精品解析：福建省福州第十二中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期校内期末质量检查 八年级 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的整数部分是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则k的值为（ ） A. 109 B. 110 C. 111 D. 112 5. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点D，E，若，，则的长为（ ） A. B. 1.5 C. D. 2 6. 为了推广环保理念，社区举办了一场“垃圾分类与环保”知识竞赛．在答题完成后，由7位评委为参赛者小敏的答题情况进行打分，得到了7个评分．根据这些评分计算了平均数、中位数、众数和方差．如果去除这7个评分中的一个最高分和一个最低分后，剩余的5个评分重新统计，则这四个统计量的值一定不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 将一块含角的直角三角板按如图方式放置在矩形上，点A，B分别落在边，上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，则下列线段首尾顺次相接能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的不等式组的整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，若点B的坐标为，，则直线AB的解析式为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 12. 已知点，均在直线（k为常数且）上，则a的值为________． 13. 已知一组数据为1，2，4，5，则这组数据的方差为________． 14. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，若，则的长为________． 15. 如图，将的两边与分别沿翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为_______． 16. 如图，在中，，点D为的中点，，于E，连接，若，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在矩形中，点分别在边上，．求证：． 20. 如图是一张对边平行的纸片，点A，C分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点A，D落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，交于点O，若，，求菱形的面积． 21. 在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布． 姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告 小玉 92 82 84 小榕 82 90 （1）如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准； （2）学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数） 22. 某校要购买A型和B型两种运动器材丰富学生的体育活动．学校发现，如果买1套A型器材和2套B型器材要花费2600元；如果购买3套A型器材和1套B型器材要花费2800元． （1）求每套A型器材和每套B型器材售价各多少元？ （2）现在学校计划购买A型和B型两种运动器材共20套（A型和B型都需要购买）考虑到场地限制和学生使用的需求，购买的A型器材数量不超过B型器材的3倍．那么学校应该如何分配A型和B型器材的购买数量，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 23. 综合实践：按照要求测量木料之间的距离． 1．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n是相互平行． 2．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． 3．测量工具：如图②，一把刻度尺．（刻度尺宽度为，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角） 4．测量方法及求解过程 （1）小清同学完成的测量步骤及求解过程，如图③所示，测量步骤如下： 步骤一：在边m上取点A，在边n上取点B，C； 步骤二：连接，； 步骤三：把刻度尺一边与重合，另一边与交于点D，与交于点E； 步骤四：测得，，； 求解过程如下： 过点A作交于点N，交n于点M， 则________①，， 设，则________②， ∵， ∴， ∴________________④ ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离________⑤． 请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容； （2）小庄同学也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离方案，请你根据图④帮助小庄同学完成测量方案，要求写出测量步骤及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示．（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案） 24. 在平面直角坐标系中，无论为何值，直线都经过定点，直线与轴交于点，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）若，求直线的解析式； （3）点在直线上，且，是的中点，当取最小值时，求的值． 25. 如图，在正方形中，点E在对角线上，延长交于点F，交于H．点G在上，且． （1）求证：； （2）如图1，连接，交于点M ①求证：； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期校内期末质量检查 八年级 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的整数部分是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是2； 故选A． 2. 下列各组数中，相等的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原选项运算错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原选项运算错误，不符合题意； C、，原选项运算错误，不符合题意； D、，原选项运算正确，符合题意； 故选D． 4. 若，则k的值为（ ） A. 109 B. 110 C. 111 D. 112 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式得到即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 5. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点D，E，若，，则的长为（ ） A. B. 1.5 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，连接，得到，在中，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴； 故选C． 6. 为了推广环保理念，社区举办了一场“垃圾分类与环保”知识竞赛．在答题完成后，由7位评委为参赛者小敏的答题情况进行打分，得到了7个评分．根据这些评分计算了平均数、中位数、众数和方差．如果去除这7个评分中的一个最高分和一个最低分后，剩余的5个评分重新统计，则这四个统计量的值一定不会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 【详解】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的最中间的数产生影响，即中位数． 故选：B． 7. 将一块含角的直角三角板按如图方式放置在矩形上，点A，B分别落在边，上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形内角和定理的应用，先块含角的直角三角板，求出，，先求出，再求出，最后求出． 【详解】解：∵一块含角的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，，，则下列线段首尾顺次相接能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴， ∴首尾顺次相接能组成直角三角形； 故选C． 9. 若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的不等式组的整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及解一元一次方程， 由题意先解一元一次方程求得a的值，再代入不等式组即可求得其整数解，正确求解不等式组并找到符合条件的整数解是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴不等式组为， 解不等式组得：， ∴整数解有，共2个， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，若点B的坐标为，，则直线AB的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，勾股定理，等边对等角等知识，在上取一点，连接，使得，得到，求得，，从而求出，再用待定系数法即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴， 在上取一点，连接，使得，如图： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 故选：A． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】3 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是3， 故答案为：3 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 12. 已知点，均在直线（k为常数且）上，则a的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，将代入，求出的值，再将代入，求出的值即可． 【详解】解：把，代入，得， ∴， 把代入，得：； 故答案为：4． 13. 已知一组数据为1，2，4，5，则这组数据的方差为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的知识，先求出这4个数的平均数，然后利用方差公式求解即可，牢记方差的计算公式是解答本题的关键． 【详解】解：平均数， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，先根据正方形的性质得到，,再根据勾股定理得出，最后求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，将的两边与分别沿翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．先证明和是等边三角形，可得，再由折叠性质求解即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，，， 四边形是平行四边形， 和是等边三角形， ， ， 故答案为： 16. 如图，在中，，点D为的中点，，于E，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三线合一，等积法求高，根据三线合一，得到，设，勾股定理求出的长，等积法求出的长，在中，利用勾股定理，求出的值，过点作，等积法求出的长，进而求出的长，，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，点D为的中点，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴，， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式性质，算术平方根定义，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 19. 如图，在矩形中，点分别在边上，．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ． 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】根据证明，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意证得是解答本题的关键． 20. 如图是一张对边平行的纸片，点A，C分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点A，D落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，交于点O，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点A、B，连接、即可； （2）根据菱形性质得出，，，根据勾股定理得出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求， 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 21. 在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布． 姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告 小玉 92 82 84 小榕 82 90 （1）如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准； （2）学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数） 【答案】（1）86分，小玉符合“科技小达人”的标准 （2）小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准 【解析】 【分析】本题考查求平均数和加权平均数： （1）求出平均数，进行判断即可； （2）设小榕在科技创新报告中需要获得分，根据题意列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：分； ∵， ∴小玉符合“科技小达人”的标准； 【小问2详解】 设小榕在科技创新报告中需要获得分，由题意，得： ， 解得：， 故小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准； 答：小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准． 22. 某校要购买A型和B型两种运动器材丰富学生的体育活动．学校发现，如果买1套A型器材和2套B型器材要花费2600元；如果购买3套A型器材和1套B型器材要花费2800元． （1）求每套A型器材和每套B型器材售价各多少元？ （2）现在学校计划购买A型和B型两种运动器材共20套（A型和B型都需要购买）考虑到场地限制和学生使用的需求，购买的A型器材数量不超过B型器材的3倍．那么学校应该如何分配A型和B型器材的购买数量，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）每套A型器材和每套B型器材售价分别为元，元 （2）当购买A型器材15套，购买B型器材5套时，花费费用最少，为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用： （1）设每套A型器材和每套B型器材售价分别为元，元，根据买1套A型器材和2套B型器材要花费2600元；购买3套A型器材和1套B型器材要花费2800元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买A型器材套，则购买B型器材套，根据购买的A型器材数量不超过B型器材的3倍，列出不等式，求出的范围，设总费用为元，列出关于的函数关系式，利用一次函数的性质，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设每套A型器材和每套B型器材售价分别为元，元， 由题意，得：，解得：； 答：每套A型器材和每套B型器材售价分别为元，元． 【小问2详解】 设购买A型器材套，则购买B型器材套， 由题意，得：， 解得：， 设总费用为元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最小为：； ∴当购买A型器材15套，购买B型器材5套时，花费费用最少，为元． 23. 综合实践：按照要求测量木料之间的距离． 1．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n是相互平行． 2．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． 3．测量工具：如图②，一把刻度尺．（刻度尺宽度为，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角） 4．测量方法及求解过程 （1）小清同学完成的测量步骤及求解过程，如图③所示，测量步骤如下： 步骤一：在边m上取点A，在边n上取点B，C； 步骤二：连接，； 步骤三：把刻度尺一边与重合，另一边与交于点D，与交于点E； 步骤四：测得，，； 求解过程如下： 过点A作交于点N，交n于点M， 则________①，， 设，则________②， ∵， ∴， ∴________________④ ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离________⑤． 请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容； （2）小庄同学也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离方案，请你根据图④帮助小庄同学完成测量方案，要求写出测量步骤及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示．（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案） 【答案】（1）①t；②；③；④；⑤ （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，得出，代入相关的量求出结果即可； （2）在平行边m、n上分别取A、B两点；连接，用刻度尺测量的长度为；在上取点C，使；在点B的右侧，边n上取点D，使；连接，用刻度尺测出；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，证明即可． 【小问1详解】 解：过点A作交于点N，交n于点M， 则，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． 【小问2详解】 解：测量步骤如下： 步骤一：在平行边m、n上分别取A、B两点； 步骤二：连接，用刻度尺测量的长度为； 步骤三：在上取点C，使； 步骤四：在点B的右侧，边n上取点D，使； 步骤五：连接，用刻度尺测出； 求解过程如下： 根据测量可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，分式混合运算的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 24. 在平面直角坐标系中，无论为何值，直线都经过定点，直线与轴交于点，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）若，求直线的解析式； （3）点在直线上，且，是的中点，当取最小值时，求的值． 【答案】（1）； （2）直线得解析式为； （3）． 【解析】 【分析】（）由得当时，即可求出的坐标； （）过作轴于点，先求出直线解析式为，设，由勾股定理得：，，，求出，再待定系数法即可求解； （）取中点，连接，，有，当三点共线时最小，根据中点坐标求出，再用再待定系数法即可求解； 本题考查了一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形中位线的性质，中点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴当时，， 则无论为何值，经过定点； 【小问2详解】 如图，过作轴于点， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为； ∵，， ∴，，， ∵，轴， ∴， 设， 在，中，由勾股定理得： ，，， ∴，则， 解得：，即， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得：， ∴直线得解析式为； 【小问3详解】 如图，取中点，连接，， ∵是的中点， ∴，， 则如图，当三点共线时最小， ∵，，为中点， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 25. 如图，在正方形中，点E在对角线上，延长交于点F，交于H．点G在上，且． （1）求证：； （2）如图1，连接，交于点M ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；②证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由正方形的性质得到，，，得到，即可求证； （2）连接，由，得到，证昨四点共圆，再得到，得出，证得，得到，即可求证； ②作于点， 由勾股定理得到，，得到，再证得，得到，即可求证． 【小问1详解】 证明：连接，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：①连接，如图： 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∵， ∴； ②作于点，如图： ∴，， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $