精品解析：福建省福州市第一中学初中部2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

福州一中初中部2023-2024学年第二学期期末考试 初二 数学学科 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，与是以点为位似中心位似图形，若，的面积为2，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 某班9名学生参加投篮测试，每人投篮10次，投中次数统计如下：3，3，4，4，4，5，6，6，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A 5，4 B. 6，5 C. 4.5，4 D. 4，4 3. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则下列选项中满足题意的值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 2 5. 如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的菱形都是相似形 B. 对应边成比例的两个多边形相似 C. 对应角相等的两个多边形相似 D. 所有的正方形都是相似形 7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（ ） A. 3与11 B. 4与10 C. 2与10 D. 5与8 8. 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线过点，与轴交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是_____________. 12. 若正比例函数y=kx的图象经过点（2，4），则k=_____． 13. 在阳光下，高为的一尊雕像在地面上的影长为，则此刻该处另一尊高为的雕像在地面上的影长为_____________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的不等式的解为_________. 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接交边于点；②以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点.若，，则的长为_________________. 16. 如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连接，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③.其中正确的是_____________________. 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. （1）画出以点为位似中心的位似图形，使得与的相似比为，且点落在第三象限； （2）直接写出各点的坐标； （3）直接写出的面积. 20. 已知关于的一元二次方程. （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 21. 已知直线经过点． （1）求的函数解析式． （2）若直线与直线交于点，且经过点．求直线，与轴所围成的三角形的面积． 22. 某校举行八、九年级学生“普法知识竞赛”，并从两个年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分，分数为整数），通过对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不及格，及格，良好，优秀）下面给出了部分信息：抽取的八年级学生竞赛成绩中“良好”包含的所有数据（单位：分）为：83，87，89；抽取的九年级学生普法知识竞赛成绩数据为：71，76，76，86，86，88，89，96，96，96；抽取的八、九年级学生普法知识竞赛成绩的统计表如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”所占百分比 八年级 86 96 九年级 86 87 抽取的八年级学生成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）已知八年级学生普法知识竞赛成绩的方差为96.5，请通过计算说明哪个年级学生普法知识竞赛的成绩较为稳定； （3）若该校八年级有390名学生，九年级有380名学生，请估计这两个年级学生中普法知识竞赛成绩为优秀等级的总人数． 23. 以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动． 如图，是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中，，，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形，落在边上，在边上，在边上，（其中即为数学探究小组新添加的篱笆）． （1）若，请求出矩形生态农业观光园边的长； （2）因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为．请求出该矩形生态农业观光园的面积最大值． 24. 已知抛物线与过点直线，，交于两点（点在点右侧） （1）若抛物线对称轴为直线且与轴交于点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件之下，若，为抛物线上的一动点，且在点与点之间，求面积的最大值； （3）若该抛物线的顶点为原点，已知，交轴于两点，当时，求的方程 25. 中，，，为线段上一点且满足， （1）尺规作图：在图1中作，且满足点在的同侧； （2）在的条件下，连接，证明； （3）如图2，连接，将其绕点顺时针旋转得到线段，延长线段交于点，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州一中初中部2023-2024学年第二学期期末考试 初二 数学学科 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为2，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据位似变换的概念得到，进而证明，根据相似的性质即可得到答案． 【详解】解：由于与是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 的面积和的面积比为， 的面积为2， 的面积为8． 故选D． 2. 某班9名学生参加投篮测试，每人投篮10次，投中次数统计如下：3，3，4，4，4，5，6，6，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 5，4 B. 6，5 C. 4.5，4 D. 4，4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，中位数是指将一组数据按大小顺序排列，若一组数据为奇数个，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数；若一组数据是偶数，则处在最中间的两个数的平均数为这组数据的中位数；众数指的是在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.根据中位数和众数的定义即可求出答案． 【详解】解：这组数据3，3，4，4，4，5，6，6，7中出现次数最多的是4， 众数是4. 将这组数据按从小到大顺序排列是3，3，4，4，4，5，6，6，7， 中位数为：4. 故选：D． 3. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则下列选项中满足题意的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．先根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，再结合选项即可判断． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 观察四个选项，只有C选项满足题意， 故选：A． 4. 如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数平移的规律 “左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移1个单位得到点的坐标为， ∴将抛物线向右平移1个单位，所得的抛物线的表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的菱形都是相似形 B. 对应边成比例的两个多边形相似 C. 对应角相等的两个多边形相似 D. 所有的正方形都是相似形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误； B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误； D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确； 故选：D 7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（ ） A. 3与11 B. 4与10 C. 2与10 D. 5与8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为， 由题意得：， ∵菱形面积为20， ∴，解得：， ∴一元二次方程为， 整理得， 解得， ∴该菱形两对角线长分别为4与10， 故选：B． 8. 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行线性质．根据题意证明，，，利用相似三角形性质逐一对选项就行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即A选项错误， ∴，即B选项不符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即C选项不符合题意， ∵，即D选项不符合题意， 故选：A． 10. 如图，抛物线过点，与轴的交点在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③抛物线顶点的纵坐标大于4小于； 其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①错误． 又抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，即， ∴，故②正确． ∵抛物线对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 又，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴抛物线顶点的纵坐标大于4小于．故③正确． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 12. 若正比例函数y=kx的图象经过点（2，4），则k=_____． 【答案】2 【解析】 【详解】 13. 在阳光下，高为的一尊雕像在地面上的影长为，则此刻该处另一尊高为的雕像在地面上的影长为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用、平行投影，解答本题的关键是明确同一时刻，旗杆的高与影长的比等于建筑物的高与影长的比．根据题意可知，同一时刻，旗杆的高与影长的比等于建筑物的高与影长的比，然后即可解答本题． 【详解】解：设另一尊雕像在地面上的影长为， 由题意可得：， 解得， 即雕像在地面上的影长为， 故答案为：. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的不等式的解为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式．根据图象写出点左边部分的取值范围即可． 【详解】解：∵直线,直线相交于点, ∴关于的不等式的解集是：, 故答案为：． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接交边于点；②以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点.若，，则的长为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，再利用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】解：如图，分别连接， 由作图可知垂直平分线段， ，， ， 由作图可知， ， ， ． ． 故答案为：． 16. 如图，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上运动，连接，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③.其中正确的是_____________________. 【答案】① 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． ①先求出，，则，由此可证，然后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确； ②根据得，再根据三角形外角性质得，由此可对结论②进行判断确； ③要使成立，即使成立，即使成立， 即使，但不一定与相等，不一定成立，由此可对结论③进行判断确． 【详解】解：①设， 是等腰直角三角形，， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故结论①正确； ②， ， ， ， 故结论②错误； ③， ， ， ， ， ， 要使成立，即使成立， 即使成立， 即使， 但不一定与相等， 不一定成立， 不一定成立， 故结论③错误， 综上所述：正确的结论是①． 故答案为：① 三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， 开方得， 解得：； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得：． 18. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比以及，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）可得， ∴， ∵， ∴，解得：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，. （1）画出以点为位似中心的位似图形，使得与的相似比为，且点落在第三象限； （2）直接写出各点的坐标； （3）直接写出的面积. 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，位似变换，三角形的面积，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）利用位似变换的性质画出图形即可； （2）根据图形写出坐标即可； （3）根据分割法求出三角形面积即可． 【小问1详解】 解：即为所求， 【小问2详解】 解：与的相似比为，且点落在第三象限， 故，，； 【小问3详解】 解：． 20. 已知关于的一元二次方程. （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值. 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，及根与系数的关系． （1）计算一元二次方程根判别式得，根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根”即可得证得结论； （2）根据一元二次方程的跟与系数的关系，得，，然后利用完全平方公式变形，求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ，恒成立，与无关， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：，为方程的两个实数根， ，， ， 解得，． 21. 已知直线经过点． （1）求的函数解析式． （2）若直线与直线交于点，且经过点．求直线，与轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题； （1）待定系数法求一次函数解析式； （2）待定系数法求得，进而求得直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：直线经过点， ，解得， ； 【小问2详解】 解：经过点，， 解得 ． 当时，， ， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， ， ． 22. 某校举行八、九年级学生“普法知识竞赛”，并从两个年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分100分，分数为整数），通过对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不及格，及格，良好，优秀）下面给出了部分信息：抽取的八年级学生竞赛成绩中“良好”包含的所有数据（单位：分）为：83，87，89；抽取的九年级学生普法知识竞赛成绩数据为：71，76，76，86，86，88，89，96，96，96；抽取的八、九年级学生普法知识竞赛成绩的统计表如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”所占百分比 八年级 86 96 九年级 86 87 抽取的八年级学生成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）已知八年级学生普法知识竞赛成绩的方差为96.5，请通过计算说明哪个年级学生普法知识竞赛的成绩较为稳定； （3）若该校八年级有390名学生，九年级有380名学生，请估计这两个年级学生中普法知识竞赛成绩为优秀等级的总人数． 【答案】（1），， （2）九年级学生普法知识竞赛的成绩较为稳定； （3）这两个年级学生中普法知识竞赛成绩为优秀等级的总人数约为270人． 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握样本百分比估算总体数量的方法，中位数、众数的计算方法，运用方差作决策的方法是解题的关键． （1）根据样本百分比估算总体数量，中位数、众数的计算方法即可求解； （2）运用方差作决策即可求解； （3）运用样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得 ， ∴； 把八年级学生普法知识竞赛成绩按从小到大排列，排在第位两个数是， ∴， 在九年级学生普法知识竞赛成绩数据中，出现次数最多， ∴众数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：九年级方差为， ∴八年级方差九年级方差， ∴九年级学生普法知识竞赛的成绩较为稳定； 【小问3详解】 解：(人)， 答：这两个年级学生中普法知识竞赛成绩为优秀等级的总人数约为270人． 23. 以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动． 如图，是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中，，，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形，落在边上，在边上，在边上，（其中即为数学探究小组新添加的篱笆）． （1）若，请求出矩形生态农业观光园边的长； （2）因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为．请求出该矩形生态农业观光园的面积最大值． 【答案】（1） （2）该矩形生态农业观光园的面积最大值为 【解析】 【分析】（1）过点C作于点H，交于点K，根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，代入数据求出结果即可； （2）设，，则，证明，得出，求出，得出，根据新添加的篱笆总长最多只能为，得出，即，求出，根据，得出，在范围内求出二次函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点H，交于点K，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即矩形生态农业观光园边的长为． 【小问2详解】 解：设，，则， 根据解析（1）可知：， ∴， 即， 解得：， ∴ ， ∵新添加的篱笆总长最多只能为， ∴， 即， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，取最大值，且最大值为： ， 即该矩形生态农业观光园的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，不等式组的应用，求二次函数的最值，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的性质． 24. 已知抛物线与过点的直线，，交于两点（点在点右侧） （1）若抛物线对称轴为直线且与轴交于点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件之下，若，为抛物线上的一动点，且在点与点之间，求面积的最大值； （3）若该抛物线顶点为原点，已知，交轴于两点，当时，求的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，分割法求几何图形面积，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握待定系数法，分割法求面积，以及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据抛物线对称轴为直线以及抛物线与轴交于点，利用待定系数法即可求解； （2）联立抛物线和直线的解析式可求得，，设抛物线上在点与点之间的一动点（），过点作轴平行线交直线与点，设，底边上的高分别为、，则，化简后利用二次函数的性质即可求得最大值； （3）首先根据抛物线的顶点为原点求出抛物线解析式为，直线过定点，可得直线（），设，，联立抛物线和直线解析式，利用根与系数的关系可得，，利用待定系数法求出直线、解析式，求出点坐标为，点坐标为，即可求出，，然后利用，代入即可求出，由此得解； 【小问1详解】 解： 抛物线对称轴为直线， ， 解得， 抛物线与轴交于点， 将点代入得， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解： 直线过点， ， 若，则直线． 联立抛物线和直线解析式得， ， 解得或， ，． 设抛物线上在点与点之间的一动点（），过点作轴平行线交直线与点，如图所示， 点在直线上， 点坐标为， 设，底边上的高分别为、，如图所示， 则 ，， ， 当时，面积取得最大值为． 【小问3详解】 解：若该抛物线的顶点为原点， 顶点坐标为， ，， ，， 抛物线解析式为． 直线过点， ， 直线（）， 设，， 联立抛物线与直线解析式， ， 得， ，， 设直线解析式为，将点，代入， 得， 解得， 直线解析式为， 点坐标为， 设直线解析式为，将点，代入， 同理，可解得， 直线解析式为， 点坐标为， ， ，， 点，在直线（）上， ，， ，， ， 即， ，解得（由于，不合题意） 或，解得， 直线解析式为． 25. 中，，，为线段上一点且满足， （1）尺规作图：在图1中作，且满足点在的同侧； （2）在的条件下，连接，证明； （3）如图2，连接，将其绕点顺时针旋转得到线段，延长线段交于点，若，求的值. 【答案】（1）图和尺规作法见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． （1）先以为顶点，用尺规作图作出，然后再延长，用尺规作图法作出过点垂直于的垂线交延长线于，连接，，得到． （2）根据第（1）问，得，，证明，得到，即可得证； （3）在上取点使得，连接，，证明，得到，，，根据旋转特征，，，证明，得到，，，证明，得到；由，设，， ，则，过点作，可得 ， ，即，得，在直角三角形中，，，利用勾股定理可得，，得，故， ，在中，利用勾股定理得，，即，解方程得，，，利用 ． 【小问1详解】 解：如图，①以为圆心，适当半径作圆弧交于点，交于点，以为圆心，半径作圆弧交于点，以点为圆心，长为半径作圆弧，两圆弧交点为，连接，则； ②延长，以点为圆心，适当半径长作圆弧交延长线于点，再分别以为圆心，相同适当半径长作圆弧交于点，连接交于点，连接，，得到．根据作图过程可知，直线为的垂直平分线，故，即．由于，，故． 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 由第（1）问知， ，，即， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：在上取点使得，连接，，如图， ， ， ，，， 绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，， ，， 利用勾股定理可得，， 过点作，如图， ，， ， ，又， ， ， ，即， 解得， 直角三角形中，，， ， 利用勾股定理可得，， ， ， ， 在中，利用勾股定理得，， 即， 整理得，， 配方得，， ， 即， 或（舍去） ，即， ， 解得或（舍去）， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$