2024年中考数学专题训练—二次函数的面积问题

2024年中考数学专题训练— 二次函数的面积问题 1．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于点，，与轴交于点，直线的解析式为，为此抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方的抛物线上一个动点（点与点不重合），连接，，当时，求点的坐标； (3)请直接写出的值； (4)若是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点． (1)若，，． ①求该抛物线解析式； ②抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若中恰有两个点落在抛物线上，求此时点的坐标；（点不与点重合） (2)如图2，点和点在抛物线上，其中在点左侧抛物线上，点在轴右侧抛物线上，直线交轴于点，直线交轴于点，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 3．如图，抛物线交y轴于点 A， 交x轴于B、C两点，．      (1)求a 的值； (2)如图2， 直线 交x轴、y轴于D、E两点， 交线段、 于 F、G 两点， 的面积为S，求S与m的函数关系式，不要求写出自变量 m 的取值范围； (3)如图3， 在（2）的条件下， 轴交抛物线于点P， 连接交于点H， 绕点O把线段 顺时针旋转得到线段 ，M、N为线段 延长线上两点，连接线段、 交于点K， ， ， 连接， 求直线 的解析式． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； 5．如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线上方抛物线上一点D，连接，求的面积最大值以及此时点D的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线交新抛物线于第四象限的点E，连接，当时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 6．综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标并直接写出直线的函数表达式． (2)如图2，点D是第三象限内二次函数图象上的一个动点，过点D作轴于点E，与直线交于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②）如图3，隐去线段与点F，连接，交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． (1)求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； (2)若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点  时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； (3)若x轴上有一点 且  于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当  为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)如图1，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)若点，是抛物线图象上的两点，若，之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值． 9．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 10．如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，交于点，连接． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)当时，求的面积． (3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 11．如图，抛物线交轴于点，点在抛物线上，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在对称轴右侧第四象限部分的抛物线上，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点为第二象限抛物线上一点，连接交轴于点，过点作轴的平行线交射线于点，连接，当时，过点作轴的平行线交于点，点在上，且，连接，若，求点的坐标． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 13．如图1，抛物线经过点，，矩形的点A，D在x轴上，B，C在抛物线上，． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点B，C的坐标； (3)如图2，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交折线，，于M，N，H，当直线m到达点E时，停止运动，连接，，设运动时间为t秒，的面积记为y，请用t表示y，写出t的相应的取值范围，并求y的最大值． 14．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过两点，且与轴交于另一点，点为线段上的一个动点，过点作直线平行于轴交于点，交二次函数的图象于点． (1)求一次函数及二次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当以点为顶点的三角形与相似时，求线段的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$