8.8直线与椭圆的位置关系讲义-2025届高三数学一轮复习

第八节　直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 1.判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数,2个时相交,1个时相切,0个时相离. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点. 2．弦长公式 (1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线与椭圆的位置关系 对数函数的图象及应用 【例1】（1）已知椭圆C：＋＝1，直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），则直线l与椭圆C的位置关系为（　　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1有公共点，则实数m的取值范围是（　　） A.[－2，2] B.[－3，3] C.（－∞，－2]∪[2，＋∞） D.（－∞，－3]∪[3，＋∞） 方法技巧 1.研究直线与椭圆位置关系的方法 （1）研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题； （2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 2.利用判别式判断直线与椭圆的位置关系的步骤 提醒　对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0，故一定为一元二次方程. 跟踪训练 1.“a＝1”是“直线y＝x＋a与椭圆C：＋＝1有公共点”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知点P（x，y）是椭圆＋＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为（　　） A.　 B. C.5＋　 D.5－ 考点2 弦长问题 对数函数的图象及应用 【例2】在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率e＝. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点.若｜AB｜＝，求直线l的方程. 方法技巧 1.弦长的求解方法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦中点M（x0，y0），则：①弦长l＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜；②直线AB的斜率kAB＝－. 2.注意两种特殊情况：（1）直线与椭圆的对称轴平行或垂直；（2）直线过椭圆的焦点. 跟踪训练 　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点（0，1）且长轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长｜AB｜. 考点3 中点弦问题 对数函数的图象及应用 【例3】　已知椭圆＋y2＝1. （1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点的轨迹方程； （2）求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程. 方法技巧 中点弦问题常用的求解方法 （1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； （2）根与系数的关系：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 跟踪训练 （1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是2x－y＋9＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），试求椭圆的离心率； （2）已知斜率为－且不经过坐标原点O的直线与椭圆＋＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，试求直线OM的斜率. 直线与椭圆的位置关系 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.无法确定 2.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝（　　） A.　 B. C.2　 D.3 3.如图，椭圆＋y2＝1（a＞1）与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为（　　） A.　 B.2 C.1　 D.2 4.已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 5.在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，则点P的坐标为（　　） A.（，－）　 B.（－，） C.（0，1）　 D.（1，0） 6.（多选）已知椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x＋y－3＝0 C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，） D.若直线方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ 7.已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，则△ABF2的面积为　 　. 8.已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且｜MN｜＝，则k＝　 　. 9.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝　 　. 10.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 综合应用 B 巩固 11.过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆＋＝1中，过点M（4，0）的所有“好弦”的长度之和为（　　） A.120　 B.130 C.240　 D.260 12.（多选）设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则（　　） A.｜AF｜＋｜BF｜为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF的面积为 13.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程. 14.已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长是　 　，△F1AB内切圆面积的最大值是　 　. 15.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”. （1）求椭圆C2的方程； （2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八节　直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 1.判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数,2个时相交,1个时相切,0个时相离. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点. 2．弦长公式 (1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线与椭圆的位置关系 对数函数的图象及应用 【例1】（1）已知椭圆C：＋＝1，直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），则直线l与椭圆C的位置关系为（　　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1有公共点，则实数m的取值范围是（　　） A.[－2，2] B.[－3，3] C.（－∞，－2]∪[2，＋∞） D.（－∞，－3]∪[3，＋∞） 答案：（1）A　（2）B 解析：（1）对直线l：（m＋2）x－（m＋4）y＋2－m＝0（m∈R），整理得m（x－y－1）＋2（x－2y＋1）＝0，令解得故直线l过定点A（3，2）.因为＋＝＜1，则点A（3，2）在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选A. （2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得消去y得9x2＋10mx＋5m2－20＝0，①.因为直线l与椭圆C有公共点，所以方程①有实数根，则Δ＝（10m）2－36（5m2－20）≥0，得－3≤m≤3.故选B. 方法技巧 1.研究直线与椭圆位置关系的方法 （1）研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题； （2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 2.利用判别式判断直线与椭圆的位置关系的步骤 提醒　对于椭圆方程，在第二步中得到的方程的二次项系数一定不为0，故一定为一元二次方程. 跟踪训练 1.“a＝1”是“直线y＝x＋a与椭圆C：＋＝1有公共点”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由a＝1，得直线y＝x＋1过点（0，1）.又点（0，1）在椭圆C：＋＝1内部，故a＝1⇒直线y＝x＋a与椭圆C：＋＝1有公共点，而直线y＝x＋a与椭圆C：＋＝1有公共点不一定有a＝1.所以“a＝1”是“直线y＝x＋a与椭圆C：＋＝1有公共点”的充分不必要条件.故选A. 2.已知点P（x，y）是椭圆＋＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为（　　） A.　 B. C.5＋　 D.5－ 解析：A　设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－，∴所求最大距离为d＝＝.故选A. 考点2 弦长问题 对数函数的图象及应用 【例2】　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率e＝. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点.若｜AB｜＝，求直线l的方程. 解：（1）∵e2＝＝＝， ∴a2＝4b2. 又椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点P（2，1）， ∴＋＝1， ∴a2＝8，b2＝2. 故所求椭圆方程为＋＝1. （2）设l的方程为y＝x＋m，点A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0， 解得｜m｜＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. 则｜AB｜＝× ＝＝，解得m＝±. 故所求直线l的方程为y＝x±. 方法技巧 1.弦长的求解方法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦中点M（x0，y0），则：①弦长l＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜；②直线AB的斜率kAB＝－. 2.注意两种特殊情况：（1）直线与椭圆的对称轴平行或垂直；（2）直线过椭圆的焦点. 跟踪训练 　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点（0，1）且长轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长｜AB｜. 解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 因为椭圆C经过点（0，1）且长轴长为2， 所以a＝，b＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. （2）因为直线l过点M（1，0）且斜率为1， 所以直线l的方程为y＝x－1. 设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝x－1代入＋y2＝1，得＋（x－1）2＝1， 整理得3x2－4x＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以｜AB｜＝·＝×＝. 考点3 中点弦问题 对数函数的图象及应用 【例3】　已知椭圆＋y2＝1. （1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点的轨迹方程； （2）求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程. 解：（1）设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），其中点是Q（x，y）， 则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y， 由于点M，N在椭圆上，则有 ②－①得＝－＝－， 所以－＝， 化简得x2－2x＋2y2－2y＝0（包含在椭圆＋y2＝1内部的部分）. （2）由中点弦公式得k＝－＝－， 因此所求直线方程是y－＝－， 化简得2x＋4y－3＝0. 方法技巧 中点弦问题常用的求解方法 （1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； （2）根与系数的关系：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 跟踪训练 （1）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是2x－y＋9＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），试求椭圆的离心率； （2）已知斜率为－且不经过坐标原点O的直线与椭圆＋＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，试求直线OM的斜率. 解：（1）设直线2x－y＋9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦的中点坐标是M（－4，1）， 则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2， 直线AB的斜率k＝＝2. 由两式相减得＋＝0， ∴＝－×＝2，∴＝， 故椭圆的离心率e＝＝＝. （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 由中点坐标公式可得 ∵两式作差得＋＝0， 即＝－，即·＝kAB＝－， 又kAB＝－，∴kOM＝＝. 　直线与椭圆的位置关系 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.无法确定 解析：C　联立消去y，整理得，5x2－24x＋32＝0，该方程判别式Δ＝（－24）2－4×5×32＝576－640＝－64＜0，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选C. 2.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝（　　） A.　 B. C.2　 D.3 解析：A　由得交点为（0，1），（－，－），则｜AB｜＝＝. 3.如图，椭圆＋y2＝1（a＞1）与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为（　　） A.　 B.2 C.1　 D.2 解析：D　由题意知，F1（－c，0），A（a，0），B（0，1），则点P（－c，），所以直线BA的斜率kBA＝－，直线PO的斜率kPO＝＝－.由BA∥PO，得kBA＝kPO，所以－＝－，则c＝1，所以椭圆的焦距为2c＝2.故选D. 4.已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 解析：C　由题意，F1（－，0），F2（，0），△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3（舍去），故选C. 5.在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，则点P的坐标为（　　） A.（，－）　 B.（－，） C.（0，1）　 D.（1，0） 解析：A　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，∴m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4距l最近，由得即P（，－）. 6.（多选）已知椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x＋y－3＝0 C.若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，） D.若直线方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ 解析：BD　对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M（，），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋（x＋2）2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以｜AB｜＝×＝，所以D项正确. 7.已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，则△ABF2的面积为　　. 解析：由题意知A（0，1），F1（－1，0），F2（1，0），直线AF1的方程为y＝x＋1，联立方程组解得或即B（－，－），所以＝×2×（1＋）＝. 8.已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且｜MN｜＝，则k＝　±1　. 解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y并整理得（1＋2k2）x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由｜MN｜＝，得（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝，所以（1＋k2）（x1－x2）2＝，所以（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝，即（1＋k2）·＝.化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1. 9.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝　－2　. 解析：∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－x－，设A（x1，y1），B（x2，y2），由两式相减得，＝－＝－，由x1＋x2＝2，得y1＋y2＝，则AB中点的纵坐标为，将（1，）代入直线y＝－x－，解得m＝－2. 10.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 解：（1）由消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20（m2－1）≥0，解得－≤m≤， 即实数m的取值范围是［－，］. （2）设所截弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 由（1）可得 所以弦长｜AB｜＝＝×＝×， 因此当m＝0时，弦长最大，此时所求直线的方程为y＝x. 综合应用 B 巩固 11.过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆＋＝1中，过点M（4，0）的所有“好弦”的长度之和为（　　） A.120　 B.130 C.240　 D.260 解析：C　由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝4，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以当x＝4时，最短的弦长为＝＝4，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4，16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋（5＋6＋7＋…＋15）×2＝240. 12.（多选）设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则（　　） A.｜AF｜＋｜BF｜为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m＝时，△ABF为直角三角形 D.当m＝1时，△ABF的面积为 解析：ACD　设椭圆的左焦点为F'，则｜AF'｜＝｜BF｜，∴｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6为定值，A正确；△ABF的周长为｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，∵｜AF｜＋｜BF｜为定值6，且｜AB｜的取值范围是（0，6），∴△ABF的周长的取值范围是（6，12），B错误；设点A在点B的左侧，将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F（，0），∴·＝×＋＝0.∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A（－，1），B（，1），∴S△ABF＝×2×1＝，D正确.故选A、C、D. 13.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程. 解：（1）由题意，可得解得故椭圆C的方程为＋＝1. （2）根据题意可得，点A必在点B的上方，才有｜AM｜＝｜BN｜. 当l的斜率不存在时，｜AM｜＝2－，｜BN｜＝，｜AM｜≠｜BN｜，不符合题意，故l的斜率必定存在. 设l的方程为y＝kx＋2，由得（1＋4k2）x2＋16kx＋8＝0， 则Δ＝（16k）2－32（1＋4k2）＝128k2－32＞0，即k2＞. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 设N（x0，y0），则x0＝＝－. 由｜AM｜＝｜BN｜可得，｜AB｜＝｜MN｜， ∴｜x1－x2｜＝｜x0－0｜， 则＝｜x0｜， 即＝｜－｜， 整理得k2＝＞，故k＝±， ∴直线l的方程为y＝±x＋2. 14.已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，则△F1AB的周长是　4　，△F1AB内切圆面积的最大值是　　. 解析：根据椭圆定义可知△F1AB的周长C＝4a＝4；在△F1AB内，S＝Cr＝2r，问题转化为求△F1AB面积最大值，设AB：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），则（m2＋2）y2＋2my－1＝0⇒于是S＝｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝＝＝≤＝，则2r≤⇒r≤⇒πr2≤，等号在m＝0时取到. 15.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”. （1）求椭圆C2的方程； （2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2. 解：（1）椭圆C1：＋＝1的离心率为e＝＝＝， 设椭圆C2的方程为＋＝1（a'＞b'＞0），且b'＝， 因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以e＝＝，解得a'2＝12， 所以椭圆C2的方程为＋＝1. （2）证明：不妨设P（m，n），其中n＞0，则＋＝1，可得m2＝6－， 把x＝m代入椭圆C1：＋＝1，可得y＝，所以H（m，）， 所以＝，＝， 所以·＝×＝＝－＝－＝－1. 所以A1H⊥PA 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$