精品解析：广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 说明:本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答题卡上;选择题填涂需用铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答题卡. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上单调递增 3. 若随机变量满足，.则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设曲线在处的切线方程为，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　) A. 29 B. 29－1 C. 39 D. 39－1 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A 306 B. 198 C. 268 D. 378 8. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10. 设随机变量的分布列为，则 A. B. C. D. 11. （多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最小值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 13. 长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为___________. 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 若是函数的极大值点． （1）求a的值； （2）求函数在区间上最值． 16. 二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： （1）展开式中所有二项式系数的和； （2）展开式中所有的有理项． 17. 玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 18. 已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关． （1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列； （2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由． 19. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 说明:本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答题卡上;选择题填涂需用铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答题卡. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】每位同学的第三门高考选考科目都有种选择，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意甲、乙、丙每位同学的第三门高考选考科目都有种选择， 按照分步乘法计数原理可知不同的选法种数为. 故选：A 2. 已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负得到的单调性，即可判断. 【详解】由导数的图象可知，当时，，所以在区间，上单调递增，故C正确； 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递减，故A、B、D错误； 故选：C． 3. 若随机变量满足，.则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】依据随机变量数学期望与方差的运算规则求得和的值即可解决 【详解】随机变量满足，， 则，，据此可得，. 故选：D 4. 设曲线在处的切线方程为，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出的导数，再利用导数的几何意义计算作答. 【详解】依题意，曲线，求导得：，则， 因曲线在处的切线方程为，则，即，解得， 所以a的值为-2. 故选：A 5. 若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　) A. 29 B. 29－1 C. 39 D. 39－1 【答案】D 【解析】 【分析】 令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，即得解. 【详解】(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9， 令x＝0，得a0＝1； 令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39， ∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，又，，，结合函数的单调性即可判断. 【详解】令，则， 所以当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 又，所以， 即. 故选：A 7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A. 306 B. 198 C. 268 D. 378 【答案】B 【解析】 【分析】分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 【详解】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类： ①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式； ②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式． 综上，共有种不同的提问方式． 故选：B. 8. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互质的定义，确定事件，再在这些互质数内，根据二次剩余的定义，计算出的二次非剩余数，结合条件概率的计算公式，即得. 【详解】在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即； 由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在， 当时，，当时，， 当时，不存在， 即， 由事件中有种情况，事件有种情况， 所以. 故选：C. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误. 【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 10. 设随机变量的分布列为，则 A. B. C D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解. 【详解】随机变量的分布列为, ， 解得， 故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故答案为：A、B、C. 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 11. （多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最小值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数判断出函数的单调性，作出函数的草图即可判断各选项的真假． 【详解】，令，解得或， 当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增， 且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下， 由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2． 故选：BD． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】随机变量X服从两点分布，则，又，联立解得． 故答案为：0.6. 13. 长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”，根据概率乘法公式求出，即可求出，再由条件概率公式求出. 详解】设事件表示“免疫力低下”，事件表示“长期熬夜”， 则，，， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：． 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为，即，则得到，再利用导数即可得到值. 【详解】令，其定义域为为， 则，则为奇函数， 且， 因为和在上均单调递增，且恒成立， 则在上单调递增， 由得， 即，则. 令，则，当时，单调递减，当时，单调递增， 故时取最小值0， 故不等式的解为. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，再利用其单调性和奇偶性得到不等式，最后利用导数即可. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 若是函数的极大值点． （1）求a的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由求得的值. （2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值. 【小问1详解】 ， 由题意知或 时，， 在区间递增；在区间递减， 是的极大值点，符合题意. 时，， 在区间递增；在区间递减， 是的极小值点，不符合题意. 则. 【小问2详解】 由（1）知，且在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 则，. 16. 二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： （1）展开式中所有二项式系数的和； （2）展开式中所有的有理项． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）写出展开式的通项，即可得到第五项的二项式系数与第三项的系数，从而得到方程，根据组合数的性质求出，再根据二项式系数和为计算可得； （2）写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得. 【小问1详解】 二项式展开式的通项为（且）， 所以第五项的二项式系数，第三项的系数为， 依题意可得，即，所以， 则， 所以展开式中所有二项式系数的和为. 【小问2详解】 由（1）可得二项式展开式的通项为（且）， 令，又且，则或或， 所以有理项有，，. 17. 玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”， 由题设可知，，，， 且，，， 所以 . 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. 【小问2详解】 因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 18. 已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关． （1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列； （2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由． 【答案】（1）分布列见解析； （2）应从情境开始第一关，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）确定所有可能的取值，并求出对应的概率，从而得到分布列； （2）分别求得从两个情境开始的得分期望值，根据大小关系可得结论. 【小问1详解】 由题意知：所有可能的取值为，，， ；；， 的分布列为： 【小问2详解】由（1）得：从情境开始第一关，则； 若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，， ；；， ； ，应从情境开始第一关. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，研究导函数的零点个数即大小关系，对参数进行讨论即可； （2）先计算，然后分离变量转化为函数的最值问题. 【小问1详解】 定义域 ， 若,则,令,得， 当单调递减， 当单调递增， 若,得或， 若,则对恒成立,所以在上单调递减， 若,则， 当单调递减， 当单调递增， 当单调递减， 若,则， 当单调递减， 当单调递增， 当单调递减， 综上， 若在上单调递减,在上单调递增， 若在上单调递减， 若上单调递减,在上单调递增,在上单调递减， 若上单调递减,在上单调递增,在上单调递减， 【小问2详解】 因为,所以,即在[1,2]上单调递减， 所以在， 所以， 所以， 即,对恒成立， 设， 则,令,得， 当单调递增， 当单调递减， 所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是处理，因为是存在性问题，所以只需要. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$