8.7抛物线讲义-2025届高三数学一轮复习

第七节　抛物线 课程目标 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.了解抛物线的简单应用. 基础知识 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内； （2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离　　　　； （3）定点　　　　定直线上. 提醒　定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） 图形 顶点 O（0，0） 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中P（x0，y0）） ｜PF｜＝　　 ｜PF｜＝　　 ｜PF｜＝　　 ｜PF｜＝　　 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.（　　） （2）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.（　　） （3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（　　） （4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.（　　） 2.抛物线y＝2x2的准线方程为（　　） A.y＝－　　　　　　 B.y＝－ C.y＝－　 D.y＝－1 3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是　　　　. 4.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为　　　　. 常用结论 与抛物线焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A（x1，y1），B（x2，y2）.则有 （1）y1y2＝－p2，x1x2＝； （2）焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； （3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2p； （4）焦半径：｜AF｜＝，｜BF｜＝，＋＝； （5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 结论应用 1.如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜＝4，则线段AB的长为（　　） A.5　　　　　　　 B.6 C.　 D. 2.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角α＝　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 抛物线的定义及应用 对数函数的图象及应用 考向1　求轨迹方程 【例1】　动圆过点（1，0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为　　　　. 方法技巧 求轨迹问题的两种方法 （1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程； （2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 考向2　最值问题 【例2】　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为　　　　. 方法技巧 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决. 跟踪训练 1.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（　　） A.x＋4＝0　 B.x－4＝0 C.y2＝8x　 D.y2＝16x 2.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则弦AB的中点到x轴的最短距离为　　　　. 考点2 抛物线的标准方程与几何性质 对数函数的图象及应用 【例3】　（1）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径的圆交y轴于C，D两点，且｜CD｜＝3，则抛物线方程为（　　） A.y2＝2x　 B.y2＝2x C.y2＝4x　 D.y2＝6x （2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　　　　. 方法技巧 1.求抛物线标准方程的方法 （1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可； （2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论. 2.抛物线性质的应用技巧 （1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； （2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算. 跟踪训练 1.已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（　　） A.2　 B.3 C.6　 D.9 2.已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　　　. 考点3 直线与抛物线的位置关系 对数函数的图象及应用 【例4】（多选）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A.p＝2 B.｜MN｜＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 方法技巧 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 （1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到判别式来判断； （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p（焦点在x轴正半轴）；若不过焦点，则必须用一般弦长公式； （3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用. 跟踪训练 1.已知A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M（－1，2），若＝，则直线AB的方程为（　　） A.x－2y＋3＝0　 B.x＋2y－3＝0 C.2x－y＋3＝0　 D.2x＋y－3＝0 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，过点F'（0，－2）的直线l与抛物线Γ交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（其中0＜x1＜x2），连接BF并延长交抛物线Γ于点C，记直线l的斜率为k，直线CF'的斜率为k'，则k＋k'＝　　　　. 第七节　抛物线 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上一点，若｜PF｜＝5，则点P到y轴的距离为（　　） A.4　 B.3 C.2　 D.1 2.顶点在原点，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程为（　　） A.y2＝x B.x2＝y C.y2＝－x或x2＝y D.y2＝x或x2＝－y 3.已知面积为的等边△OAB（O为坐标原点）的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则p＝（　　） A.　 B. C.　 D.2 4.已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　） A.y2＝4x　 B.y2＝－4x C.y2＝8x　 D.y2＝－8x 5.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为（　　） A.2 m　 B.4 m C.4 m　 D.12 m 6.（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若M（m，2）是线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.p＝4 B.抛物线方程为y2＝16x C.直线l的方程为y＝2x－4 D.｜AB｜＝10 7.已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为　 　. 8.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A（－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标为　 　. 9.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在双曲线C：－＝1的一条渐近线上，O为坐标原点，若｜OF｜＝｜PF｜，则△PFO的面积为　 　. 10.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. （1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值； （2）若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 综合应用 B 巩固 11.设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，｜BF｜＝3，记△BCF与△ACF的面积分别为S△BCF，S△ACF，则＝（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 12.（多选）已知抛物线x2＝y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　） A.点F的坐标为（，0） B.若直线MN过点F，则x1x2＝－ C.若＝λ，则｜MN｜的最小值为 D.若｜MF｜＋｜NF｜＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 13.过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，｜AF｜＝2. （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C上存在点M（－2，y0），使得MA⊥MB，求直线l的方程. 14.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N.则的最大值为　 　. 15.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且｜AF｜＝3. （1）求抛物线E的方程； （2）已知点G（－1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七节　抛物线 课程目标 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.了解抛物线的简单应用. 基础知识 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内； （2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离　相等　； （3）定点　不在　定直线上. 提醒　定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） 图形 顶点 O（0，0） 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝　－　 x＝　　 y＝　－　 y＝　　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径（其中P（x0，y0）） ｜PF｜＝x0＋　 ｜PF｜＝－x0＋　 ｜PF｜＝y0＋ ｜PF｜＝－y0＋ 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.（　×　） （2）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）.（　×　） （3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（　×　） （4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.（　×　） 2.抛物线y＝2x2的准线方程为（　　） A.y＝－　　　　　　 B.y＝－ C.y＝－　 D.y＝－1 解析：A　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－. 3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是　y2＝±4x　. 解析：可知双曲线的焦点为（－，0），（，0）.设抛物线方程为y2＝±2px（p＞0），则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x. 4. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为　2　. 解析：由｜PF｜＝xP＋＝4，可得xP＝3，∴yP＝±2.∴S△POF＝｜OF｜·｜yP｜＝2. 常用结论 与抛物线焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A（x1，y1），B（x2，y2）.则有 （1）y1y2＝－p2，x1x2＝； （2）焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p＝； （3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2p； （4）焦半径：｜AF｜＝，｜BF｜＝，＋＝； （5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 结论应用 1.如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜＝4，则线段AB的长为（　　） A.5　　　 B.6　　　　C.　　　 D. 解析：C　因为｜AF｜＝4，所以点A到准线l距离为4，又F为AC中点，所以焦点F到准线l距离为2，即p＝2.由结论知＋＝，所以｜BF｜＝，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝4＋＝. 2.直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角α＝　或　. 解析：∵p＝6，由结论知｜AB｜＝＝＝16，∴sin2α＝，则sin α＝.∴α＝或. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 抛物线的定义及应用 对数函数的图象及应用 考向1　求轨迹方程 【例1】动圆过点（1，0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为　y2＝4x　. 解析：设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（1，0）的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 方法技巧 求轨迹问题的两种方法 （1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程； （2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. 考向2　最值问题 【例2】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1，1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为　　. 解析：如图，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（－1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝. 方法技巧 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 （1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决. 跟踪训练 1.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（　　） A.x＋4＝0　 B.x－4＝0 C.y2＝8x　 D.y2＝16x 解析：D　依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x.故选D. 2.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则弦AB的中点到x轴的最短距离为　2　. 解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则｜MM1｜＝.因为｜AB｜≤｜AF｜＋｜BF｜（F为抛物线的焦点），即｜AF｜＋｜BF｜≥6，所以｜AA1｜＋｜BB1｜≥6，2｜MM1｜≥6，｜MM1｜≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2. 考点2 抛物线的标准方程与几何性质 对数函数的图象及应用 【例3】（1）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径的圆交y轴于C，D两点，且｜CD｜＝3，则抛物线方程为（　B　） A.y2＝2x　 B.y2＝2x C.y2＝4x　 D.y2＝6x （2）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　x＝－　. 解析：（1）由题意可知通径MN＝2p，所以圆的半径是p，在Rt△COF中，（）2＋（）2＝p2，p＞0，解得p＝，所以抛物线方程为y2＝2x，故选B. （2）法一　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－. 法二　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－. 方法技巧 1.求抛物线标准方程的方法 （1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可； （2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax（a≠0）；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论. 2.抛物线性质的应用技巧 （1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； （2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算. 跟踪训练 1.已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（　　） A.2　 B.3 C.6　 D.9 解析：C　法一　因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A（9，yA），所以＝18p.又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42（舍去）或p＝6.故选C. 法二　根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.故选C. 2.已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　. 解析：∵点A（1，）在抛物线y2＝2px上，∴5＝2p，得p＝，∴点A到准线的距离为xA＋＝1＋＝. 考点3 直线与抛物线的位置关系 对数函数的图象及应用 【例4】（多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A.p＝2 B.｜MN｜＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 解析：AC　由于y2＝2px的焦点为（，0），直线y＝－（x－1）过焦点，所以－（－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝.B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为＝，圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝，x2＝3，所以y1＝，y2＝－2，所以｜ON｜＝＝，｜OM｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C. 方法技巧 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 （1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到判别式来判断； （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p（焦点在x轴正半轴）；若不过焦点，则必须用一般弦长公式； （3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用. 跟踪训练 1.已知A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M（－1，2），若＝，则直线AB的方程为（　　） A.x－2y＋3＝0　 B.x＋2y－3＝0 C.2x－y＋3＝0　 D.2x＋y－3＝0 解析：B　由题意知点M（－1，2）在抛物线内，且M（－1，2）是线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－2，联立两式相减得（x1－x2）（x1＋x2）＝4（y1－y2），即kAB＝＝＝－，则直线AB的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋2y－3＝0.由消去y，得x2＋2x－6＝0，Δ＝22－4×（－6）＞0，故斜率为－符合题意.因此直线AB的方程为x＋2y－3＝0. 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，过点F'（0，－2）的直线l与抛物线Γ交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（其中0＜x1＜x2），连接BF并延长交抛物线Γ于点C，记直线l的斜率为k，直线CF'的斜率为k'，则k＋k'＝　0　. 解析：设C（x3，y3），由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－2，联立消去y得x2－8kx＋16＝0，Δ＝64k2－64＞0，x1·x2＝16，同理可得x2·x3＝－16，故x1＝－x3，又点A，C都在抛物线x2＝8y上，所以由对称性知k＋k'＝0. 第七节　抛物线 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上一点，若｜PF｜＝5，则点P到y轴的距离为（　　） A.4　 B.3 C.2　 D.1 解析：A　根据题意，点F的坐标为（1，0），故｜PF｜＝xP＋1＝5，即xP＝4，即点P到y轴的距离为4.故选A. 2.顶点在原点，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程为（　　） A.y2＝x B.x2＝y C.y2＝－x或x2＝y D.y2＝x或x2＝－y 解析：C　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2，3），解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y. 3.已知面积为的等边△OAB（O为坐标原点）的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则p＝（　　） A.　 B. C.　 D.2 解析：A　因为等边△OAB的面积为，所以OA＝2，不妨设点A是第一象限的点，则结合抛物线的对称性可知A（，1），所以1＝2p，解得p＝.故选A. 4.已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1相外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　） A.y2＝4x　 B.y2＝－4x C.y2＝8x　 D.y2＝－8x 解析：C　设P点坐标为（x，y），C（2，0），动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，｜PC｜＝1＋r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离d＝x＋1＝r，所以｜PC｜－d＝1，即－（x＋1）＝1，化简得y2＝8x.故选C. 5.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为（　　） A.2 m　 B.4 m C.4 m　 D.12 m 解析：B　由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由题意知，抛物线经过点A（－4，－2）和点B（4，－2），代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1 m，即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2，所以此时水面宽度d＝2x1＝4. 6.（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若M（m，2）是线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　） A.p＝4 B.抛物线方程为y2＝16x C.直线l的方程为y＝2x－4 D.｜AB｜＝10 解析：ACD　由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；焦点F（2，0），则＝8x1，＝8x2，若M（m，2）是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴－＝8x1－8x2，即＝＝＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由可得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋4＝10，故D正确. 7.已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为　0或1　. 解析：直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得（kx＋2）2＝8x，整理得k2x2＋（4k－8）x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝（4k－8）2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值为0或1. 8.若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A（－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标为　（－，1）　. 解析：如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为（－1，0）.依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P到点F与点P到点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为（－，1）. 9.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在双曲线C：－＝1的一条渐近线上，O为坐标原点，若｜OF｜＝｜PF｜，则△PFO的面积为　　. 解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），双曲线C：－＝1的渐近线方程为x±y＝0，不妨设P在渐近线x－y＝0上，可设P（m，m），m＞0，由｜OF｜＝｜PF｜可得 ＝1，解得m＝，则△PFO的面积为｜OF｜·｜yP｜＝×1×＝. 10.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. （1）若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值； （2）若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解：（1）因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F（，0），所以直线l的方程为y＝（x－）. 联立消去y得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故｜AB｜＝×｜－｜＝2×4＝8. （2）设A（x3，y3），B（x4，y4），由抛物线定义，知｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x3＋＋x4＋＝x3＋x4＋p＝x3＋x4＋3＝9， 所以x3＋x4＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是x＝－， 所以M到准线的距离等于3＋＝. 综合应用 B 巩固 11.设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，｜BF｜＝3，记△BCF与△ACF的面积分别为S△BCF，S△ACF，则＝（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 解析：C　抛物线E的焦点为F（2，0），准线方程为x＝－2.设A（x1，y1），B（x2，y2），C（－2，y3）.直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x－4），k≠0，联立消去y得k2（x－4）2＝8x，即k2x2－（8k2＋8）x＋16k2＝0，显然Δ＞0，∴x1x2＝16.∵｜BF｜＝x2＋＝x2＋2＝3，∴x2＝1，∴x1＝16.设点F到直线AB的距离为d，则＝＝＝＝＝. 12.（多选）已知抛物线x2＝y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　） A.点F的坐标为（，0） B.若直线MN过点F，则x1x2＝－ C.若＝λ，则｜MN｜的最小值为 D.若｜MF｜＋｜NF｜＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 解析：BCD　易知点F的坐标为（0，），选项A错误；根据抛物线的性质知，直线MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－，选项B正确；若＝λ，则线段MN过点F，则｜MN｜的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2＝y的焦点为（0，），准线方程为y＝－，过点M，N，P分别作准线的垂线MM'，NN'，PP'，垂足分别为M'，N'，P'（图略），所以｜MM'｜＝｜MF｜，｜NN'｜＝｜NF｜.所以｜MM'｜＋｜NN'｜＝｜MF｜＋｜NF｜＝，所以线段｜PP'｜＝＝，所以线段MN的中点P到x轴的距离为｜PP'｜－＝－＝，选项D正确. 13.过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，｜AF｜＝2. （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C上存在点M（－2，y0），使得MA⊥MB，求直线l的方程. 解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝－，焦点为F（0，）. ∵当点A的纵坐标为1时，｜AF｜＝2， ∴1＋＝2，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为x2＝4y. （2）∵点M（－2，y0）在抛物线C上， ∴y0＝＝1.又F（0，1）， ∴设直线l的方程为y＝kx＋1. 由得x2－4kx－4＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， ＝（x1＋2，y1－1），＝（x2＋2，y2－1）. ∵MA⊥MB，∴·＝0， ∴（x1＋2）（x2＋2）＋（y1－1）（y2－1）＝0， ∴－4＋8k＋4－4k2＝0， 解得k＝2或k＝0. 当k＝0时，l过点M，舍去， ∴k＝2， ∴直线l的方程为y＝2x＋1. 14.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N.则的最大值为　1　. 解析：设｜AF｜＝a，｜BF｜＝b，过A，B点分别作准线的垂线AQ，BP，由抛物线定义，得｜AF｜＝｜AQ｜，｜BF｜＝｜BP｜，在梯形ABPQ中，2｜MN｜＝｜AQ｜＋｜BP｜＝a＋b.在△AFB中，由余弦定理得，｜AB｜2＝a2＋b2－2abcos 60°＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，又∵ab≤（）2，∴（a＋b）2－3ab≥（a＋b）2－（a＋b）2＝（a＋b）2，得到｜AB｜≥（a＋b）＝｜MN｜.∴≤1，即的最大值为1. 15.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且｜AF｜＝3. （1）求抛物线E的方程； （2）已知点G（－1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线. 解：（1）由抛物线定义可得｜AF｜＝2＋＝3，解得p＝2， ∴抛物线E的方程为y2＝4x. （2）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上， ∴m2＝4×2，解得m＝±2， 由题图知A（2，2），又F（1，0）， ∴直线AF的方程为y＝2（x－1）. 由得2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或，∴B（，－）. 又G（－1，0），∴kGA＝，kGB＝－， ∴kGA＋kGB＝0， ∴∠AGF＝∠BGF， 故GF为∠AGB的平分 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$