河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高一下学期6月数学期末冲刺试题

2023—2024学年郑州市宇华实验学校高一(下)期末冲刺 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若,对任意实数,则“”是“”成立的( ) A.充分且必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.若,,,则( ) A. B. C. D. 3.已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数,若当时,,则函数在区间上零点的个数为( ) A.2021 B.2020 C.4043 D.4044 4.如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3 2 3的长方体框架,一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处,则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( ) A. B. C. D. 5.已知点为外接圆的圆心,角,,所对的边分别为,,,且,若,则当角取到最大值时的面积为( ) A. B. C. D. 6.已知,则( ) A. B. C. D. 7.锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式:,其中是自然对数的底数,是虚数单位,该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式,下列选项正确的是( ) A. B.的最大值为2 C.复数在复平面内对应的点位于第二象限 D.若,在复平面内分别对应点,,则面积的最大值为 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选项,每选对1个得3分;若只有3个正确选项,每选对1个得2分. 9.对于函数给出下列四个命题,其中正确命题的序号是( ) A.该函数是以为最小正周期的周期函数 B.当且仅当时,该函数取得最小值 C.该函数的图象关于直线对称 D.当且仅当时, 10.设 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( ) A.若,则 B.若,则 ABC为钝角三角形 C.若,,,则符合条件的 ABC有两个 D.若,则 ABC为等腰三角形或者直角三角形 11.如图,圆台,在轴截面ABCD中,,下面说法正确的是( ) A.线段 B.该圆台的表面积为 C.该圆台的体积为 D.沿着该圆台的表面,从点C到AD中点的最短距离为5 三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分. 12.若点在函数的图象上,则 . 13.在中,角,,的对边分别为,,,若且,则的取值范围为 . 14.已知为钝角,且,角,,满足,则 . 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若. (1)求; (2)若,,求的面积的最大值. 16.某公司为了解员工对食堂的满意程度,随机抽取了200名员工做了一次问卷调查,要求员工对食堂的满意程度进行打分,所得分数均在[40,100]内,将所得数据分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值,并估计这200名员工所得分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)和中位数(精确到0.1); (2)现从[70,80),[80,90),[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人,求[70,80)这组中抽取的人数. 17.已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数所在上有两个不同的零点,,求实数的取值范围,并计算的值. 18.如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛与小岛、小岛相距都为,与小岛相距为nmile.为钝角,且. (1)求小岛与小岛之间的距离; (2)求四个小岛所形成的四边形的面积; (3)记为,为,求的值. 19.如图,在四棱锥中,,,,E为棱的中点,平面. (1)求证:平面; (2)求证:平面平面; (3)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值. 数学参考答案 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】A 【解析】由,可得, 所以的图象关于点中心对称, 又由函数为递增函数,可得在单增,所以在上也单调递增, 当时,则,可得,即充分性成立; 反之:因为, 所以,当时,可得,即, 又因为在上为增函数,所以,即,即必要性成立, 所以是“成立的充分必要条件. 故选:A. 2.【答案】A 【解析】, ,, 因为,则, 所以,即; 而,,所以, 所以,即; 综上:. 故选:A. 3.【答案】C 【解析】当时,, 函数在上的图象与函数的图象如图: 由图可知,函数在上的图象与函数的图象有个交点, 又因为f(x)是定义在R上周期为2的偶函数, 因为, 所以函数的图象与函数的图象在上的交点个数为. 故选C. 4.【答案】B 【解析】从的方向看,行走方向有三个:左、前、上. 从到的最近的行走线路,需要向左三次,向前两次,向上三次,共次.所以从到的最近的行走线路,总的方法数有种. 不连续向上攀登的安排方法是:先将向左、向前的安排好,再对向上的方法进行插空.故方法数有:. 所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为. 故选:B 5.【答案】A 【解析】 , ,, ,且, 当时,时,也取得最大值, 此时, , . 故选:A 6.【答案】A 【解析】假设,则, 则, 矛盾,所以. 由已知有, 故,而,故,即. 故选:A. 7.【答案】B 【解析】因为,所以, 整理可得,即有. 又,所以,解得,所以, 于是. 因为三角形是锐角三角形,所以,所以, 所以的取值范围是. 故选B. 8.【答案】B 【解析】对于A,,A错误; 对于B, ,当时取等号,B正确; 对于C,,复数在复平面内对应的点位于第一象限,C错误; 对于D,,, ,, 因此的面积为:,面积的最大值为,D错误. 故选:B. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选项,每选对1个得3分;若只有3个正确选项,每选对1个得2分. 9.【答案】CD 【解析】函数 , 可得,当,时,, 当,时,, 则的最小正周期为,故A错误; 画出在一个周期内的图象, 当或,时,取得最小值,故B错误; 由图可知的图象关于直线对称,故C正确; 当且仅当时,, 的最大值为,可得,故D正确. 故选:CD. 10.【答案】ABD 【解析】A选项,根据大角对大边,, 根据正弦定理可得,其中为三角形外接圆半径, 于是,A选项正确; B选项,根据余弦定理结合选项可知,, 由,进而,B选项正确; C选项,根据正弦定理,,结合选项数据,得出, 故这样的三角形不存在,C选项错误; D选项,若,由正弦定理,, 则,则或者, 即,或者,即是等腰三角形或者直角三角形,D选项正确. 故选ABD. 11.【答案】ACD 【解析】对于A,如图: 在截面ABCD中,, 因为为CD的中点,所以,所以,且, 所以四边形为平行四边形,所以,所以为等边三角形, 所以,, 在等腰中,,正确; 对于B,设圆台上底面半径为,下底面半径为,母线为l,则,,, 则圆台的表面积,错误; 对于C,由B知圆台的高为, 所以圆台的体积,正确; 对于D,将圆台一半侧面展开,如图中ABCD,且E为AD的中点, 而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD,且,, 所以在中,,即C到AD中点的最短距离为5,正确. 故选:ACD. 三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分. 12.【答案】 【解析】因为点在函数的图象上,所以, 故答案为:4. 13.【答案】 【解析】由余弦定理得, 将代入,得,故, 又由正弦定理得,且, 整理得, 因为,所以或(舍去),得, 于是, 因为,则, 所以. 14.【答案】/ 【解析】因为 所以, 则, 即. 因为,所以,且为钝角,. 所以, 故. 所以,又为锐角,所以. 故答案为: 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意, 在中,, ∵, ∴,即, ∴, ∵, ∴,可得,解得:. (2)由题意及(1)得 在中,,,, ∴为边的中点, ∴, ∴,即, 设,,则, 所以,当且仅当时,等号成立. ∴,当且仅当时,等号成立, ∴的面积的最大值为. 16.【答案】(1)平均数为72.5,中位数为72.9; (2)14 【解析】(1)由题意知, 解得. 估计这200名员工所得分数的平均数. [40,70)的频率为, [40,80)的频率为, 所以中位数落在区间[70,80),设中位数为m,所以, 解得,即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9. (2)[70,80)的人数:,[80,90)的人数:, [90,100]的人数:, 所以[70,80)这组中抽取的人数为:. 17.【答案】(1)最小正周期为,单调递增区间为:[,],k∈Z;(2)m∈[,2),tan(x1′+x2′)=. 【解析】函数f(x)=4sin(x)cosx. 化简可得:f(x)=2sinxcosx﹣2cos2x =sin2x(cos2x) =sin2xcos2x =2sin(2x) (1)函数的最小正周期T, 由2x时单调递增, 解得: ∴函数的单调递增区间为:[,],k∈Z. (2)函数g(x)=f(x)﹣m所在[0,]匀上有两个不同的零点x1′,x2′, 转化为函数f(x)与函数y=m有两个交点 令u=2x,∵x∈[0,],∴u∈[,] 可得f(x)=sinu的图象(如图). 从图可知:m在[,2),函数f(x)与函数y=m有两个交点, 其横坐标分别为x1′,x2′. 故得实数m的取值范围是m∈[,2), 由题意可知x1′,x2′是关于对称轴是对称的: 那么函数在[0,]的对称轴x ∴x1′+x2′2 那么:tan(x1′+x2′)=tan 18.【答案】(1)2nmile; (2)18平方海里; (3). 【解析】(1),且A为钝角,, 在中,由余弦定理可得, ,即, 解得:或(舍去). 小岛A与小岛之间的距离为2nmile. (2)四点共圆,与互补,则 . 在中,由余弦定理得:, ,得, 解得(舍去)或. (平方海里), 四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里. (3)方法1:在中,由正弦定理得:,即,解. ,为锐角,则, 又, , . 方法2 在三角形中,;;; 由余弦定理可得:; ; 又, , . 19.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解析】(1)因为且,所以四边形为平行四边形, 则,又平面,平面, 所以平面; (2)由平面,平面,得, 连接,由且, 所以四边形为平行四边形,又, 所以平行四边形为正方形,所以, 又,所以,又平面, 所以平面,由平面, 所以平面平面; (3)由平面,平面,所以, 又,平面, 所以平面,又平面,所以, 故为二面角的平面角,即, 在中,,作,垂足为M, 由(2)知,平面平面,平面平面,平面, 所以平面,则为直线在平面上的投影, 所以为直线与平面所成的角, 在中,,所以, 在中,, 即直线与平面所成角的正弦值为. 第 page number 页,共 number of pages 页 数学试题 第 page number 页(共 number of pages 页) 学科网(北京)股份有限公司 $$