精品解析：河南省郑州市惠济区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024 学年下学期学情调研 八年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 注意：本试卷分试卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 数学有很多寓意美好的线或图，下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 4. 在四边形中，，，延长，，两线相交于点A，已知，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 16 D. 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. x296x(x3)(x3)6x B. 6ab2a3b C. (x5)(x2)x23x10 D. x28x16(x4)2 6. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 数形结合是解决数学问题的常用思想方法；如图，已知一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x分式方程 的增根是，则m的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 9. 已知不等式组的解集为， 则a，b的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当x=____________时，分式的值为零． 12. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为______m． 13. 题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______． 14. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是__________°． 15. 如图，在中，，过点B作直线点D在射线上（点D不与A，B重合），连接，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作，垂足为F，当时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，各顶点的坐标分别为为，，，将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度（点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是）． （1）在网格中画出， 分别写出各顶点的坐标； （2）将绕点C逆时针旋转，请利用无刻度的直尺画出旋转后的． 19. 如图，E，F是的对角线上两点，，与相交于点O． （1）请提出一个数学问题，用到所给条件，且该问题能利用平行四边形的性质与判定或三角形全等的性质与判定解决； （2）请解答上述问题． 20. 临近端午，某超市准备购进甜、咸两种口味的粽子，若购进甜粽子40盒，咸粽子16盒，需要1760元，若购进甜粽子20盒，咸粽子10盒，需要950元． （1）求购进甜、咸两种口味每盒各需多少元？ （2）该超市准备购进这两种口味的粽子共150盒，根据市场调查发现，甜粽销售情况比咸粽好，故该超市准备多购进甜粽，但数量不超过咸粽的2倍，购进两种口味粽子的总金额不超过4760元．根据以上信息，共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 21. 如图1，在中，D，E分别是边上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I．若D是的中点，，则E是的中点； II．若，，则D，E分别是的中点； III．若D是的中点，，则E是的中点． （1）小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题． 他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E，从而直观判断E不一定是的中点． 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边的垂直平分线，交于点M； ②在图2中，以点D为圆心，以的长为半径画弧与边交与点E和； 请你在图2中完成以上作图． （2）小明通过对命题II和命题III思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明． 22. 根据以下素材，探索完成任务1 和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 素材2 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（每杯利润=每杯售价-每杯成本=） 任务2 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 23. 王老师在进行“图形变化”主题教学时，设计了如下版块． 【观察发现】 （1）如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1），点均在格点上（网格线的交点），且点P在线段上，连接，将绕点P顺时针旋转，使点C的对应点D落在线段上，分别作关于直线的对称线段和．则 ①______； ②线段可以看作由线段绕点P顺时针旋转______得到． 深入探究】 （2）如图2、图3，，P为上一点，连接，将绕点P顺时针旋转，使点C的对应点D落在射线上，分别作关于直线的对称线段和.请从图2、图3中任选一种情况，回答下列问题： ①求的度数； ②连接，请判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，当，时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024 学年下学期学情调研 八年级数学 （时间：100分钟，满分：120分） 注意：本试卷分试卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 数学有很多寓意美好的线或图，下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，直线 两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；如果一个图形绕着某点旋转180°后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心． 依据轴对称图形与中心对称的概念逐项判定即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，∴不一定成立，故此选项不符合题意； B、∵，又∵，∴，故此选项符合题意； C、∵，∴，∴，∴不成立，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∴不成立，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 4. 在四边形中，，，延长，，两线相交于点A，已知，，则的长是（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的特征，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半；直角三角形两直角边平方和等于斜边的一半． 先求出，则，，进而得出，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：（负值舍去）， 故选：B． 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. x296x(x3)(x3)6x B. 6ab2a3b C. (x5)(x2)x23x10 D. x28x16(x4)2 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义,把多项式分解为几个整式的积的形式,判断即可. 【详解】A项不符合定义,故错误; B项不符合定义,故错误; C项不符合定义,故错误; D项符合定义,故正确. 【点睛】本题考查因式分解的定义,理解掌握其定义是解答关键. 6. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的判定和性质、等腰三角形性质、三角形内角和，理解垂直平分线的画法，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分线性质可知，得，用三角形内角和求解，则，结果可求． 【详解】解∶根据题意作图可知是线段的垂直平分线， ， ，， ， 故选：B． 7. 数形结合是解决数学问题的常用思想方法；如图，已知一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的综合，以一次函数与一次函数的图象交于点，结合不等式，变形转化为，解集即可确定解答即可．熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 根据图象可得：不等式的解集为， 即的解集为． 故选：C． 8. 已知关于x的分式方程 的增根是，则m的值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，理解增根产生的背景是正确解答的关键． 根据分式方程的增根的意义和产生的背景进行计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 即， 关于的分式方程有增根， ∴满足方程， 所以， 故选：A． 9. 已知不等式组的解集为， 则a，b的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解含参数的一元一次不等式组，涉及一元一次方程的解法，解题的关键是熟练掌握不等式的性质，以及解不等式组的方法和步骤． 先分别求解两个不等式，得出，，结合不等式组的解集，得出，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， 故选：C． 10. 如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ③，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ∴，故③错误； ②由③知：是的中位线， ， ， ，故②正确； ④， ，故④正确； 故正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当x=____________时，分式的值为零． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式为0的条件列出方程组,即可解答． 【详解】解：由题意得： 解得x=-1 故答案为-1． 【点睛】本题考查了分式为零的条件，即分式为零的条件为分子为零，分母不为零． 12. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为______m． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的应用，关键是由三角形中位线定理得到． 由三角形中位线定理得到，而米，即可求解． 【详解】解：、分别是、中点， 是的中位线， ， 米， 米， 、两点间的距离为32米． 故答案为：32． 13. 题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______． 【答案】甲每小时比乙数少做6个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙每小时做个，则甲每小时做个，根据甲乙的工作时间相同，可列方程． 【详解】解：根据方程可得设乙每小时做个，甲每小时做个， ∴被墨迹弄污的条件应是甲每小时比乙数少做6个， 故答案为：甲每小时比乙数少做6个． 14. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是__________°． 【答案】60 【解析】 【详解】本题考查了旋转性质的运用.由旋转角∠AOC=40°，∠AOD=90°，可推出∠COD的度数，再根据点C恰好在AB上，OA=OC，∠AOC=40°，计算∠A，利用内角和定理求∠B，根据对应关系可知∠D=∠B． 解：由旋转的性质可知，∠AOC=40°，而∠AOD=90°， ∴∠COD=90°-∠AOC=50° 又∵点C恰好在AB上，OA=OC，∠AOC=40°， ∴∠A==70°， 由旋转的性质可知，∠OCD=∠A=70° 在△OCD中，∠D=180°-∠OCD-∠COD=60°． 15. 如图，在中，，过点B作直线点D在射线上（点D不与A，B重合），连接，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作，垂足为F，当时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，勾股定理，能根据所给运动方式得出点的运动轨迹，并对点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键． 可证明，得到，故，则点在与夹角为的直线上运动，当点在上方时，，而是等腰直角三角形，由勾股定理得，由得，在中，由勾股定理得，故；当点在下方时，同理可得，故． 【详解】解：连接， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ， ， 则点在与夹角为的直线上运动． 当点在上方时， ，， ． ∵，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得： 又， ． 在中， ， ． 当点在下方时， 同理可得，， ， ． ． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）；（2），它的所有整数解是1，2． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解答本题的关键． （1）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先求出不等式组的解集，再找出其中的整数即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 则它的所有整数解是1，2． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，方程移项变形．根据题意先计算括号内的，再计算除法，后因式分解约分即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，即：， ∴原式． 18. 如图，各顶点的坐标分别为为，，，将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度（点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是）． （1）在网格中画出， 分别写出各顶点的坐标； （2）将绕点C逆时针旋转，请利用无刻度的直尺画出旋转后的． 【答案】（1）图见解析，； （2）如图所示． 【解析】 【分析】本题考查的是作图-平移变换、旋转变换， （1）先画出对应点，再根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求： 【小问2详解】 如图所示，即为所求： 19. 如图，E，F是对角线上两点，，与相交于点O． （1）请提出一个数学问题，用到所给条件，且该问题能利用平行四边形的性质与判定或三角形全等的性质与判定解决； （2）请解答上述问题． 【答案】（1）求证：（答案不唯一） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据条件，提出问题，如求证：即可． （2）根据平行四边形的性质，得到，，从而可得到，然后利用可得出结论． 【小问1详解】 解：问题：求证：（答案不唯一）． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． 20. 临近端午，某超市准备购进甜、咸两种口味的粽子，若购进甜粽子40盒，咸粽子16盒，需要1760元，若购进甜粽子20盒，咸粽子10盒，需要950元． （1）求购进甜、咸两种口味每盒各需多少元？ （2）该超市准备购进这两种口味的粽子共150盒，根据市场调查发现，甜粽销售情况比咸粽好，故该超市准备多购进甜粽，但数量不超过咸粽的2倍，购进两种口味粽子的总金额不超过4760元．根据以上信息，共有哪些进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】（1）甜粽子和咸粽子每个进价各为30元、35元； （2）共有3种进货方案，方案1：购进甜粽子98盒，咸粽子52盒；方案2：购进甜粽子99盒，咸粽子51盒；方案3：购进甜粽子100盒，咸粽子50盒；方案3：购进购进甜粽子100盒，咸粽子50盒费用最低，最低费用为4750元． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元，若购进甜粽子40盒，咸粽子16盒，需要1760元，若购进甜粽子20盒，咸粽子10盒，需要950元．据此列方程组并解方程组即可； （2）设购进甜粽子m盒，则购进咸粽子盒，甜粽的数量不超过咸粽的2倍，购进两种口味粽子的总金额不超过4760元．据此列不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 设甜粽子和咸粽子每个进价各为x元、y元， 根据题意得：， 解得： 答：甜粽子和咸粽子每个进价各为30元、35元； 【小问2详解】 设购进甜粽子m盒，则购进咸粽子盒， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以取98、99、100， ∴共有3种进货方案， 方案1：购进甜粽子98盒，咸粽子52盒； 方案2：购进甜粽子99盒，咸粽子51盒； 方案3：购进甜粽子100盒，咸粽子50盒；； ∵咸粽子进货的单价大于甜粽子进货的单价， ∴方案3：购进购进甜粽子100盒，咸粽子50盒费用最低，最低费用为（元）， 答：商场共有3种进货方案，方案3：购进购进甜粽子100盒，咸粽子50盒费用最低，最低费用为4750元． 21. 如图1，在中，D，E分别是边上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I．若D是的中点，，则E是的中点； II．若，，则D，E分别是的中点； III．若D是的中点，，则E是的中点． （1）小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题． 他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E，从而直观判断E不一定是的中点． 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边的垂直平分线，交于点M； ②在图2中，以点D为圆心，以的长为半径画弧与边交与点E和； 请你在图2中完成以上作图． （2）小明通过对命题II和命题III的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图和几何证明，涉及到垂直平分线的作法、平行四边形的判定与性质等，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据题中说明作图即可； （2）取的中点N，连接，可推出四边形和都是平行四边形，进而推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可证明命题II；延长到点F，使，连接，通过证明可得是平行四边形，即可证明命题III． 小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：命题II证明如下： 取的中点N，连接，如图所示， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴D，E分别是的中点； 命题III证明如下： 延长到点F，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点． 22. 根据以下素材，探索完成任务1 和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 素材2 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（每杯利润=每杯售价-每杯成本=） 任务2 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元；任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，一次函数的应用．解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题和函数解析式． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的售价是元，可得：， 再设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元； 任务2：设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元；根据制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，即可求出答案． 【详解】解：任务1： 设每杯“满杯杨梅”的售价是x元，则每杯“芝士杨梅”的售价是元， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴每杯“满杯杨梅”的售价是17元，每杯“芝士杨梅“的售价是19元； 设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：，解得：， 经检验：是原方程的解， ∴，， 答：每杯“满杯杨梅”的成本是9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元； 任务2： 设制做“芝士杨梅”m杯，“满杯杨梅”n杯，两种奶茶获利为w元； ∵制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ∴， ∴， ∵芝士消耗量不少于， ∴， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取最大值，最大值为（元）， 此时 ∵， ∴制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 23. 王老师在进行“图形的变化”主题教学时，设计了如下版块． 【观察发现】 （1）如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1），点均在格点上（网格线的交点），且点P在线段上，连接，将绕点P顺时针旋转，使点C的对应点D落在线段上，分别作关于直线的对称线段和．则 ①______； ②线段可以看作是由线段绕点P顺时针旋转______得到． 【深入探究】 （2）如图2、图3，，P为上一点，连接，将绕点P顺时针旋转，使点C的对应点D落在射线上，分别作关于直线的对称线段和.请从图2、图3中任选一种情况，回答下列问题： ①求的度数； ②连接，请判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，当，时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①45；②90；（2）①；②，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与勾股定理逆定理，对称的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识： （1）①根据是等腰直角三角形即可得出，故可得出答案；②连接，证明是直角三角形即可得出； （2）选图2：①设，求出，由三角形内角和定理得，由对称得，从而可求出；②证明得，从而可得结论； 选图3：设，得，由得，得，得，可得；②证明得，从而可得结论； （3）由（2）得是等腰直角三角形，为等边三角形，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ②连接，如图， ∴ ∴， ∴是直角三角形，且是斜边， ∴； 故答案为：45；90； （2）选图2： ①由题意，可知， 设，则， ∵， ∴， 由轴对称性质，可知， ∴； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 或选图3： ①由题意，可知， 设，由轴对称的性质，可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； ②，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）由（2），可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 若，则， 即为等边三角形， ∴； 分两种情况讨论： （i）当点D在线段上时，连接，如图1所示， ∵点E，C关于直线对称， ∴，， ∴， 即是等腰直角三角形； 同理，也是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）当点D在线段的延长线上时，连接，如图2所示， 同（i），可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$