精品解析：广西桂林市逸仙中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学段考试题 一、单选题 1. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ） A. 1.5尺 B. 3.5尺 C. 5.5尺 D. 7.5尺 5. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，左、右焦点分别在，，点在椭圆上，且垂直于轴，直线交轴于点，与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列，中，，则（ ） A. 数列的前4项和为 B. 的前100项和为100 C. 的前项和 D. 数列仍为等比数列 10. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 11. 已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 三、填空题 12. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 13. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是__________. 14. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，是的等比中项，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和为． 16. 已知函数在处有极值. （1）求、的值； （2）求出的单调区间，并求极值. 17. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，. （1）求证：； （2）已知，，，是线段上一点，当时，求二面角的余弦值. 18. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知椭圆E：过点，且焦距为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学段考试题 一、单选题 1. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，将焦半径转化为点到准线的距离即得. 【详解】由可得：，则抛物线的准线方程为：直线，又，则. 故选：D. 2. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知处的切线斜率为2，应用导数几何意义列方程求点的横坐标则P点可求. 【详解】由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而， 所以，则，即，故点的坐标为或. 故选：C. 3. 已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ） A. 1.5尺 B. 3.5尺 C. 5.5尺 D. 7.5尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项公式及前项和得到方程组，求出，，再求出即可. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、 芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以小满日影长为（尺）． 故选：B 5. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域. 【详解】由题意得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，故， 因为，所以． 故所求的值域为． 故选：A 6. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 故选：A. 7. 已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答. 【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 8. 已知椭圆，左、右焦点分别在，，点在椭圆上，且垂直于轴，直线交轴于点，与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，由轴，求得，利用已知结合中点坐标公式可知，代入椭圆方程可得，结合，可求得，进而求得离心率. 【详解】如图，由题意得 因为轴，且为的中点， 又，为中点，由中点坐标公式可知 将代入椭圆方程可得，即 又，可求得， 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 二、多选题 9. 已知数列，中，，则（ ） A. 数列的前4项和为 B. 的前100项和为100 C. 的前项和 D. 数列仍为等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，逐项计算，可判定A正确；由，进而求得数列的前100项和，可判定B正确；结合裂项法求和，可判定C正确；根据等比数列的定义，可得判定D不正确. 【详解】由数列，中，， 对于A中，可得，可得数列前4项的和为： ，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则数列的前100项和为： ，所以B正确； 对于C中，由， 则的前项和，所以C正确； 对于D中，由，则， 所以数列不是等比数列，所以D不正确. 故选：ABC. 10. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD 11. 已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】先构造函数，依题意用导数判断单调性即可逐项求解. 【详解】设，则， 据题意，故是一个定义在上的增函数， 则，即， 化简得，，故A，B正确； 又，即，化简得，故C正确； 由于， 当时，，解得，故D不正确， 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：关键是根据常用函数的导数和导数的四则运算特征反向构造函数，注意. 三、填空题 12. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 【答案】448 【解析】 【分析】由题可得展开式通项，令的指数为0，可得常数项为第几项，即可得答案. 【详解】展开式的通项为， 令，解得，故常数项为． 故答案为：448. 13. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助正态分布的性质与二项分布的性质计算即可得. 【详解】由，服从正态分布 故， 则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生， 至少有2名学生的成绩低于80分的概率为： . 故答案为：. 14. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，是的等比中项，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）由（1）求出，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 设正项等差数列的公差为， 因为是的等比中项，所以，即， 又，即，即， 解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以， 所以． 16. 已知函数在处有极值. （1）求、的值； （2）求出的单调区间，并求极值. 【答案】（1）， （2） 极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，即可解得实数、的值； （2）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间，由此可得出函数的极值. 【小问1详解】 解：因为，该函数的定义域为，， 则，解得，此时，， 经检验，，合乎题意. 因此，，. 【小问2详解】 解：因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的递减区间为，递增区间为， 函数的极小值为，无极大值. 17. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，. （1）求证：； （2）已知，，，是线段上一点，当时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接、， 由，，故、， 又、平面，， 则平面，又平面，故； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得； （2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由侧面底面，且，平面， 平面平面，故平面， 又平面，故， 即有、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 由，，，，， 则，， 即、、、、， 、、， 令，则， 由，故，解得， 故， 令平面的法向量为， 则有，令，则有， 由轴平面，故平面的法向量可为， 则， 故二面角的余弦值为. 【点睛】 18. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析 （2）的分布列如下： 0 1 2 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）先利用分层抽样得到，，和的抽取人数，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （3）设出事件，结合全概率公式得到答案. 【小问1详解】 列联表如下： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 故， 故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； 【小问2详解】 每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的可能取值为0，1，此时的取值为0，1，2，故的可能取值为0，1，2， 其中包含两种情况，即和，故， 包含三种情况，，和，故， 包含1种情况，即，故， 故的分布列如下： 0 1 2 则数学期望为； 【小问3详解】 记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件， 则，，， 小李晚餐选择低卡甜品为事件，则，，， 故， 故小李晚餐选择低卡甜品的概率为. 19. 已知椭圆E：过点，且焦距为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①设：，，，则：， 联立，故，，， 故，由代替m，得， 当，即时，：，过点. 当，即时，，：， 令，，直线MN恒过点. 当，经验证直线MN过点. 综上，直线MN恒过点. ② 【解析】 【分析】（1）根据题意有，，即可求解； （2）①设直线：的方程，联立与椭圆方程消元后，利用韦达定理可求得点的坐标，继而可得点坐标，考虑直线斜率情况，得到其方程，即可求解；②根据，表示出的面积后，换元法转化函数，利用单调性即可求得最大值. 【小问1详解】 依题意有，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②， 令，， ∵在上单调递减， ∴，当且仅当，时取等号. 故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $