8.5椭 圆讲义-2025届高三数学一轮复习

第五节　椭 圆 课程目标 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 4.了解椭圆的简单应用. 基础知识 1.椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 为椭圆的焦点； 为椭圆的焦距 ｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a 2a＞｜F1F2｜ 提醒　若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 图形 性质 范围 －a≤x≤a；－b≤y≤b －b≤x≤b；－a≤y≤a 对称性 对称轴：　　 　；对称中心：（0，0） 顶点 A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0） 轴 长轴A1A2的长为　　　；短轴B1B2的长为 焦距 ｜F1F2｜＝　　 　 离心率 e＝　　　，e∈（0，1） a，b，c的关系 a2＝　　 　 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（　　） （2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（　　） （3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（　　） （4）＋＝1（a＞b＞0）与＋＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（　　） 2.椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为（　　） A.6　 B.3 C.4　 D.2 3.（多选）已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（　　） A.长轴长为　 B.焦距为 C.短轴长为　 D.离心率为 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则椭圆C的方程是（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 5.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是　　　　. 常用结论 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜OP｜≤a； （2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ. （1）｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，最大，最大值为bc； （2）＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜； （3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（）2＝a2； （4）焦点三角形的周长为2（a＋c）. 3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝. 结论应用 1.已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（　　） A.＋y2＝1 　　　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 2.已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，△PF1F2的面积为　　　　. 第1课时　椭圆的定义、方程与性质 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 椭圆的定义及其应用 对数函数的图象及应用 【例1】（1）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.1　　　　　　　 B.2 C.4　 D.5 （2）如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　） A.椭圆　 B.双曲线　 C.抛物线　 D.圆 方法技巧 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 跟踪训练 1.已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则｜OM｜＝（　　） A.2　 B.4 C.7　 D.14 2.若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为　　　　. 考点2 椭圆的标准方程 对数函数的图象及应用 【例2】　（1）已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　　） A.－＝1　 B.＋＝1 C.－＝1　 D.＋＝1 （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1），P2（－，－），则该椭圆的方程为　　　　. 方法技巧 根据条件求椭圆方程的两种方法 （1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； （2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. 跟踪训练 1.（2022·全国甲卷11题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋y2＝1 2.过点P（3，）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为　　　　. 考点3 椭圆的几何性质 对数函数的图象及应用 考向1　离心率问题 【例3】（1）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A.　 B.　　 C.　 D. （2）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3｜AB｜＝2｜BC｜，则该椭圆的离心率为（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 方法技巧 求椭圆离心率的方法 （1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解； （3）利用公式e＝求解. 考向2　与椭圆性质有关的最值（范围）问题 【例4】设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　　） A.　 B. C.　 D.2 方法技巧 与椭圆有关的最值（范围）问题的求解策略 跟踪训练 1.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得｜PF1｜＝2｜PF2｜，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A.［，1） B.（，1）　 C.［，1） D.（，1） 2.（多选）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则（　　） A.椭圆的长轴长为4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的方程可以为＋＝1 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－ 第五节　椭 圆 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.已知椭圆C：＋＝1（a＞0）的一个焦点为点（1，0），则椭圆C的离心率为（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 2.椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝（　　） A.4　 B.8　　C.4或8　 D.12 3.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝（　　） A.　 B.　　C.　 D. 4.已知椭圆的两个焦点为F1（－，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，｜MF1｜·｜MF2｜＝8，则该椭圆的方程是（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 5.（多选）已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1（k＜9且k≠0），下列说法正确的是（　　） A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B.两曲线的焦距相等 C.两曲线有相同的焦点 D.两曲线的离心率相等 6.（多选）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（　　） A.椭圆C的方程为＋x2＝1 B.椭圆C的方程为＋y2＝1 C.｜PQ｜＝ D.△PF2Q的周长为4 7.若椭圆＋＝1（m＞0）的离心率为，则该椭圆的长轴长为　 　. 8.写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆的标准方程为　 　. 9.椭圆＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则·的取值范围是　 　. 10.在①离心率e＝；②椭圆C过点（1，）；③P为椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为.这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并解答. 设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2，　　，求椭圆C的标准方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 综合应用 B 巩固 11.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　） A.e1＞e3＞e2　 B.e2＞e3＞e1 C.e1＞e2＞e3　 D.e2＞e1＞e3 12.已知椭圆＋＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线m交椭圆于A，B两点，若｜BF2｜＋｜AF2｜的最大值为6，则b＝　 　，椭圆的离心率e＝　 　. 13.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点A（0，1），点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值. 14.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（　　） A.3　 B.2 C.　 D. 15.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的距离为b. （1）求椭圆C的离心率； （2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五节　椭 圆 课程目标 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 4.了解椭圆的简单应用. 基础知识 1.椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 　F1，F2　为椭圆的焦点； 　｜F1F2｜　为椭圆的焦距 ｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a 2a＞｜F1F2｜ 提醒　若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 图形 性质 范围 －a≤x≤a；－b≤y≤b －b≤x≤b；－a≤y≤a 对称性 对称轴：　x轴、y轴　；对称中心：（0，0） 顶点 A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0） 轴 长轴A1A2的长为　2a　；短轴B1B2的长为　2b　 性质 焦距 ｜F1F2｜＝　2c　 离心率 e＝　　，e∈（0，1） a，b，c的关系 a2＝　b2＋c2　 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（　×　） （2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（　×　） （3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（　√　） （4）＋＝1（a＞b＞0）与＋＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（　√　） 2.椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为（　　） A.6　 B.3 C.4　 D.2 解析：A　由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，因为｜PF2｜＝4，所以｜PF1｜＝6，即点P到下焦点的距离为6. 3.(多选）已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是（　　） A.长轴长为　 B.焦距为 C.短轴长为　 D.离心率为 解析：D　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选AD. 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则椭圆C的方程是（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：D　依题意，设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.故选D. 5.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是　（3，4）∪（4，5）　. 解析：由已知得解得3＜k＜5且k≠4. 常用结论 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜OP｜≤a； （2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ. （1）｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，最大，最大值为bc； （2）＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜； （3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（）2＝a2； （4）焦点三角形的周长为2（a＋c）. 3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝. 结论应用 1.已知F1（－1，0），F2（1，0）是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝3，则C的方程为（　　） A.＋y2＝1　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：C　由结论3可知｜AB｜＝3＝，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1. 2.已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝时，△PF1F2的面积为　　. 解析：由结论2可得，S＝b2tan，可得S＝1·tan＝ 第1课时　椭圆的定义、方程与性质 　　 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 椭圆的定义及其应用 对数函数的图象及应用 【例1】（1）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.1　 B.2 C.4　 D.5 （2）如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　　） A.椭圆　 B.双曲线 C.抛物线　 D.圆 答案：（1）B　（2）A 解析：（1）由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝＝＝2.故选B. （2）如图，连接QA，由已知得｜QA｜＝｜QP｜.所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故选A. 方法技巧 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 跟踪训练 1.已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则｜OM｜＝（　　） A.2　 B.4 C.7　 D.14 解析：C　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以｜OM｜＝｜PF2｜，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝20－6＝14，所以｜OM｜＝7，故选C. 2.若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为　　. 解析：由题意得a＝3，b＝，c＝，∴｜F1F2｜＝2，｜AF1｜＋｜AF2｜＝6.∵｜AF2｜2＝｜AF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜AF1｜·｜F1F2｜cos 45°＝｜AF1｜2＋8－4｜AF1｜，∴（6－｜AF1｜）2＝｜AF1｜2＋8－4｜AF1｜，解得｜AF1｜＝.∴△AF1F2的面积S＝×2××＝. 考点2 椭圆的标准方程 对数函数的图象及应用 【例2】（1）已知两圆C1：（x－4）2＋y2＝169，C2：（x＋4）2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（　D　） A.－＝1　 B.＋＝1 C.－＝1　 D.＋＝1 （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1），P2（－，－），则该椭圆的方程为　＋＝1　. 解析：（1）设动圆的圆心M（x，y），半径为r，圆M与圆C1：（x－4）2＋y2＝169内切，与圆C2：（x＋4）2＋y2＝9外切.所以｜MC1｜＝13－r，｜MC2｜＝3＋r.｜MC1｜＋｜MC2｜＝16＞｜C1C2｜＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆.则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1. （2）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）.因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的方程为＋＝1. 方法技巧 根据条件求椭圆方程的两种方法 （1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； （2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. 跟踪训练 1.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋y2＝1 解析：B　依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以＝（－a，－b），＝（a，－b），·＝－a2＋b2＝－（a2－b2）＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B. 2.过点P（3，）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为　＋＝1　. 解析：设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），则a2－b2＝9①.又点P（3，）在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1②.由①②得a2＝25，b2＝16，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 考点2 椭圆的几何性质 对数函数的图象及应用 考向1　离心率问题 【例3】（1）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A.　　 B.　　　C.　　 D. （2）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3｜AB｜＝2｜BC｜，则该椭圆的离心率为（　　） A.　 B.　　C.　 D. 答案：（1）A　（2）B 解析：（1）法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. （2）由椭圆的方程＋＝1（a＞b＞0）可得当x＝c时y＝±，所以｜AB｜＝2c，｜BC｜＝.因为3｜AB｜＝2｜BC｜，所以6c＝，所以3ac＝2b2＝2a2－2c2，所以3e＝2－2e2，解得e＝或e＝－2（舍）.故选B. 方法技巧 求椭圆离心率的方法 （1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解； （3）利用公式e＝求解. 考向2　与椭圆性质有关的最值（范围）问题 【例4】设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　　） A.　 B. C.　 D.2 解析：A　设点P（x，y），则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝－.当2y＋＝0，即y＝－（满足｜y｜≤1）时，｜PB｜2取得最大值，所以｜PB｜max＝.故选A. 方法技巧 与椭圆有关的最值（范围）问题的求解策略 跟踪训练 1.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得｜PF1｜＝2｜PF2｜，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A.［，1）　 B.（，1） C.［，1）　 D.（，1） 解析：A　由椭圆的定义可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又｜PF1｜＝2｜PF2｜，解得｜PF1｜＝，｜PF2｜＝.因为a－c≤｜PF1｜≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，得0＜a≤3c，解得≤e＜1.故选A. 2.（多选）如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则（　　） A.椭圆的长轴长为4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的方程可以为＋＝1 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－ 解析：ACD　圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为＋＝1，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－.故选A、C、D. 第五节　椭 圆 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.已知椭圆C：＋＝1（a＞0）的一个焦点为点（1，0），则椭圆C的离心率为（　　） A.　　　 B.　　　　C.　　　 D. 解析：B　由椭圆C：＋＝1的一个焦点的坐标为（1，0），得a2－3＝1，解得a＝2（负值已舍去）.所以椭圆C的离心率为e＝＝.故选B. 2.椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝（　　） A.4　 B.8　　C.4或8　 D.12 解析：C　当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.∴m＝4或8. 3.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝（　　） A.　 B.　　C.　 D. 解析：D　根据题意，由椭圆的方程可得a＝5，b＝3，则其焦点坐标为（－4，0）和（4，0），恰好是A、C两点，则AC＝2c＝8，BC＋BA＝2a＝10.由正弦定理可得＝＝，故选D. 4.已知椭圆的两个焦点为F1（－，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，｜MF1｜·｜MF2｜＝8，则该椭圆的方程是（　　） A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1 解析：C　设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，因为MF1⊥MF2，｜MF1｜·｜MF2｜＝8，｜F1F2｜＝2，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以（m＋n）2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝，所以b＝＝2.所以椭圆的方程是＋＝1. 5.（多选）已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1（k＜9且k≠0），下列说法正确的是（　　） A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B.两曲线的焦距相等 C.两曲线有相同的焦点 D.两曲线的离心率相等 解析：ABC　∵k＜9，∴25－k＞9－k＞0，又25＞9＞0，∴两曲线都是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2×＝8，曲线C2的焦距为2＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝，曲线C2的离心率e2＝，故D不正确.故选A、B、C. 6.（多选）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（　　） A.椭圆C的方程为＋x2＝1 B.椭圆C的方程为＋y2＝1 C.｜PQ｜＝ D.△PF2Q的周长为4 解析：ACD　由已知得，2b＝2，b＝1，＝，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴椭圆方程为x2＋＝1，∴｜PQ｜＝＝＝，△PF2Q的周长为4a＝4. 7.若椭圆＋＝1（m＞0）的离心率为，则该椭圆的长轴长为　4或2　. 解析：由椭圆＋＝1的离心率为，当m＞2时，椭圆焦点在x轴上，＝＝，解得m＝4，所以椭圆的长轴长为4，当0＜m＜2时，椭圆焦点在y轴上，＝＝，得m＝1，所以椭圆的长轴长为2. 8.写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆的标准方程为　＋＝1（答案不唯一）　. 解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），因为长轴长等于离心率8倍，故2a＝8，即a2＝4c，不妨令c＝1，则a2＝4，b2＝3，所以满足条件的一个椭圆方程为＋＝1. 9.椭圆＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则·的取值范围是　[0，1]　. 解析：设F1为左焦点，则由椭圆方程得F1（－1，0），F2（1，0），设P（x，y），－≤x≤，∴＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），则·＝x2＋y2－1＝∈[0，1]. 10.在①离心率e＝；②椭圆C过点（1，）；③P为椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值为.这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并解答. 设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2，　　，求椭圆C的标准方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①，由题意可得解得 所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1. 选②，由题意可得 解得 所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1. 选③，由题意可得解得 所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1. 综合应用 B 巩固 11.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图①、②、③中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　） A.e1＞e3＞e2　 B.e2＞e3＞e1 C.e1＞e2＞e3　 D.e2＞e1＞e3 解析：A　因为椭圆的离心率e＝＝＝＝＝，所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.因为≈1.44，≈1.24，≈1.43，则＞＞，所以e1＞e3＞e2.故选A. 12.已知椭圆＋＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线m交椭圆于A，B两点，若｜BF2｜＋｜AF2｜的最大值为6，则b＝　　，椭圆的离心率e＝　　. 解析：由题意得a＝2，由椭圆的定义知｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＝8，所以｜AB｜＝8－（｜AF2｜＋｜BF2｜）≥2，又由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，所以＝2，解得b2＝2，所以b＝，所以c＝，所以离心率e＝＝. 13.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点A（0，1），点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值. 解：（1）依题意得2c＝2，c＝， 离心率e＝＝＝，解得a＝2， 所以b＝＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. （2）设B（x，y），则＋y2＝1， 得｜AB｜2＝x2＋（y－1）2＝4－4y2＋y2－2y＋1＝－3y2－2y＋5＝－3（y＋）2＋，其中－1≤y＜1. 所以当y＝－时，｜AB｜max＝. 14.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（　　） A.3　 B.2 C.　 D. 解析：D　因为椭圆为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4.当△MF1F2的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则｜MF1｜＝｜MF2｜＝a＝5，｜F1F2｜＝2c＝8，｜OM｜＝b＝3，＝（｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）·r＝｜F1F2｜·｜OM｜，所以r＝，故选D. 15.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的距离为b. （1）求椭圆C的离心率； （2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程. 解：（1）由题意得，A（－a，0），EF2：x＋y＝c， 因为A到直线EF2的距离为b， 即＝b， 所以a＋c＝b， 即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2， 所以（a＋c）2＝3（a2－c2）， 所以2c2＋ac－a2＝0， 因为离心率e＝，所以2e2＋e－1＝0， 解得e＝或e＝－1（舍）， 所以椭圆C的离心率为. （2）由（1）知离心率e＝＝，即a＝2c，　① 因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为， 则｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝， 所以｜PF1｜｜PF2｜＝4， 又 所以a2－c2＝3，　② 联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$