精品解析：广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

6学科网命组卷网 广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答题卡上；选择题 填涂需用2B铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、 地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为() A53 B.35 C A D.3C 【答案】A 【解析】 【分析】每位同学的第三门高考选考科目都有5种选择，按照分步乘法计数原理计算可得。 【详解】依题意甲、乙、丙每位同学的第三门高考选考科目都有5种选择， 5×5×5=53 按照分步乘法计数原理可知不同的选法种数为 故选：A 2已知函数（田的导函数∫'(）的图象如图，则下列结论正确的是() 1 在区间（-2，) A函数( 上单调递增 第1页/共19页 6学科网6组卷网 (1,3) B.函 f田在区 上单调递减 C西数f在区间 (4,5) 上单调递增 D函数 在区间3，-2》上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负得到()的单调性，即可判断。 【详解】由导数的图象可知，当x∈（l2U(4,5)时，f(>0,所以()在区间（，2)，（4,5)上 单调递增，故C正确； 当2<x<4时，f(,<0,所以f(x)在区间(2,4)上单调递减。 当3<x<-1时，f)<0,则（在区间（-3，-）上单调递减，故A,B、D错误： 故选：C 3.若随机变量5满足E(1-)4,D(1-5)=4则下列说法正确的是《) AE(5)=4.D(5)=4 B.E(5)=-3D(5)=3 C.E(5)=-4D(5)=-4 D.E(5)=-3D(5)=4 【答案】D 【解析】 【分析】依据随机变量5的数学期望与方差的运算提则求得B(5)和D(5)的值即可解决 【详解】随机变量5满足E(1-5)=4.D(1-5)=4 则1-E(5)=4,（-D()=4,据此可得E(5)=-3,D(5)=4 故选：D 第2页/共19页 6学科网列组卷网 4.设曲线f(d=asin(-)-h(x+l)在(0,0)处的切线方程为y=x,则a的值为() A.-2 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】求出()的导数，再利用导数的几何意义计算作答 详解】依题意，曲线fx)=一asinx-n(x+),求导得：)=-acosx-1 x+1,则f'(0)=-a-1, 因曲线=f(四在(0,0)处的切线方程为y=x,则(0)=1，即a-1=1,解得a=-2, 所以a的值为-2. 故选：A 5.若(1+x)(1-2x)3=+4x+…十r,x∈R,则42+22+…十2的值为() A.29 B.29-1 C.39 D.39-1 【答案】D 【解析】 【分析】 令x=0,得=1；令x=2,得十42+22+…十西2=3，即得解. 【详解】(1+x)(1-2x)3=+ax+x2+…十ax, 令x=0,得=1： 令x=2,得十42+2+…+四29=3， ∴.42+22+…+29=39-1. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求和，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平 a=2n2,6=3n3,c= 1 1 6.已 3 e,则() A.a<b<c B.c<b<a c b<e<a b<a<c D 第3页/共19页 6学科网 命组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】令()=血x x,利用导数说明函数的单调性，又a=,2=4=了4)b=f③ 2 c=f(e), 合函数的单调性即可判断： 【详解】令f()=血x ,则 x2, 所以当0<x<e时f'()>0,当x>e时()<0， 即f()在(0，c)上单调递增，在（e,+o)上单调递减。 又a22-4-f④.bh3=fe),c=。c-f回) 又4>3>e,所以f(4)f(3)<fe) 即a<b<c 故选：A 7.国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3 个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( ) A.306 B.198 C.268 D.378 【答案】B 【解析】 【分析】分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论，分别求 出种数再相加即可. 【详解】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类： C6C34=108」 ①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有 种不同的提问方式： 第4页/共19页 学科网命组卷网 C6C3=90」 ②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有 种不同的提问方式. 综上，共有108+90=198种不同的提问方式. 故选：B 8.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研 究》中首次引入了二次剩余的概念·二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛 的应用已知对于正整数a,m≥2)，若存在一个整数，使得n整除2-a,则称“是n的一个二次利余， 否则为二次非剩余从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a,记事件A=“a与12互质”，B=“a是 12的二次非利余，则PB0=（) 3 3 5 A.14 B.7 C.7 D.14 【答案】C 【解析】 【分析】根据互质的定义，确定事件A,再在这些互质数内，根据二次剩余的定义，计算出12的二次非 剩余数，结合条件概率的计算公式，即得 【详解】在1到20中与12互质的有1,57.1,13,17,19，即A=1,57,1,13,17,19以 x2-a 由二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩余，则12整数的整数x不存在， 当a=1时，x=1,当a=13时，x=5, a=5,7,11,17,19 当 无不存在， 时， 即AnB={5,7,11,17,19y 由事件A中有7种情况，事件A∩B有5种情况， 第5页/共19页 6学科网列组卷网 两以P84) 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是() A.从中任选1个球，有15种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步与分类计数原理计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有74种不同的 选法，所以选项C错误 【详解】A.从中任选1个球，有4+5+6=15种不同的选法，所以该选项正确： B.若每种颜色选出1个球，有4×5×6=120种不同的选法，所以该选项正确： C.若要选出不同颜色的2个球，有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法，所以该选项错误： D.若要不放回地依次选出2个球，有15×14=210种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 10.设随机变量5的分布列为 5-)=(=234列 A.15a=1 BP(0.5<5<0.8)=0.2 cP(0.1<5<0.5)=0.2 D.P(5=1)=0.3 第6页/共19页 6学科网列组卷网 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得15a=1,即可判断A、D;由 P05<5<08)=P5-)阿斯，由P01<5<05)-P5-P5-引年可c:即 可得解。 【详解1：随机变量5的分布列%P5-)=k(k=2,345) .P5+P5=引P5=引P5=)+P5= =a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=15, 故A正确； Po1<505)=P5-写r5-)5+2x5-02.eF P(5=)=5×=1 5×5303,故D错灵 故答案为：A、B、C 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题 1(多选)已知函数)=+ e*，则下列结论正确的是() A函数()存在三个不同的零点 第7页/共19页 6学科网 命组卷网 B.函数()慨存在极大值又存在极小值 若xe,+∞)时了=三，则t的最小值为3 D当e<k<0时，方程f(x)= 有且只有两个实根 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数判断出函数(：)的单调性，作出函数的草图即可判断各选项的真假. 【详解】"(x)=x+x+2 e ，令f'(x)=0,解得x=-1或x=2, 当x<-1或x>2时，'()<0，故函数f(在（-0，-，(2，+o)上单调递减，当1<x<2时， f()>0,故函数在(1,2)上单调递增， 且西数/心例有楼小f(-)=e,有极大台f2)- ，当x趋近负无穷大时，f(x)趋近正无穷大， 当x趋近正无穷大时， f()趋近于零，故作函数草图如下， 由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 第8页/共19页 学科网命组卷网 12设随机变量x服从两点分布，若P(X=)-P(X=0)=0.2,则P(X=) 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案 【详解】随机变量X服从两点分布，则P(X=)+P(X=0)=1,又P(X=)-P(X=0)=02 联立 解得P(X=)=0.6 故答案为：0.6， 13.长期熬夜可能影响免疫力据某医疗机构调查，某社区大约有20%的人免疫力低下，而该社区大约有 10% 40% 的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为 ,现从没有长期熬夜的人中任意调查一 人，则此人免疫力低下的概率为 8 【答案】45 【解析】 【分析】设事件A表示“免疫力低下”，事件B表示“长期熬夜”，根据概率乘法公式求 P(AB),即 可求出P1,再由条行概辛公式求出P(4) 【详解】设事件A表示“免疫力低下”，事件B表示“长期熬夜”， 则P(4)=0.2.P(B)=0.1P(AB)=0.4 所以P(AB)=P(4B)P(B)=0.4×0.1=0.04P(B)=1-P(B)=0.9 所以P4B)=P(4)-P(AB)=0.2-0.04=0.16 P(AB)_0.16_8 所以P(4)=P可-0945 第9页/共19页 6学科网列组卷网 8 故答案为：45. 已通安e-+2024+片.且医fa+/任小水1.则疾感，的为 【答案】1 【解析】 【分析】构适函数g()=)2,证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为 f)f任，m8s-.网得到x≤1 x,再利用导数即可得到x值. 【16-f0+g+22,英定义镜R 刘(-到-8二-2024=8倒，则（为音高政 e*+e+2024x=e2 且8(r)=ee* e2x+ +2024x=1l-e2+2024x, 因为y=e+1和)=2024r在R上均单调递箱，且+1>0恒成立， 则8()在R上单调递增， 由ff2-小s1wg】 间&s-g任-g1为.则r≤1-x+1s0 令到=+6x>0,则()-号，0<<1时.a(到单隆藏，与>1时. 第10页/共19页 6学科网6组卷网 H(x)>0,h(x)单调递增。 故x=1时f()取最小值0， nx+--1≤0 故不等式 的解为x=1. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造8()-()-2，再利用其单调性和奇偶性得到不等式，最后利 用导数即可， 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15若x=1是函数f()-r+(a+)2-(+3a-3列x 的极大值点。 (1)求a的值： (②求函数=f(四在区同[0,4上的最值. 【答案】(1)a=-3 四.0，e以-号 【解析】 【分折】（山由f(0)=0求得a的值 (2)结合函数f(t)的单调性来求得函数()在区间[0,4)上的最值 【小问1详解】 f(x)=x2+2(a+l)x-(a+3a-3) 由愿意知f(0)=1+2(a+)-(a+3a-3列=0→a=-3或a=2 第11页/共19页 6学科网命组卷网 a=-3时，f()=产-4x+3=(x-l(x-3) f()在区间(-o,),(3,+of()>0,f()递增：在区间L,3列f(✉)<0，f(x)递减。 x=1是f(x的极大值点，符合题意 a=2时，f()=r+6xr-7=(x+7)(x-1) f在区同（-0，-7)(，+of(>0f(递增，在区间(-7，f(<0,(x递减， x=1是f()的极小值点，不符合思意 则a=-3」 【小问2详解】 由)因--2r+3,a了因在.B.在到a藏 又f0-0,f0-等.f)=0,f4- 则=0.fe号 1 16.二项式 2 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中所有的有理项. 【答案】(1)64 2 64 【解析】 第12页/供19页 6学科网命组卷网 【分析】(1)写出展开式的通项，即可得到第五项的二项式系数与第三项的系数，从而得到方程，根据 组合数的性质求出，再根据二项式系数和为计算可得； 4 (2)写出展开式的通项，令2+3”∈ 3 求出r,再代入计算可得 【小问1详解】 1 二项式x2 限开式的酒碳为=c()广(-（c泞。 srsn且reN), 11 所以第五项的二项式系数C4,第三项的系数为2 xC-C 依题意可得 4 C”,即C4=C%,所以n=2+4=6, 26=64 所以展开式中所有二项式系数的和为 【小问2详解】 由(1)可得二项式 x 令2+re 4 3 ,又0≤r≤6且r∈N,则r=0或r=3或r=6, 以有理频T=子.互-(c=.五-(xc-益 0.80.10.1 17.玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只假设各箱含有0,1,2只残次品的概率对应为 和 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则 买下该箱玻璃杯；否则不买求： 第13页/共19页 命学科网命组卷网 (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率： (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 448 【答案】(1)475 95 (2)112 【解析】 【分析】(1)设事件A表示顾容买下所查看的一箱玻璃杯”，事件B,表示“箱中恰好有=0,12)只残 次品”，利用全概率公式计算可得； (2)利用条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 设事件1表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件B,表示箱中恰好有=0,12)只残次品， 由题设可知， P(B)=0.8P(B)=0.1P(B2)=0.1 aP叫41.P-8-)-号-8. (4)=P(B)P(4B)+P(B)P(B)+P(B)P(AB) =0.8×1+0.1×4+0.1x12=448 19475 448 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为475 【小问2详解】 P(BA)P(B)P(A B.)0.8x1 95 因为 P(B.A)=P(A) P(4) 448 =112 475 95 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是112 A,B 18.已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝.每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关， 第14页/共19页 6学科网命组卷网 若寻宝失败则比赛结束：若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束.4情境寻 宝成功获得经验值2分，否则得0分；B情境寻宝成功获得经验值3分，否则得0分.已知某玩家在A情 0.8 0.6 境中寻宝成功的概率为 ,ǒ，在B情境中寻宝成功的概率为0,0，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初 始情境的次序无关。 (1)若该玩家选择从A情境开始第一关，记X为经验值累计得分，求X的分布列： (2)为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由. 【答案】(1)∴.X的分布列为： X 0 2 5 0.2 0.32 0.48 (2)应从A情境开始第一关，理由如下：由(1)得：从A情境开始第一关，则 E(X)=0×0.2+2×0.32+5×0.48=3.04 若从B情境开始第一关，记Y为经验值累计得分，则Y所有可能的取值为0,3,5， P(Y=0)=0.4P(Y=3)=0.6×(1-0.8)=0.12P(Y=5)=0.8×0.6=0.48 .E(Y)=0×0.4+3×0.12+5×0.48=2.76 :E(X)>E(Y),应从A情境开始第一关 【解析】 【分析】(1)确定X所有可能的取值，并求出对应的概率，从而得到分布列： A.B (2)分别求得从两个情境开始的得分期望值，根据大小关系可得结论， 【小问1详解】 由题意知：X所有可能的取值为0,2,5， P(X=0)=1-0.8=0.2P(X=2)=0.8×(1-0.6)=0.32.P(X=5)=0.8×0.6=0.48 第15页/供19页 6学科网命组卷网 X的分布列为： X 0 2 5 D 0.2 0.32 0.48 【小问2详解】 略 19已知函数f()(2-a)hx++2amr (1)讨论函数()的单调性： ②当ae(-8-2)时，若存在x,七e,2.使得/(c)-f小>(m+lh2a-2h2+h(-a) 恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) 若a=-2,田左0，+w） 在 上单调递减， o1） 若-2<a<0,f在02 的调涕减，在2’。上单调递增，在 -,+00 上单调递减， 1 【解析】 【分析】(1)求导后，研究导函数的零点个数即大小关系，对参数进行讨论即可： (2)先计算f(x)一f(:)川，然后分离变量转化为函数的最值问题 【小问1详解】 第16页/供19页 6学科网列组卷网 0,+0) 定义域 x+2a-2x-Dax+D) f()=2-a1 若a≥0，则am+1>0,令f(:)=0,得x=2, 当xeQ2》f<0fW年道藏。 当xe2松f国>0，W华调， 若a<0,f)=0,得x=2或=-a, 若a=-2,测≤0对x∈(0，+o)恒成立，所f四在0，+o)上单调速减， 11 若-2<a<0,则2a, 当0》f<0f四单调港藏， 当名日》f>0四毫 当xe(（n小/国0因单网减。 1、1 若a<-2,则2a, 当e0-af)<0四单调诚， 第17页/供19页 6学科网命组卷网 当(}闭>0因华 当e（2m/<0f单词递藏， 综上， 若a=-2,f四在0，+w)上单调道减， 【小问2详解】 111 一∈ 因为a∈(-8，-2)，所以a(8’2,即f(x)在[1,2]上单调递减， 所以在f)x-f0）=1+2a,f)m=f2)=(2-a)h2++4a 2 所以)-fs儿=f0-f2=+a-2h2-2a. 所以2+a-2)h2-2a>ma+alh2-2h2+)(-w） 1 2 m>1-0-2 2a 对a∈（-8，-2)恒成立， 段@=1-0-2a(82) 2a 第18页/供19页 6学科网命组卷网 则p(a=h(-a)-2 2a2,令p(a=0,得a=-e2 当ae(8,-e),p(a>0,p(a单调递增， 当ae(-e,-2),p(@<0,pa单调递减， 所以am=o(e）=2g-2 似安和意定-2+】 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是处理(x)-(:儿， 因为是存在性问题，所以只需要 f(s)-f(s儿>(m+h2a-21h2+2n(-a） 第19页/供19页 广东省云浮市罗定市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 说明:本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答题卡上;选择题填涂需用铅笔，主观题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答题卡. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上单调递增 3. 若随机变量满足，.则下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 设曲线在处的切线方程为，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　) A. 29 B. 29－1 C. 39 D. 39－1 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A. 306 B. 198 C. 268 D. 378 8. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有不同的球15个，其中红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任选1个球，有15种不同的选法 B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C. 若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 10. 设随机变量的分布列为，则 A. B. C. D. 11. （多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最小值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量X服从两点分布，若，则______． 13. 长期熬夜可能影响免疫力.据某医疗机构调查，某社区大约有的人免疫力低下，而该社区大约有的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为___________. 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 若是函数的极大值点． （1）求a的值； （2）求函数在区间上的最值． 16. 二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： （1）展开式中所有二项式系数的和； （2）展开式中所有的有理项． 17. 玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 18. 已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关． （1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列； （2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若存在，，使得恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $