精品解析：北京市延庆区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2024北京延庆高二（下）期中 数 学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 等比数列，，，，的项数为（ ） A. B. C. D. 2. 由数字，，，构成的三位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. 第3项和第4项 B. 第4项和第5项 C. 第3项 D. 第4项 5. 随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数的数学期望是（ ） A. B. C. D. 6. 盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则实数值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设随机变量的分布列为 则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知数列的通项公式.设，，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第二部分 （非选择题 共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若，则_________．（用数字作答） 12. 已知随机变量，则=_________，=_________． 13. 学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=_________． 14. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有_________种．（用数字作答） 15. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在的展开式中. （1）求第项的二项式系数； （2）求的系数； （3）求第项. 17. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. （1）写出a的值； （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望. 18. 甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率； （2）如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率； （3）如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论. 19. 已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，且，求. 20. 已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 21. 已知数列：，，…，满足：①；②.记. （1）直接写出的所有可能值； （2）证明：的充要条件是； （3）若，求的所有可能值的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024北京延庆高二（下）期中 数 学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 等比数列，，，，的项数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据规律即可求解. 【详解】，，，，的项数为, 故选：C 2. 由数字，，，构成的三位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】百位有4种选择，十位有4种选择，个位有4种选择，故构成的三位数共有个， 故选：A 3. 在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 4. 在的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. 第3项和第4项 B. 第4项和第5项 C. 第3项 D. 第4项 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数的定义计算二项式展开式中各项的二项式系数，进而确定二项式系数最大的项 【详解】二项式展开式中第项的二项式系数为 所以题中二项式展开式的第项的二项式系数为 时，；时，；时，； 时，；时，； 时，；时，. 所以时二项式系数最大，即第四项的二次项系数最大，答案D正确. 故选：D. 5. 随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数的数学期望是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出分布列，然后利用期望公式求解即可． 【详解】抛掷骰子所得点数的分布列为 1 2 3 4 5 6 所以， 故选：． 6. 盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，求出，，利用条件概率公式求出概率. 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B， 则，， 则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为. 故选：D 7. 若，且，则实数值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】取，则， 取，则，因此，解得或， 故选：C 8. 设随机变量的分布列为 则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算均值，再计算方差即可. 【详解】由分布列可得, 所以. 故选：B. 9. 设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为， 充分性：，则对任意的恒成立，则， ，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意； 若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意. 所以，“，”“为递增数列”； 必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列. 所以，“，”“为递增数列”. 因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题． 10. 已知数列的通项公式.设，，若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】在已知的等式代入通项公式，在两边同乘以式子，连续使用平方差公式化简得，再由对数式转化指数式得，则可解得. 【详解】由题意知，， 则 ， 由得，则， 解得. 故选：C. 第二部分 （非选择题 共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若，则_________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数公式求出，再利用排列数公式计算即得. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为：20 12. 已知随机变量，则=_________，=_________． 【答案】 ①. ②. ##0.75 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故答案为：； 13. 学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则=_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，的取值为，代入超几何分布公式求出对应概率，再由期望公式求解即可. 【详解】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 故答案为：. 14. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有_________种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商、角插入4个空中，共有种． 故答案为：36. 15. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在的展开式中. （1）求第项的二项式系数； （2）求的系数； （3）求第项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 根据展开式的通项公式求二项式系数； （2）由展开式的通项公式求系数； （3）根据展开式的通项公式求项. 【小问1详解】 第项的二项式系数为. 【小问2详解】 展开式中的第项为 , 由已知，令，则，则 , 则的系数为 . 【小问3详解】 因为 , 求第项，即时， , 所以第项为. 17. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. （1）写出a的值； （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）a＝0.03； （2）870人； （3）分布列： X 1 2 3 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值； （2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和； （3）分别求得初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望. 【详解】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10＝1， 解得a＝0.03， （2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名， ∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.25， ∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800＝450人， 同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10＝0.035， 学生人数约为0.35×1200＝420人， 所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420＝870， （3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3人， 同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40＝2， 故X的可能取值为：1，2，3， P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝， ∴X的分布列为： X 1 2 3 P ∴E（X）＝1×+2×+3×＝. 18. 甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为，，假设两人每次投篮是否命中相互之间没有影响. （1）如果甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率； （2）如果甲投篮次，求甲至多有次投篮命中的概率； （3）如果乙投篮次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式即可分类求解，或者利用对立事件的概率公式求解， （2）利用二项分布的概率公式，结合分类即可求解. （3）利用二项分布的概率公式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 记“甲投篮1次，且命中”为事件A 记“乙投篮1次，且命中”为事件B 记“甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中” 为事件C 由已知， 由已知， 法一：,, 则甲、乙两人各投篮次，两人中至少有人投篮命中概率为 法二：所以 答：甲、乙两人各投篮次，求两人中至少有人投篮命中的概率 【小问2详解】 记“甲投篮4次，且至多有2次投篮命中”为事件D 因为甲每次投篮命中的概率为， 记投篮命中次数为,则的取值范围是 ， 所以 答：甲投篮4次，且至多有2次投篮命中的概率为 【小问3详解】 根据题意，乙投篮10次，命中的次数为Y，则Y～B（10，）， 故， 若，解得由于为整数，故 故乙投篮命中个球的概率最大. 19. 已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，且，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式； （2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和； （3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解 【小问1详解】 当时， 得. 由已知① 当时，, ② ①-②得. 所以 . 所以数列为等比数列，且公比为 因为，所以. 设数列公差为， 由得 所以. 综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：. 【小问2详解】 设，前项和 【小问3详解】 即，即，解得 20. 已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点坐标，即可得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合韦达定理探讨点的纵坐标的关系即可得解. 【小问1详解】 直线与坐标轴的两个交点为，而，则，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设过点的直线为，由题意直线斜率存在， 设方程为，即， 由，消去y得， 整理得， 由 ，得， 设，则， ， 将代入得，直线的方程为， 令得， 则 因此点是线段的中点，所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知数列：，，…，满足：①；②.记. （1）直接写出的所有可能值； （2）证明：的充要条件是； （3）若，求的所有可能值的和. 【答案】（1）所有可能值是，，，，1，3，5，7； （2）充分性：若，即. 所以满足，且前项和最小的数列是，，，…，，. 所以 . 所以. 必要性：若，即. 假设，即. 所以， 与已知矛盾. 所以. 综上所述，的充要条件是. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式以及求和式子即可得出结果. （2）充分性：求出数列的通项公式，再利用等比数列的前和公式可证；必要性：利用反证法即可证明. （3）列出中的项，得出数列的规律：每一个数列前项与之对应项是相反数的数列，即可求解. 【详解】解：（1）的所有可能值是，，，，1，3，5，7. （2）略 （3）由（2）知，可得.所以. 因为数列：，，…，中有，1两种，有，2两种， 有，4两种，…，有，两种，有一种， 所以数列：，，…，有个， 且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前项和是. 所以这个数列的前项和是. 所以的所有可能值的和是. 【点睛】关键点点睛：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，解题的关键是根据递推关系式得出数列的通项公式，注意讨论，此题也考查了数列不等式、反证法在数列中的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $