精品解析：湖南省怀化市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

怀化市2024年上学期期末七年级教学质量抽测试卷数学 温馨提示： （1）本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分，附加题10分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 市教育部门高度重视学生安全教育，要求各级各类学校认真落实“1530”学生安全教育模式．下列安全图不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. 3a2•2a3＝6a5 B. （﹣a2）3＝a6 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. x2+x2＝x4 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项逐一计算可得． 【详解】解：A.，此选项正确； B.，此选项错误； C. ，此选项错误； D. ，此选项错误． 故选A． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解的定义：将一个多项式化成几个整式积的形式，一一进行判断即可． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A. ①×2﹣② B. ②×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+② D. ①﹣②×3 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项分别计算，即可解答． 【详解】方程组利用加减消元法变形即可． 解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意； B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意； C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意； D、①﹣②×3无法消元，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元． 5. 实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长对上周本班7个小组合作学习的得分情况进行了统计，得到以下评分结果：90,96,89,90,91,85,90，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 89,90 B. 90,90 C. 88,95 D. 90,95 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可． 【详解】把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96， 中间的数是90，则中位数是90； 90出现了3次，出现的次数最多，则众数是90； 故选B． 【点睛】考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 6. 下列说法中正确的是（　　） A. 旋转一定会改变图形的形状和大小 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 相等的角是对顶角 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质、对顶角的概念、垂线和平行线的性质进行判断即可得． 【详解】解：A、旋转一定不会改变图形的形状和大小，选项说法错误，不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，选项说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，选项说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、对顶角的概念、垂线和平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 7. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（），且顶点分别落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，进而由平行线的性质可得，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴， 故选：． 8. 九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱， 依题意，得． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 10. 如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 9.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，则，从而可得，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据轴对称的性质可得点在边上，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵平分， ∴点在边上， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 则此时，即， 解得， 即的最小值是， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11. 多项式的公因式是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，多项式的公因式为， 故答案为：． 12. 已知方程2x+y=10，用含x的代数式表示y，则y=_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据2x+y=10，可以用含x的代数式表示出y，本题得以解决． 【详解】∵2x+y=10， ∴y=10−2x， 故答案为10−2x. 【点睛】考查解二元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键. 13. 已知一组数据：3，3，4，5，5，则它的方差为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式先算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：（3+3+4+5+5）÷5=4， 则这组数据的方差为：[（3-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（5-4）2]=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 14. 已知，，则的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】将 变形为，代入即可求得． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查完全平方差公式，掌握完全平方差公式的特点是解决本题的关键． 15. 如图，直线相交于点O，，垂足是点O，，则_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查对顶角和垂线的定义，根据对顶角求出，再根据垂线得到，即可求得答案． 【详解】解：∵直线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有___种． 【答案】3 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示，新图形是一个轴对称图形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查设计轴对称图案，熟练掌握轴对称图形的性质是解答的关键． 17. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，若，则_____． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，，从而可得，再结合求解即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：72． 18. 如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号）______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据题意列方程得到，故③正确；设，，得到根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】解：，， ， ，故①正确； ， ， ， 平分；故②正确； 的余角比大， ， ， ， ，故③正确； 设，， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ，故④错误， 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程组： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二一次方程组、因式分解，解答本题的关键是掌握因式分解的方法和会用代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法可以解答此方程组； （2）用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①，得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， 原方程组的解是； （2）解：， ， ． 20. 探究：如图，直线两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段上，过点D作交于点E，过点E作交于点F．若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式） 解：， __________（ ） ， ________．（ ） ．（ ） ， __________． 【答案】 ；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决本题的关键．依据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等，即可求解． 【详解】略 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用完全平方公式及平方差公式将整式化简，然后代入求值即可得． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式， ， ． 【点睛】题目主要考查整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运用完全平方公式及平方差公式是解题关键． 22. 如图，已知三角形ABC和直线MN，且三角形ABC的顶点在网格的交点上 （1）画出三角形ABC向上平移4小格后的三角形A1B1C1； （2）画出三角形ABC关于直线MN成轴对称的三角形A2B2C2； （3）画出三角形ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后的三角形A3BC3． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； （3）分别作出A，B，C的对应点A3，B，C3即可． 【详解】解：（1）三角形A1B1C1如图所示； （2）三角形A2B2C2如图所示； （3）三角形A3BC3如图所示． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练是掌握图形变换的步骤和规则． 23. 在济宁市开展的“运河之都，创卫我同行”活动中，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示： 劳动时间（时） 人数 占整体的百分比 12 1 30 x 2 18 y 合计 m （1）统计表中的_______，_______； （2）被调查同学劳动时间的中位数是________时； （3）请将条形统计图补充完整； （4）求所有被调查同学的平均劳动时间． 【答案】（1）40；18% （2）1.5 （3）补充条形统计图见解析 （4）1.32时 【解析】 【分析】（1）用劳动时间为0.5时的人数除以其占整体的百分比求出总人数，再减去劳动时间为0.5时，1时和2时的人数即可求出x；用100%减去劳动时间为0.5时，1时和1.5时的人数占整体的百分比即可求出y． （2）根据中位数的定义求解即可． （3）根据（1）中结果补充条形统计图即可． （4）根据平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：12÷12%=100人． 100-12-30-18=40人． 100%-12%-30%-40%=18%． 故答案为：40；18%． 【小问2详解】 解：把所有被调查同学的劳动时间从小到大排列后，排在第50位和第51位的数分别是1.5和1.5． 所以中位数是． 故答案为：1.5． 【小问3详解】 解：补充条形统计图如下． 【小问4详解】 解：时． 答：所有被调查同学的平均劳动时间是1.32时． 【点睛】本题考查统计表，求中位数，画条形统计图，求平均数，熟练掌握这些知识点是解题关键． 24. 天气逐渐炎热，某商场又迎来了空调的售卖旺季，某商场购进A，B两种型号的空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元．5月份该商场购进5台A型空调和7台B型空调共43000元，6月份购进7台A型空调和5台B型空调共41000元． （1）求m，n的值； （2）7月份该商场计划花费54000元购进这两种型号空调（两种型号都要有），试问有哪几种进货方案？ 【答案】（1）m的值为3000，n的值为4000 （2）有4种进货方案，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进x台A型空调，y台B型空调，根据题意列出二元一次方程，然后根据x，y均为正整数分情况求解即可． 【小问1详解】 依题意得： 解得： 答：m的值为3000，n的值为4000； 【小问2详解】 设购进x台A型空调，y台B型空调， 依题意得：， ． x，y均为正整数， 或或或 共有4种进货方案， 方案1：购进A型空调14台，B型空调3台； 方案2：购进A型空调10台，B型空调6台； 方案3：购进A型空调6台，B型空调9台 方案4：购进A型空调2台，B型空调12台． 25. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“A”还原，得：原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：________ （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （3）将原式转化为，进一步整理为，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【小问1详解】 ， 故答案为：； 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， 得：原式 为正整数，也为正整数 ∴代数式的值一定是某一个整数的平方． 26. 已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． （1）如图1，求证：． （2）如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图1，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，过点P作，则，由，可得，则，由，可得； （2）设，，则，，，，由，可得，由，可得，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，，，由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，，则，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意知，，，，， 由题意知，分①当点S在下方，②当点S在上方两种情况求解； ①当点S在下方时，如图2， ∵， ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 如图2，过点K作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点S在上方时，如图3， 同理①可得： 过点K作，则：． ∴， ∴； 综上所述，或． 四、附加题（本小题10分） 27. “怀化国际陆港”让怀化和世界更紧密，怀化国际陆港现已开拓了北部湾铁路联运、中老铁路、中越铁路、中缅铁路等4条国际物流大通道，为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：______； （2）如图2，若灯B射线先转动29秒，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒（），当时，求t的值． （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，动点问题，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）设灯A转动t秒（），则灯B转动秒，由题意得：，，根据平行线的性质，推出，进而列方程，求出t的值即可； （3）设灯射线转动时间为t秒，由题意得：，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，从而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设灯A转动t秒（），则灯B转动秒， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 即当时，求t的值为； 【小问3详解】 解：和关系不会变化，理由如下： 设灯射线转动时间为t秒， 由题意得：，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 和关系不会变化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀化市2024年上学期期末七年级教学质量抽测试卷数学 温馨提示： （1）本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分，附加题10分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 市教育部门高度重视学生安全教育，要求各级各类学校认真落实“1530”学生安全教育模式．下列安全图不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. 3a2•2a3＝6a5 B. （﹣a2）3＝a6 C. （a﹣b）2＝a2﹣b2 D. x2+x2＝x4 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A. ①×2﹣② B. ②×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+② D. ①﹣②×3 5. 实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，值周班长对上周本班7个小组合作学习的得分情况进行了统计，得到以下评分结果：90,96,89,90,91,85,90，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 89,90 B. 90,90 C. 88,95 D. 90,95 6. 下列说法中正确的是（　　） A. 旋转一定会改变图形的形状和大小 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 相等的角是对顶角 7. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（），且顶点分别落在直线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 9. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 4.8 D. 9.6 二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11. 多项式的公因式是_______． 12. 已知方程2x+y=10，用含x的代数式表示y，则y=_____________． 13. 已知一组数据：3，3，4，5，5，则它的方差为________． 14. 已知，，则的值为________． 15. 如图，直线相交于点O，，垂足是点O，，则_____． 16. 在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有___种． 17. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，若，则_____． 18. 如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号）______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程组： （2）因式分解： 20. 探究：如图，直线两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段上，过点D作交于点E，过点E作交于点F．若，求的度数． 请将下面的解答过程补充完整，并填空（理由或数学式） 解：， __________（ ） ， ________．（ ） ．（ ） ， __________． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，已知三角形ABC和直线MN，且三角形ABC的顶点在网格的交点上 （1）画出三角形ABC向上平移4小格后的三角形A1B1C1； （2）画出三角形ABC关于直线MN成轴对称的三角形A2B2C2； （3）画出三角形ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后的三角形A3BC3． 23. 在济宁市开展的“运河之都，创卫我同行”活动中，某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示： 劳动时间（时） 人数 占整体的百分比 12 1 30 x 2 18 y 合计 m （1）统计表中的_______，_______； （2）被调查同学劳动时间的中位数是________时； （3）请将条形统计图补充完整； （4）求所有被调查同学的平均劳动时间． 24. 天气逐渐炎热，某商场又迎来了空调的售卖旺季，某商场购进A，B两种型号的空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元．5月份该商场购进5台A型空调和7台B型空调共43000元，6月份购进7台A型空调和5台B型空调共41000元． （1）求m，n的值； （2）7月份该商场计划花费54000元购进这两种型号空调（两种型号都要有），试问有哪几种进货方案？ 25. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“A”还原，得：原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：________ （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则的值一定是某一个整数的平方． 26. 已知：直线与直线平行，点N、点E在直线上，点H、点M在直线上，，直线交直线于点P． （1）如图1，求证：． （2）如图2，以点N为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点G，以点M为旋转中心顺时针旋转直线交直线于点F，，当时，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，直线交直线于点R，直线交直线于点S，的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点K，若，当点N在线段上移动时，求的度数． 四、附加题（本小题10分） 27. “怀化国际陆港”让怀化和世界更紧密，怀化国际陆港现已开拓了北部湾铁路联运、中老铁路、中越铁路、中缅铁路等4条国际物流大通道，为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：______； （2）如图2，若灯B射线先转动29秒，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒（），当时，求t的值． （3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $