关系，并说明理由； ②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长． 22. 某市扶贫组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ （2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输这批物资总费用不超过4600元．大货车最多能租多少辆？最多能运输多少件物质？ 六、（本大题12分） 23. 问题发现：如图1，在中，是边上的高，若，请写出的数量关系？并说明理由． 在解决问题时，两名同学给出了以下两种思路： ①如图2，小明从截长的角度，以为圆心、为半径画圆弧交于点，从而使问题得到解决； ②如图3，小亮从补短的角度，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，从而使问题得到解决． （1）请你从以上两种思路，选择一种思路，写出证明过程． 知识应用：（2）如图4，与交于点，，，，试猜想的数量关系？并说明理由． 问题解决：（3）如图5，在中，，，试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2023-2024学年度下学期期末考试 八年级 数学试题卷 本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中．） 1. 如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是理解中心对称图形的定义并据此对每个选项进行判断． 根据中心对称图形的定义，判断四个选项中的图形绕某一点旋转后能否与自身重合． 【详解】A、绕任何一点旋转后，都不能与自身重合，所以它不是中心对称图形； B、绕任何一点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形； C、绕图案的中心旋转后能与自身重合，符合中心对称图形的定义，是中心对称图形； D、绕任何一点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 故选：C． 2. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴不能判定四边形是平行四边形； B．不能判定四边形是平行四边形； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； D．不能判定四边形是平行四边形； 故选C． 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，不等式两边加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式性质对各项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、若，当时，则，故A项错误，不符合题意； B、若，则，故B项错误，不符合题意； C、若，则，故C项正确，符合题意； D、若，则，故D项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若，则m的值是（ ） A. 100 B. 799 C. 800 D. 801 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．熟练掌握平方差公式分解因式，有理数的加减乘法运算法则，是解题的关键． 先等式变形写出m的表达式，再根据平方差公式分解因式，进行混合计算即可． 【详解】∵， ∴ ． 故选：D． 5. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元/辆， 根据题意，得：， 故选：． 6. 如图，在等腰中，顶角，点D为边上的一点，，点E为上一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识，先根据等腰三角形的性质求出，再由三角形内角和定理得，可得，再由三角形内角和定理求出 ，，得，即可得是等边三角形，可求出，从而可得结论． 【详解】解：∵在等腰中，顶角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正十边形的每个外角等于______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，根据正多边形的每个外角相等，用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的外角和定理及其性质是解题的关键． 【详解】解：正十边形的每个外角等于， 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个队，横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：． 9. 化简________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的加减法，本题的关键是对第二项提出一个负号，做题过程中要注意符号变号问题． 根据同分母分式的加减法法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 10. 已知不等式组的解集是，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 解集为， ，， 解得，， ， 故答案为：． 11. 如图，在中，于点D，F为中点，连接并延长交于E，若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，可得，，利用勾股定理可得，证明是直角三角形，即是直角三角形，可得，，进而可得，，化简，可得，即：，将代入，可得：，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴，， ∵，F为中点， ∴， ∴在中，，即， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即是直角三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴，即：， 将代入， 可得：， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，直角三角形的判定等知识，灵活运用勾股定理，是解答本题的关键． 12. 如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角等知识，根据①当，时，②当，时，③当，时，④当，时，四种情况讨论即可作答． 【详解】①当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴， ③当，时，如图， 同①可得：， ∵， ∴； ④当，时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上：∠C的度数为或或 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）分解因式：． （2）如图，于点C，于点D，．Q是射线OP上一点，于点E，于点F．求证：． 【答案】（1）， （2）∵，，， ∴是的平分线， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，因式分解， （1）综合提公因式法和完全平方公式即可作答； （2）根据角平分线的判定定理得到是的平分线，根据角平分线的性质定理证明结论． 【详解】（1） ； （2）略 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算进行化简，再代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．求方程的解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新运算的法则，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴原方程化为：， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解为：． 16. 已知，点E是的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）如图1，求作的中点F； （2）如图2，求作的中点M． 【答案】（1） 解：如图1，点即为所求； （2） 如图2，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，三角形的中线交于一点等知识， （1）连接、交于点，作直线交于点，点即为所求； （2）在（1）的基础上，连接交于点，连接，并延长交于点，根据的三条中线交于一点即可得点M为的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某校推行“新时代好少年·红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？ 【答案】原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为元．根据读书吧并比原计划多建设了2间列出分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】解：设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解． 答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. （1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有进行改变，； 任务二：， 如图：将不等式组的解集表示在数轴上： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）． 任务一：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； 任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】任务一：上述解不等式①的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有改变； 不等式①的解集是 任务二：令 由任务一可知：解不等式①，得， 解不等式②，， 移项，得， 解得：， ∴不等式组的解集为： 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． （1）求m，k的值； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中两条直线相交的问题，利用图象解一元一次不等式等知识， （1）将点代入，可得：，解得：，进而可得，再将其代入，问题得解； （2）不等式的解集为当直线的图象在直线的图象上方（含两直线交点）时所对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【小问1详解】 将点代入， 可得：， 解得：， ∴， ∵过直线， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 即：，； 【小问2详解】 解：结合函数图象可知： 不等式的解集为：． 20. 在中，，D是斜边上的一点，作，垂足为E，延长到F，连接，使． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连接，若E为中点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：∵E为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、平行线的判定与性质等知识， （1）由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论； （2）根据条件可得垂直平分，即有，结合四边形是平行四边形，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在等边中，点D是BC边的中点． （1）如图1，，．垂足分别为E、F．求证：； （2）点E在的延长线上，且； ①如图2，若点F在边上，判断DE与DF的数量关系，并说明理由； ②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接 ， 点是的中点． ， ，， ， 在等边中，， ； （2） ①如图2，∵ 为等边三角形， ， ， 过作交于， ，， 为等边三角形， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质： （1）由点是的中点． 可得 结合，从而可得答案； （2）①如图2，过作交于 证明为等边三角形，证明 可得 从而可得结论；②如图3，由①同理可得： ，可得，，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②解：如图3，过作交于， 由①同理可得： ，为等边三角形， ∴，， ∵ ，为的中点， ，，， ， 又∵， ． 22. 某市扶贫组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？ （2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输这批物资总费用不超过4600元．大货车最多能租多少辆？最多能运输多少件物质？ 【答案】（1）1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资 （2）大货车最多能租8辆，最多能运输件物质 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的应用． （1）假设出1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输的件数，列出二元一次方程组即可； （2）设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆，总计运送货物y件，即有：，，先根据运输费用求出，问题即可得解． 【小问1详解】 解：设1辆大货车一次满载运输件物资，1辆小货车一次满载运输件物资， 根据题意得， 解得， 1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资； 【小问2详解】 解：设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆，总计运送货物y件， 即有：，， 总费用不超过4600元， ， 解得， 为整数， 大货车最多可以租8辆， ， 随的增大而增大， 当时，取最大值：， 大货车最多能租8辆？最多能运输件物质． 六、（本大题12分） 23. 问题发现：如图1，在中，是边上的高，若，请写出的数量关系？并说明理由． 在解决问题时，两名同学给出了以下两种思路： ①如图2，小明从截长的角度，以为圆心、为半径画圆弧交于点，从而使问题得到解决； ②如图3，小亮从补短的角度，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，从而使问题得到解决． （1）请你从以上两种思路，选择一种思路，写出证明过程． 知识应用：（2）如图4，与交于点，，，，试猜想的数量关系？并说明理由． 问题解决：（3）如图5，在中，，，试求的长度． 【答案】（1）的数量关系是；（2）的数量关系是；（3） 【解析】 【分析】（1）由小明或小亮的尺规作图，结合等腰三角形的判定与性质即可得到答案； （2）以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，连接，如图所示，由（1）中思路，同理即可得证； （3）过点作，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，如图所示，由（1）中思路，同理求解即可得到答案． 【详解】解：（1）小明思路： 如图所示： 由题意可知，则， 在等腰中，是边上的高，则， ， ，则， ， 的数量关系是； 小亮思路： 如图所示： 由题意可知，则， 在等腰中，是边上的高，则， ， ，则， ， 的数量关系是； （2）以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，连接，如图所示： 由题意可知，则， ，， 是的中垂线，则， 在等腰中，，则， ， ，则， ， 的数量关系是； （3）过点作，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，如图所示： 由题意可知，则， ， ， ， ，， 在等腰中，， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、三角形外角性质、含直角三角形性质、勾股定理等知识，数形结合，灵活运用等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $