精品解析：江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题

2023—2024学年高一第二学期期末检测 数学 2024.06 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算可得结果. 【详解】由可得， 所以 故选：B 2. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 3. 数据的45百分位数为（ ） A. 73 B. 76 C. 77 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以这10个数的45百分位数为第5个数76. 故选：B 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量定义，由数量积的坐标表示代入计算可得结果. 【详解】由可得；； 根据投影向量的定义可得在上的投影向量为. 故选：A 5. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 6. 在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ）. A. B. C. 平面 D. 平面平面 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，连接，如下图所示： 因为分别是棱的中点，所以， 由正方体性质可得，因此可得，而相交， 所以错误，即A错误； 对于B，取的中点，连接，如下图所示： 易知，，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）； 不妨设正方体的棱长为2，则，， 显然，可知不是直角，所以与不垂直，即B错误； 对于C，连接，如下图所示： 由正方体性质可得平面，而平面，所以； 因为是正方形，所以， 又，平面，所以平面, 又因为分别是棱的中点，所以 可得平面，即C正确； 对于D，如下图所示： 易知平面，且，而平面，所以平面； 因此可得平面与平面有公共点，可知两平面必有一条过的共公交线； 因此平面平面是错误的，即D错误. 故选：C 7. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 故选：B 8. 已知，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得，代入中利用两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ， 故选：D 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中正确的有（ ） A. A与互斥 B. A与相互独立 C. 与对立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AC选项，列举出事件A，B和事件C中的基本事件，得到，，判断出AC错误；B选项，利用作出判断；D选项，列举出事件中的基本事件，求出概率. 【详解】A选项，事件A中的基本事件有， 事件B中的基本事件有， ，， 故，事件A和事件B不互斥，A错误； B选项，连续抛掷两次骰子，共有36种情况， 其中事件A中的基本事件数为12，故， 事件C中的基本事件有， ，共18种情况， 故， 事件AC中的基本事件有， 共9种情况，故， 由于，故A与相互独立，B正确； C选项，由AB选项知，，事件B与事件C不互斥，故不对立，C错误； D选项，事件中的基本事件有， ，， ，，共24种情况， 故，D正确. 故选：BD 11. 如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 点到平面的距离为 D. 三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，找到球心即可；对于B，可利用几何法快速解决；对于C，可利用等体积法；对于D，旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体. 【详解】对于A，由于，所以O为三棱锥的球心，表面积为，A正确； 对于B，过M作MH⊥AC于H，则MH⊥平面ABC，所以∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角；易知MH=，NH=，所以，B错误； 对于C，由，所以，又，所以，，所以，所以C到平面OMN的距离，C正确; 对于D，过O作OT⊥MN于T，则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高圆锥的体积的两倍，所以，D正确； 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题，解决本题中的问题涉及的思路主要有： (1)利用球的定义找球心，并求球的体积； (2)运用几何法求线面角的大小； (3)利用等体积法求三棱锥的高； (4)掌握常见的几何体的体积公式. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个正四棱台的体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】设棱台高为，由棱台的体积公式知，其中分别为上下底面面积. 故答案为：6 13. 若复数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得. 【详解】 如图，设复数对应的点为,则由可知点到点的距离为1， 即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆， 而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为,故的最小值是1. 故答案为：1. 14. 已知面积为满足条件，则__________.；若，延长至点，使得，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简即可求得，结合度数以及即可求得，通过设即可用x表示出各边长度，结合三角恒等变换化简即可求得的值； 【详解】由题得，， 因为，所以 ； 由可得， 设，由正弦定理可知， 所以， 如图所示：过A作，交BC的于E点， ， ， 所以 在中可算得 ， 故答案为：，. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知.设. （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得. 【小问1详解】 因为， ， 又因为三点共线，所以， 则， 解得. 【小问2详解】 由，可得，即 解得. 16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示： 年龄 保费（单位：元） （1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【答案】（1） （2）250元. 【解析】 【分析】（1）先由概率和为1求出a的值，再利用分层随机抽样的概念确定在和在内的抽取人数，结合古典概型知识即可求得答案. （2）求出保险公司每年收取的保费为，所以要使公司不亏本，则，解不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由得， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在内”为事件. 由题设可知，年龄在和内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在内的有2人，年龄在内的有4人. 记年龄在内2位参保人员为，年龄在的4位参保人员为，则从6人中任取2人，样本空间，共包含15个样本点，共包含8个样本点，所以. 【小问2详解】 保险公司每年收取的保费为： ， 所以要使公司不亏本，则，即，解得，所以年龄段需要缴纳的保费至少为250元. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦函数单调性可得其值域； （2）求出函数在区间上的所有零点即可得结果. 【小问1详解】 易知 因为，所以， 由正弦函数单调性可得， 则的值域为 【小问2详解】 因为，所以， 由得 所以，解得， 所以函数在区间上的所有零点之和为. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. （1）求证：//平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线线平行推得线面平行即得； （2）由等边三角形证，再由勾股定理逆定理证，由线线垂直推导线面垂直即得； （3）作，证平面，作，证，得为二面角的平面角，由题设求得即得. 【小问1详解】 如图（1），连接. 由三棱柱可知侧面为平行四边形，所以为中点； 又因为为中点，所以//， 又平面平面，所以//平面； 【小问2详解】 如图（2），连接. 由菱形可知，因为，可得为等边三角形； 因是中点，则，且；由可得，； 因为，则有，即， 又平面平面，故平面； 【小问3详解】 由（2）可知平面，因为平面，所以平面平面； 如图（3），过点作，垂足为，过作，垂足为，连接. 因为平面平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以； 因为平面平面，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角. 在中，，可得， 在中，，可得， 在中，，可得， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和应用，以及运用几何法求解二面角，属于较难题. 解题关键在于深刻把握线面垂直的判定定理，执果索因，寻找线线垂直条件；求二面角的关键在于找到一个平面中的一点在另一个平面的射影，为作出平面角奠定基础. 19. 如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. （1）若，求的面积； （2）①求的值； ②求的最大值. 【答案】（1） （2）①27；②. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解边长，再利用等腰三角形的性质求解面积即可； （2）①利用余弦定理求解即可； ②在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理得，结合三角函数求解最值即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，， 且是等腰直角三角形，则 【小问2详解】 ①设，因为，由余弦定理可得，， ，即； ②在中，， 由正弦定理可得，则， ，又， 在中，由余弦定理得 （其中为锐角，且）， 由可得， 所以当时，即时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年高一第二学期期末检测 数学 2024.06 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程解所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 数据的45百分位数为（ ） A. 73 B. 76 C. 77 D. 78 4. 已知平面向量，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（ ）百米. A. B. C. D. 3 6. 在正方体中，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ）. A. B. C. 平面 D. 平面平面 7. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 8. 已知，则的值（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中正确的有（ ） A. A与互斥 B. A与相互独立 C 与对立 D. 11. 如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 点到平面的距离为 D. 三角形沿直线旋转一周得到旋转体的体积为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个正四棱台体积为，上､下底面边长分别为，则棱台的高为__________. 13. 若复数满足，则的最小值是__________. 14. 已知的面积为满足条件，则__________.；若，延长至点，使得，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知.设. （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值. 16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示： 年龄 保费（单位：元） （1）若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率. （2）由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 17. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，，为中点，与的交点为. （1）求证：//平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值. 19. 如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，在中，，. （1）若，求的面积； （2）①求的值； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$