8.6双曲线讲义-2025届高三数学一轮复习

第六节　双曲线 课程目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 基础知识 1.双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 　　　为双曲线的焦点； 　　　为双曲线的焦距 ｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a 0＜2a＜｜F1F2｜ 提醒　（1）当2a＝｜F1F2｜时，M点的轨迹是两条射线；（2）当2a＞｜F1F2｜时，M点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴： 　　　；对称中心： 　　　 顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a） 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝　　　　，e∈（1，＋∞） 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝　　　　　 （c＞a＞0，c＞b＞0） 提醒　（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝；（2）若焦点在x轴上，渐近线斜率为±；若焦点在y轴上，渐近线斜率为±. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（　　） （2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.（　　） （3）方程－＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线.（　　） （4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.（　　） （5）双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程是±＝0.（　　） 2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（　　） A.－＝1　　　　　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 3.（多选）已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是（　　） A.实轴长为4 B.焦距为2 C.离心率为 D.渐近线方程为2x±3y＝0 4.已知曲线C的方程为＋＝1（k∈R），若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围为　　　　. 5.若点P为双曲线－＝1上的一点，F1，F2为双曲线的焦点，且｜PF1｜＝10，则｜PF2｜＝　　　　. 常用结论 1.双曲线方程的常见设法 （1）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的方程可设为－＝λ（λ≠0）； （2）若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），则可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）. 2.双曲线中的常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b； （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a； （3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a； （4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. 结论应用 1.与双曲线 －y2＝1有相同渐近线，且与椭圆 ＋＝1有共同焦点的双曲线方程是（　　） A.－＝1　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 2.已知双曲线－＝1（b＞0），其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（　　） A.　 B. C.2　 D. 3.过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A， B两点， O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 双曲线的定义及应用 对数函数的图象及应用 【例1】　（1）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝　　　　； （2）已知F是双曲线－＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为　　　　. 方法技巧 双曲线定义的应用主要有两个方面 跟踪训练 1.已知动点M（x，y）满足－＝4，则动点M的轨迹是（　　） A.射线　　　　　　　 B.直线 C.椭圆　 D.双曲线的一支 2.双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（　　） A.12　　 B.16　　　 C.21　　 D.26 考点2 双曲线的标准方程 对数函数的图象及应用 【例2】　（1）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点（，），且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　） A.x2－＝1　 B.－y2＝1 C.x2－＝1　 D.－y2＝1 （2）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（　　） A.－＝1（x＞2） B.－＝1（x＞3） C.＋＝1（0＜x＜2） D.＋＝1（0＜x＜3） 方法技巧 求双曲线标准方程的两种方法 （1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程（组）并求出a，b，c的值； （2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值. 提醒　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解. 跟踪训练 1.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是　　　　　. 2.经过点P（3，2），Q（－6，7）的双曲线的标准方程为　　　　. 考点3 双曲线的几何性质 对数函数的图象及应用 考向1　双曲线的渐近线 【例3】　（1）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A.y＝±x　 B.y＝±2x C.y＝±x　 D.y＝±x （2）（2022·全国甲卷14题）若双曲线y2－＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝　　　　. 方法技巧 求双曲线渐近线方程的方法 （1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； （2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； （3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程. 提醒　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称. 考向2　双曲线的离心率 【例4】　（1）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（　　） A.　 B. C.　 D. （2）记双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值　　　　. 方法技巧 求双曲线离心率的两种方法 跟踪训练 1.设F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A.x±y＝0 B.2x±y＝0 C.x±2y＝0 D.2x±y＝0 2.已知点F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A.（1，）　　　 B.（1，1＋） C.（，＋∞）　 D.（1＋，＋∞） 3.（多选）已知双曲线C：－y2＝λ（λ＜0），则（　　） A.双曲线C的实轴长为定值 B.双曲线C的焦点在y轴上 C.双曲线C的离心率为定值 D.双曲线C的渐近线方程为y＝±x 第六节　双曲线 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是（　　） A.－2＜m＜1　　　　　 B.m＞1 C.m＜－2　 D.－1＜m＜2 2.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A.y＝x　 B.y＝x C.y＝±x　 D.y＝±x 3.若双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）满足＝，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A.－＝1　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 4.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为（　　） A.y2－＝1　 B.y2－＝1（y≤－1） C.x2－＝1　 D.x2－＝1（x≤－1） 5.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是圆O：x2＋y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，｜F2A｜＝a，＝3，则双曲线C的离心率为（　　） A.　 B. C.　 D. 6.（多选）已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的是（　　） A.双曲线C的实轴长为8 B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 7.双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，实轴长为2，则m－n＝　 　. 8.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为　 　. 9.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，如图所示，直线l：x＝与两条渐近线交于P，Q两点，N为PQ的中点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e＝　 　. 10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且｜F1F2｜＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. （1）求这两个曲线的方程； （2）若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值. 综合应用 B 巩固 11.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（　　） A.2π　 B.3π C.2π　 D.4π 12.（多选）双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　 ） A.双曲线C的离心率为 B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同 C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为 D.｜PF｜的最小值为2 13.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2. （1）若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离； （2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程. 14.已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若｜OA｜＝b，则该双曲线的离心率为　 　. 15.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）. （1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； （2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六节　双曲线 课程目标 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 基础知识 1.双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 　F1，F2　为双曲线的焦点； 　｜F1F2｜　为双曲线的焦距 ｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a 0＜2a＜｜F1F2｜ 提醒　（1）当2a＝｜F1F2｜时，M点的轨迹是两条射线；（2）当2a＞｜F1F2｜时，M点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：　坐标轴　；对称中心：　原点　 顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a） 渐近线 y＝±x y＝±x 性 质 离心率 e＝　　，e∈（1，＋∞） 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝　a2＋b2　（c＞a＞0，c＞b＞0） 提醒　（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝；（2）若焦点在x轴上，渐近线斜率为±；若焦点在y轴上，渐近线斜率为±. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（　×　） （2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.（　×　） （3）方程－＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线.（　×　） （4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.（　√　） （5）双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程是±＝0.（　√　） 2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（　　） A.－＝1　　　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 解析：B　由方程组得a＝2，b＝2.∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1. 3.（多选）已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是（　　） A.是轴长为4　 B.焦距为2 C.离心率为　 D.渐近线方程为2x±3y＝0 解析：D　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合选项选D. 4.已知曲线C的方程为＋＝1（k∈R），若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围为　（－∞，－1）　. 解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k＜－1. 5.若点P为双曲线－＝1上的一点，F1，F2为双曲线的焦点，且｜PF1｜＝10，则｜PF2｜＝　4或16　. 解析：双曲线－＝1中a＝3，∵｜PF1｜＝10，P在双曲线上，∴由双曲线的定义可得｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，∴｜PF2｜＝4或16. 常用结论 1.双曲线方程的常见设法 （1）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的方程可设为－＝λ（λ≠0）； （2）若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），则可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）. 2.双曲线中的常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b； （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a； （3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a； （4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. 结论应用 1.与双曲线 －y2＝1有相同渐近线，且与椭圆 ＋＝1有共同焦点的双曲线方程是（　　） A.－＝1　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 解析：B　由结论1，可设双曲线方程为y2－＝λ（λ≠0），故2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为－＝1. 2.已知双曲线－＝1（b＞0），其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（　　） A.　　 　　　　　　 B. C.2　 D. 解析：A　由结论2可知：b＝1，又a＝，所以c＝＝2，所以该双曲线的离心率e＝＝＝.故选A. 3.过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A， B两点， O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e＝　　. 解析：若△OAB为等腰直角三角形，由结论2可得｜AB｜＝，则c＝，即ac＝c2－a2，可得e2－e－1＝0，e＞1， 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 双曲线的定义及应用 对数函数的图象及应用 【例1】　（1）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝　　； （2）已知F是双曲线－＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为　9　. 解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝4，则cos∠F1PF2＝＝＝. （2）因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F（－4，0），设其右焦点为H（4，0），则由双曲线的定义可得｜PF｜＋｜PA｜＝2a＋｜PH｜＋｜PA｜≥2a＋｜AH｜＝4＋＝4＋5＝9（当A，P，H三点共线时取等号）. 方法技巧 双曲线定义的应用主要有两个方面 跟踪训练 1.已知动点M（x，y）满足－＝4，则动点M的轨迹是（　　） A.射线　 B.直线 C.椭圆　 D.双曲线的一支 解析：A　设F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，故动点M的轨迹是射线，故选A. 2.双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（　　） A.12　 B.16 C.21　 D.26 解析：D　依题意知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a＝8，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝8，∴（｜AF2｜－｜AF1｜）＋（｜BF2｜－｜BF1｜）＝16，又｜AB｜＝5，∴｜AF2｜＋｜BF2｜＝16＋（｜AF1｜＋｜BF1｜）＝16＋｜AB｜＝16＋5＝21.∴｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝21＋5＝26.即△ABF2的周长是26.故选D. 考点2 双曲线的标准方程 对数函数的图象及应用 【例2】　（1）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点（，），且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　） A.x2－＝1　 B.－y2＝1 C.x2－＝1　 D.－y2＝1 （2）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（　　） A.－＝1（x＞2） B.－＝1（x＞3） C.＋＝1（0＜x＜2） D.＋＝1（0＜x＜3） 答案：（1）A　（2）A 解析：（1）因为e＝＝2，所以c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点（，）的坐标代入双曲线的方程，得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A. （2）如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F， 则有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为－＝1（x＞2）. 方法技巧 求双曲线标准方程的两种方法 （1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程（组）并求出a，b，c的值； （2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值. 提醒　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解. 跟踪训练 1.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是　－＝1　. 解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ（λ＞0），即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 2.经过点P（3，2），Q（－6，7）的双曲线的标准方程为　－＝1　. 解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点P（3，2），Q（－6，7），所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1. 考点3 双曲线的几何性质 对数函数的图象及应用 考向1　双曲线的渐近线 【例3】　（1）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为（　B　） A.y＝±x　 B.y＝±2x C.y＝±x　 D.y＝±x （2）若双曲线y2－＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝　　. 解析：（1）由题意可知，2c＝2，2a＝2，所以c＝，a＝1，所以b＝＝2，则＝2.故该双曲线C的渐近线方程为y＝±2x. （2）双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋（y－2）2＝1，则圆心坐标为（0，2），半径r＝1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝. 方法技巧 求双曲线渐近线方程的方法 （1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； （2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； （3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程. 提醒　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称. 考向2　双曲线的离心率 【例4】（1）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（　A　） A.　 B. C.　 D. （2）记双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值　2（答案不唯一，（1，]内的任意值均可）　. 解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝. （2）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，又e＞1，∴e∈（1，].∴填写（1，]内的任意值均可. 方法技巧 求双曲线离心率的两种方法 跟踪训练 1.设F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A.x±y＝0　 B.2x±y＝0 C.x±2y＝0　 D.2x±y＝0 解析：C　∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又知｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，∴｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60°＝，即＝，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0. 2.已知点F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　） A.（1，）　 B.（1，1＋） C.（，＋∞）　 D.（1＋，＋∞） 解析：B　依题意，得0＜∠AF2F1＜，故0＜tan∠AF2F1＜1，则＝＜1，即e－＜2，e2－2e－1＜0，（e－1）2＜2，又e＞1，所以1＜e＜1＋. 3.（多选）已知双曲线C：－y2＝λ（λ＜0），则（　　） A.双曲线C的实轴长为定值 B.双曲线C的焦点在y轴上 C.双曲线C的离心率为定值 D.双曲线C的渐近线方程为y＝±x 解析：BCD　对于A、B，由双曲线C：－y2＝λ（λ＜0），整理可得－＝1（λ＜0），所以双曲线的焦点在y轴上，且a2＝－λ，b2＝－2λ（λ＜0），实轴长不是定值，所以A错误，B正确；对于C，离心率e＝＝＝为定值，C正确；对于D，渐近线的方程为y＝±x＝±x，D正确. 第六节　双曲线 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是（　　） A.－2＜m＜1　　　　　 B.m＞1 C.m＜－2　 D.－1＜m＜2 解析：A　因为方程－＝1表示双曲线，所以（2＋m）（1－m）＞0，即（m＋2）（m－1）＜0，解得－2＜m＜1.故选A. 2.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A.y＝x　 B.y＝x C.y＝±x　 D.y＝±x 解析：D　＝＝＝，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x. 3.若双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）满足＝，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A.－＝1　 B.－＝1 C.－＝1　 D.－＝1 解析：A　由题意可得椭圆的焦点坐标为（－3，0），（3，0），则在双曲线C中，有解得所以双曲线C的方程为－＝1. 4.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为（　　） A.y2－＝1　 B.y2－＝1（y≤－1） C.x2－＝1　 D.x2－＝1（x≤－1） 解析：B　设M（x，y），因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋，即｜MA｜－｜MB｜＝2＜4.故点M（x，y）的轨迹是以A（0，2），B（0，－2）为焦点的双曲线的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程为y2－＝1（y≤－1）. 5.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是圆O：x2＋y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，｜F2A｜＝a，＝3，则双曲线C的离心率为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　如图，由题意可知｜F2B｜＝，｜AB｜＝，由双曲线的定义可知｜BF1｜＝＋2a＝，易得∠F1AF2＝90°，则在△ABF1中，由勾股定理可得｜AF1｜＝a，在Rt△AF1F2中，（a）2＋a2＝（2c）2，所以e＝.故选A. 6.（多选）已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的是（　　） A.双曲线C的实轴长为8 B.双曲线C的渐近线方程为y＝±x C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 解析：ABC　因为a2＝16，所以a＝4，2a＝8，故A正确；因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B正确；因为c＝＝＝5，所以焦点坐标为（－5，0），（5，0），焦点（5，0）到渐近线3x－4y＝0的距离为＝3，故C正确；双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝1，故D错误. 7.双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，实轴长为2，则m－n＝　－1　. 解析：因为双曲线的实轴长为2，所以2＝2，所以m＝1，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，解得n＝2，所以m－n＝－1. 8.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为　x2－＝1（答案不唯一）　. 解析：因为渐近线方程为2x±y＝0，设双曲线方程为4x2－y2＝λ，λ≠0，所以双曲线的方程可以为x2－＝1. 9.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，如图所示，直线l：x＝与两条渐近线交于P，Q两点，N为PQ的中点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e＝　　. 解析：由题意知右焦点F（c，0），直线l：x＝，渐近线y＝±x.联立可得P（，），Q（，－），∴｜FP｜＝｜FQ｜，即△PQF是等腰三角形.∵△PQF是直角三角形，∴∠PFQ＝90°，N为PQ的中点，∴｜PN｜＝｜FN｜，即＝c－，∴a＝b，e＝. 10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且｜F1F2｜＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. （1）求这两个曲线的方程； （2）若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值. 解：（1）由已知c＝，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.则 解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.所以椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1. （2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点， 则｜PF1｜＋｜PF2｜＝14，｜PF1｜－｜PF2｜＝6， 所以｜PF1｜＝10，｜PF2｜＝4， 又｜F1F2｜＝2， 所以cos∠F1PF2＝＝＝. 综合应用 B 巩固 11.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（　　） A.2π　 B.3π C.2π　 D.4π 解析：C　该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M（，2m），N（，－m），代入双曲线方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π.故选C. 12.（多选）双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　 ） A.双曲线C的离心率为 B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同 C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为 D.｜PF｜的最小值为2 解析：ABC　因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以e＝＝，故A正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；因为PO⊥PF，点F（，0）到渐近线x－2y＝0的距离d＝＝，所以｜PF｜＝，所以｜PO｜＝＝2，所以△PFO的面积为××2＝，故C正确；｜PF｜的最小值即为点F到渐近线的距离，即｜PF｜min＝，故D不正确. 13.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2. （1）若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离； （2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程. 解：（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h， ∵·＝0，∴MF1⊥MF2. 设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n， 由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.　① 在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80，　② 由①②得m·n＝8. ∵＝mn＝4＝×2ch，∴h＝. 即点M到x轴的距离为. （2）设双曲线C的方程为－＝1（－4＜λ＜16）. ∵双曲线C过点（3，2），∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14（舍去）， ∴双曲线C的方程为－＝1. 14.已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若｜OA｜＝b，则该双曲线的离心率为　　. 解析：如图，记直线F2A交PF1于点Q，因为PA是∠F1PF2的平分线，所以｜AQ｜＝｜AF2｜，｜PQ｜＝｜PF2｜.又O是F1F2的中点，所以QF1∥AO，且｜QF1｜＝2｜OA｜＝2b.由双曲线的定义，知2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PF1｜－｜PQ｜＝｜QF1｜，所以2a＝2b，即a＝b，a2＝2b2＝2（c2－a2），即3a2＝2c2，所以该双曲线的离心率e＝＝. 15.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）. （1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； （2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率. 解：（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2， 所以双曲线方程为－＝1. （2）设点A的坐标为（x0，y0），所以直线AO的斜率满足·（－）＝－1，所以x0＝y0，　① 依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2， 将①代入圆的方程得3＋＝c2， 即y0＝c，所以x0＝c， 所以点A的坐标为（c，c）， 代入双曲线方程得－＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2，　② 又因为a2＋b2＝c2， 所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以3（）4－8（）2＋4＝0，所以（3e2－2）（e2－2）＝0， 因为e＞1，所以e＝，所以双曲线的离心率为 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$