8.4直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2025届高三数学一轮复习

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课程目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 基础知识 1.直线与圆的位置关系（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d） 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2.圆与圆的位置关系（两圆半径分别为r1，r2，d＝｜O1O2｜） 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 　　　＜d＜r1＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜ 公切线条数 4 　　 2 　　 0 提醒　两圆相切应注意是内切还是外切. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直径是圆中最长的弦.（　　） （2）若两圆没有公共点，则两圆一定外离.（　　） （3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　　） （4）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　　） 2.直线y＝x＋5与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　　） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 3.已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为（　　） A.6 cm或14 cm　　　 B.10 cm C.14 cm　 D.无解 4.直线y＝x被圆C：x2＋y2－2x＝0截得的线段长为　　　　. 5.已知直线y＝x＋m与圆（x－2）2＋（y－3）2＝2相切，则m＝　　　　. 常用结论 1.圆的切线方程常用结论 （1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； （2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2； （3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， ① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， ② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程可由①－②所得，即：（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋（F1－F2）＝0. 3.圆系方程 （1）同心圆系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中a，b是定值，r是参数； （2）过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）； （3）过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋ F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解）. 结论应用 1.过点（2，2）作圆（x－1）2＋y2＝5的切线，则切线方程为（　　） A.x－2y＋2＝0 B.3x＋2y－10＝0 C.x＋2y－6＝0　 D.x＝2或x＋2y－6＝0 2.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为　　　　. 3.经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程为　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线与圆的位置关系 对数函数的图象及应用 【例1】　（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（　　） A.相交　　　　　　　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是　　　　. 方法技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系判断； （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断； （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 提醒　上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 跟踪训练 1.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是　　　　. 考点2 圆的弦长、切线问题 对数函数的图象及应用 考向1　圆的弦长问题 【例2】已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　. 方法技巧 直线被圆截得的弦长的两种求法 考向2　圆的切线问题 【例3】过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　） A.1　　　　　　 　 B. C.　 D. 变式 已知点P（x0，y0）是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，若直线PA与PB的夹角为α，当四边形PAOB的面积最小时，sin α＝　　　　. 方法技巧 解决直线与圆相切问题的策略 跟踪训练 1.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝（　　） A.±2　 B.± C.±　 D.±3 2.过点P（2，4）作圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的切线，则切线方程为（　　） A.3x＋4y－4＝0 B.4x－3y＋4＝0 C.x＝2或4x－3y＋4＝0 D.y＝4或3x＋4y－4＝0 3.（多选）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直线l：（2m－1）x＋（m－1）y－3m＋1＝0.下列说法正确的是（　　） A.直线l恒过定点（2，1） B.圆C被y轴截得的弦长为2 C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0 D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0 考点3 圆与圆的位置关系 对数函数的图象及应用 【例4】　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦AB的长为　　　　，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为　　　　. 方法技巧 圆与圆位置关系相关问题的求解策略 （1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系； （2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 跟踪训练 1.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有（　　） A.1条　 B.2条 C.3条　 D.4条 2.（多选）已知点A（2，0），圆C：（x－a－1）2＋（y－a）2＝1上存在点P，满足｜PA｜2＋｜PO｜2＝10（O为坐标原点），则a的值可能是（　　） A.1　 B.－1 C.　 D.0 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（　　） A.相交　　 B.内切　　　C.外切　　 D.内含 2.若直线y＝x＋m与圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝1交于A，B两点，且｜AB｜＝2，则m＝（　　） A.－1　 B.－2　C.1　 D.2 3.“点（a，b）在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（　　） A.2x＋y－5＝0　 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0　 D.x－2y－7＝0 5.（多选）已知圆（x－1）2＋（y－1）2＝4与直线x＋my－m－2＝0，则（　　） A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆相交所截的最短弦长为2 D.直线与圆可以相切 6.（多选）已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则（　　） A.两圆的圆心距｜O1O2｜＝2 B.直线AB的方程为x－y＋1＝0 C.圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜ D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ 7.若圆x2＋y2＝1与圆（x＋4）2＋（y－a）2＝25相切，则常数a＝　 　. 8.已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB｜＝　 　. 9.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是　 　. 10.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. （1）当a为何值时，直线l与圆C相切； （2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且｜AB｜＝2时，求直线l的方程. 综合应用 B 巩固 11.若一条光线从点A（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A.－或－　 B.－或－ C.－或－　 D.－或－ 12.（多选）已知圆M：（x－3k）2＋（y－4k－2）2＝1＋k2，则下列四个命题中真命题有（　　） A.若圆M与y轴相切，则k＝± B.圆M的圆心到原点的距离的最小值为 C.若直线y＝x平分圆M的周长，则k＝2 D.圆M与圆（x－3k）2＋y2＝4k2可能外切 13.已知A（2，0），直线4x＋3y＋1＝0被圆C：（x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点. （1）求｜PA｜的最大值与最小值； （2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 14.已知圆O：x2＋y2＝5，A，B为圆O上的两个动点，且｜AB｜＝2，M为弦AB的中点，C（2，a），D（2，a＋2）.当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为　 　. 15.已知在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上. （1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使｜MA｜＝2｜MO｜，求圆心C的横坐标a的取值范围. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课程目标 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 基础知识 1.直线与圆的位置关系（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d） 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点 d＞r d＝r d＜r 2.圆与圆的位置关系（两圆半径分别为r1，r2，d＝｜O1O2｜） 外离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ｜r1－r2｜＜d＜r1 ＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜｜r1－r2｜ 公切线条数 4 3 2 1 0 提醒　两圆相切应注意是内切还是外切. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直径是圆中最长的弦.（　√　） （2）若两圆没有公共点，则两圆一定外离.（　×　） （3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　×　） （4）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　×　） 2.直线y＝x＋5与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　　） A.相切　 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心　 D.相离 解析：D　圆心为（0，0），到直线y＝x＋5即x－y＋5＝0的距离d＝＝，而＞1，即d＞r，故直线y＝x＋5与圆x2＋y2＝1相离.故选D. 3.已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为（　　） A.6 cm或14 cm　 B.10 cm C.14 cm　 D.无解 解析：A　当两圆外切时，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，所以rB＝6 cm；当两圆内切时，rB－rA＝10.则rB＝10＋4＝14（cm）. 4.直线y＝x被圆C：x2＋y2－2x＝0截得的线段长为　1　. 解析：圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0），半径为1，圆心到直线y＝x的距离为d＝，故弦长为2·＝1. 5.已知直线y＝x＋m与圆（x－2）2＋（y－3）2＝2相切，则m＝　3或－1　. 解析：圆（x－2）2＋（y－3）2＝2的圆心为（2，3），半径为，由题意知点（2，3）到直线x－y＋m＝0的距离为d＝＝，整理得｜m－1｜＝2，解得m＝3或m＝－1. 常用结论 1.圆的切线方程常用结论 （1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2； （2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2； （3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2.两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，　① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，　② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程可由①－②所得，即：（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋（F1－F2）＝0. 3.圆系方程 （1）同心圆系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中a，b是定值，r是参数； （2）过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）； （3）过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）（该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解）. 结论应用 1.过点（2，2）作圆（x－1）2＋y2＝5的切线，则切线方程为（　　） A.x－2y＋2＝0 B.3x＋2y－10＝0 C.x＋2y－6＝0 D.x＝2或x＋2y－6＝0 解析：C　显然点（2，2）在圆上，由结论1可得（2－1）（x－1）＋（2－0）y＝5，即x＋2y－6＝0，故选C. 2.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为　2　. 解析：联立由结论2得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，则所求弦长为2. 3.经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程为　x2＋y2－x＋7y－32＝0　. 解析：由结论3，设所求圆的方程为（x2＋y2＋6x－4）＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0，λ≠－1，即（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，圆心坐标为，得－＋－4＝0，求得λ＝－7，故所求的圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线与圆的位置关系 对数函数的图象及应用 【例1】　（1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（　A　） A.相交　 B.相切 C.相离　 D.不确定 （2）若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是　（＋1，＋∞）　. 解析：（1）法一（代数法）　由消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交. 法二（几何法）　由题意知，圆心（0，1）到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交. 法三（点与圆的位置关系法）　直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆相交. （2）计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1. 方法技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系判断； （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断； （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 提醒　上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 跟踪训练 1.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切，则有＝2，即｜a＋1｜＝4，所以a＝3或－5.故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆（x－a）2＋（y－3）2＝8相切”的充分不必要条件. 2.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是　[－3，1]　. 解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为，∴≤，即｜a＋1｜≤2，解得－3≤a≤1. 考点2 圆的弦长、切线问题 对数函数的图象及应用 考向1　圆的弦长问题 【例2】已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　－2（或－或或2，填写任意一个均可）　. 解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可. 方法技巧 直线被圆截得的弦长的两种求法 考向2　圆的切线问题 【例3】过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　） A.1　　　 B. 　　　C. 　　 D. 解析：B　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sincos＝2××＝.故选B. 变式 已知点P（x0，y0）是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，若直线PA与PB的夹角为α，当四边形PAOB的面积最小时，sin α＝　　. 解析：由圆O：x2＋y2＝2，得r＝，四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝｜PA｜·｜AO｜＝｜PA｜，∵点P（x0，y0）是直线l：x＋y＝4上的一点，∴P（x0，4－x0）.则｜PA｜＝＝，又｜PO｜2＝＋（4－x0）2＝2（x0－2）2＋8≥8，∴｜PO｜2－2≥6，则｜PA｜≥，∴四边形PAOB的面积的最小时，｜PA｜＝，｜PO｜＝2，∴sin＝＝，cos＝.∴sin α＝2sin·cos＝2××＝. 方法技巧 解决直线与圆相切问题的策略 跟踪训练 1.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝（　　） A.±2　 B.±　　C.±　 D.±3 解析：C　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C. 2.过点P（2，4）作圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的切线，则切线方程为（　　） A.3x＋4y－4＝0 B.4x－3y＋4＝0 C.x＝2或4x－3y＋4＝0 D.y＝4或3x＋4y－4＝0 解析：C　当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0. 3.（多选）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直线l：（2m－1）x＋（m－1）y－3m＋1＝0.下列说法正确的是（　　） A.直线l恒过定点（2，1） B.圆C被y轴截得的弦长为2 C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0 D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0 解析：BD　对于A，将直线l的方程整理为m（2x＋y－3）＋（－x－y＋1）＝0，由得无论m为何值，直线l恒过定点（2，－1），故A不正确；对于B，将x＝0代入圆C的方程，得（y－1）2＝15，解得y＝1±，故圆C被y轴截得的弦长为2，故B正确；对于C，无论m为何值， 直线l不过圆心（1，1），即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y＋1＝（x－2），即x－2y－4＝0，故D正确.综上所述，选B、D. 考点3 圆与圆的位置关系 对数函数的图象及应用 【例4】　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦AB的长为　2　，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为　（x＋2）2＋（y－1）2＝5　　. 解析：两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.∴圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，联立解得或不妨设A（－4，0），B（0，2），∴｜AB｜＝＝2，以AB为直径的圆即为面积最小的圆，方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝5. 方法技巧 圆与圆位置关系相关问题的求解策略 （1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系； （2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 跟踪训练 1.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有（　　） A.1条　 B.2条　　C.3条　 D.4条 解析：D　x2－4x＋y2＝0⇒（x－2）2＋y2＝22，圆心坐标为（2，0），半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒（x＋2）2＋y2＝12，圆心坐标为（－2，0），半径为1，两圆圆心距为4，半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故选D. 2.（多选）已知点A（2，0），圆C：（x－a－1）2＋（y－a）2＝1上存在点P，满足｜PA｜2＋｜PO｜2＝10（O为坐标原点），则a的值可能是（　　） A.1　 B.－1　　C.　 D.0 解析：ABC　设P（x，y），由｜PA｜2＋｜PO｜2＝10，A（2，0），得（x－2）2＋y2＋x2＋y2＝10，整理得，（x－1）2＋y2＝4.又点P在圆C上，即两圆有交点，则1＝2－1≤≤2＋1＝3，解得≤｜a｜≤.∴a的取值可能是1，－1，.故选A、B、C. 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（　　） A.相交　　 B.内切　　　C.外切　　 D.内含 解析：B　两圆方程可化为x2＋（y－1）2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1（0，1），O2（0，0），半径分别为r1＝1，r2＝2.因为｜O1O2｜＝1＝r2－r1，所以两圆内切. 2.若直线y＝x＋m与圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝1交于A，B两点，且｜AB｜＝2，则m＝（　　） A.－1　 B.－2　C.1　 D.2 解析：A　由圆的标准方程可知圆的圆心为（－1，－2），直径为2，因为｜AB｜＝2，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，得－2＝－1＋m，解得m＝－1.故选A. 3.“点（a，b）在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　命题p：点（a，b）在圆x2＋y2＝1外等价于a2＋b2＞1，命题q：直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交等价于＜1等价于a2＋b2＞4，从而有p⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.故选B. 4.过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（　　） A.2x＋y－5＝0　 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0　 D.x－2y－7＝0 解析：B　因为过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点（3，1）在圆（x－1）2＋y2＝r2上，圆心与切点连线的斜率为k＝＝，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2（x－3），即2x＋y－7＝0. 5.（多选）已知圆（x－1）2＋（y－1）2＝4与直线x＋my－m－2＝0，则（　　） A.直线与圆必相交 B.直线与圆不一定相交 C.直线与圆相交所截的最短弦长为2 D.直线与圆可以相切 解析：AC　由题意，圆（x－1）2＋（y－1）2＝4的圆心C（1，1），半径r＝2，直线x＋my－m－2＝0变形得x－2＋m（y－1）＝0，得直线过定点A（2，1），因为｜CA｜＝＝1＜2，所以直线与圆必相交，故A正确，B、D错误；由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心C的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2＝2，故C正确.故选A、C. 6.（多选）已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则（　　） A.两圆的圆心距｜O1O2｜＝2 B.直线AB的方程为x－y＋1＝0 C.圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜ D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ 解析：BD　由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，可得圆O1：（x－1）2＋y2＝4和圆O2：x2＋（y－1）2＝2，则圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆O2的圆心坐标为（0，1），半径为，对于A，两圆的圆心距｜O1O2｜＝＝，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，故D正确.故选B、D. 7.若圆x2＋y2＝1与圆（x＋4）2＋（y－a）2＝25相切，则常数a＝　±2或0　. 解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切（外切或内切），得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0. 8.已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB｜＝　6　. 解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C（2，1）在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A（－4，－1）.所以｜AC｜2＝36＋4＝40.又r＝2，所以｜AB｜2＝40－4＝36.所以｜AB｜＝6. 9.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是　8　. 解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝4的圆心为C2（3，－4），半径r2＝2，所以｜C1C2｜＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是｜C1C2｜＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8. 10.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. （1）当a为何值时，直线l与圆C相切； （2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且｜AB｜＝2时，求直线l的方程. 解：（1）根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0， 则圆C的标准方程为x2＋（y－4）2＝4，其圆心为（0，4），半径r＝2， 若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－. （2）设圆心C到直线l的距离为d，则（）2＋d2＝r2， 即2＋d2＝4，解得d＝， 则有d＝＝，即a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0. 综合应用 B 巩固 11.若一条光线从点A（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A.－或－　 B.－或－ C.－或－　 D.－或－ 解析：D　点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由题意知，反射光线所在的直线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得＝1，解得k＝－或k＝－. 12.（多选）已知圆M：（x－3k）2＋（y－4k－2）2＝1＋k2，则下列四个命题中真命题有（　　） A.若圆M与y轴相切，则k＝± B.圆M的圆心到原点的距离的最小值为 C.若直线y＝x平分圆M的周长，则k＝2 D.圆M与圆（x－3k）2＋y2＝4k2可能外切 解析：ABD　圆M：（x－3k）2＋（y－4k－2）2＝1＋k2的圆心坐标为M（3k，4k＋2），半径为r＝.若圆M与y轴相切，则｜3k｜＝，解得k＝±，所以A为真命题；因为（3k）2＋（4k＋2）2＝25k2＋16k＋4＝＋≥，所以｜OM｜≥，所以B为真命题；若直线y＝x平分圆M的周长，则3k＝4k＋2，即k＝－2，所以C为假命题；若圆M与圆（x－3k）2＋y2＝4k2外切，则｜4k＋2｜＝＋，设函数f（k）＝｜4k＋2｜－－，因为f（0）＝1＞0，f（－1）＝－＜0，所以f（k）在（－1，0）内必有零点，则方程｜4k＋2｜＝＋有解，所以D为真命题.故选A、B、D. 13.已知A（2，0），直线4x＋3y＋1＝0被圆C：（x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点. （1）求｜PA｜的最大值与最小值； （2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解：（1）∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C： （x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为4， ∴圆心到直线的距离d＝＝＝1. ∵m＜3，∴m＝2， ∴｜AC｜＝＝， ∴｜PA｜的最大值与最小值分别为＋，－. （2）由（1）可得圆C的方程为（x＋3）2＋（y－2）2＝13， 令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6， ∴圆C与坐标轴相交于三点M（0，4），O（0，0），N（－6，0）， ∴△MON为直角三角形，斜边｜MN｜＝2， ∴△MON内切圆的半径为＝5－. 14.已知圆O：x2＋y2＝5，A，B为圆O上的两个动点，且｜AB｜＝2，M为弦AB的中点，C（2，a），D（2，a＋2）.当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为　（－∞，－2）∪（0，＋∞）　. 解析：连接OM（图略），由题意得｜OM｜＝＝2，∴点M在以O为圆心，半径为2的圆上.设CD的中点为N，则N（2，a＋1），且｜CD｜＝2.∵当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，∴以O为圆心，半径为2的圆与以N（2，a＋1）为圆心，半径为1的圆外离，∴ ＞3，整理得（a＋1）2＞1，解得a＜－2或a＞0.∴实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（0，＋∞）. 15.已知在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上. （1）若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使｜MA｜＝2｜MO｜，求圆心C的横坐标a的取值范围. 解：（1）联立解得即圆心C（3，2），所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝1. 若切线的斜率不存在，则切线的方程为x＝0，此时直线x＝0与圆C相离，不符合题意， 所以切线的斜率存在，设所求切线的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 由题意得＝1，整理得4k2＋3k＝0， 解得k＝0或k＝－. 故所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3. （2）设圆心C的坐标为（a，2a－4），则圆C的方程为（x－a）2＋[y－（2a－4）]2＝1， 设点M（x，y），由｜MA｜＝2｜MO｜得＝2，整理得x2＋（y＋1）2＝4， 由题意可知，圆C与圆x2＋（y＋1）2＝4有公共点，所以1≤≤3， 即解得0≤a≤. 所以圆心C的横坐标a的取值范围是［0，] 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$