8.3圆的方程讲义-2025届高三数学一轮复习

第三节　圆的方程 课程目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 基础知识 　　1.圆的定义与方程 提醒　当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系： （1）｜MC｜＞r⇔点M在　　　　　　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2； （2）｜MC｜＝r⇔点M在　　　　　　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2； （3）｜MC｜＜r⇔点M在　　　　　　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）确定圆的几何要素是圆心与半径.（　　） （2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.（　　） （3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.（　　） （4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.（　　） 2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　） A.（x－1）2＋（y－1）2＝1 B.（x＋1）2＋（y＋1）2＝1 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.（x－1）2＋（y－1）2＝2 3.若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　） A.　 B.－ C.1　 D.－1 4.圆C：x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心坐标为　　　　；半径r＝　　　　. 5.若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则实数m的取值范围是　　　　. 常用结论 1.以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0. 2.圆心在任一弦的垂直平分线上. 结论应用 1.以A（3，－1），B（－2，2）为直径端点的圆的方程是（　　） A.x2＋y2－x－y－8＝0 B.x2＋y2－x－y－9＝0 C.x2＋y2＋x＋y－8＝0 D.x2＋y2＋x＋y－9＝0 2.点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（　　） A.2　 B. C.3　 D.9 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 圆的方程 对数函数的图象及应用 【例1】　（1）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　　　　； （2）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为　　　　. 方法技巧 求圆的方程的两种方法 跟踪训练 1.半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为（　　） A.（x－1）2＋（y＋2）2＝4 B.（x－2）2＋（y＋2）2＝2 C.（x－2）2＋（y＋2）2＝4 D.（x－2）2＋（y＋2）2＝4 2.（多选）设圆的方程是（x－a）2＋（y＋b）2＝a2＋b2，其中a＞0，b＞0，下列说法中正确的是（　　） A.该圆的圆心为（a，b） B.该圆过原点 C.该圆与x轴相交于两个不同点 D.该圆的半径为a2＋b2 考点2 与圆有关的轨迹问题 对数函数的图象及应用 【例2】　（1）点M与两个定点O（0，0），P（2，0）的距离的比为3∶1，则点M的轨迹方程为　　　　； （2）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），则直角顶点C的轨迹方程为　　　　　. 方法技巧 求解与圆有关的轨迹（方程）的方法 （1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法：根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法：利用圆的几何性质列方程； （4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解. 提醒　要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程. 跟踪训练 1.过圆C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（　　） A.8x－6y－21＝0　　 B.8x＋6y－21＝0 C.6x＋8y－21＝0　 D.6x－8y－21＝0 2.（2024·烟台一模）若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹为　　　　　　　　. 考点3 与圆有关的最值问题 对数函数的图象及应用 技法1　利用几何性质求最值 【例3】已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上. （1）求的最大值和最小值； （2）求x＋y的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值. 方法技巧 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 技法2　利用对称性求最值 【例4】已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是　　　　. 方法技巧 　　求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路： （1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； （2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 技法3　建立函数关系求最值 【例5】　设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为　　　　. 方法技巧 　　根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性质求最值. 跟踪训练 1.已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（　　） A.1＋　 B.4 C.1＋3　 D.7 2.已知动点P（x，y）满足x2＋y2－｜x｜－｜y｜＝0，O为坐标原点，则｜PO｜的最大值是　　　　. 第三节　圆的方程 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 2.圆心为（2，1）且和x轴相切的圆的方程是（　　） A.（x－2）2＋（y－1）2＝1 B.（x＋2）2＋（y＋1）2＝1 C.（x－2）2＋（y－1）2＝5 D.（x＋2）2＋（y＋1）2＝5 3.若点（a＋1，a－1）在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部，则a的取值范围是（　　） A.a＞1　 B.0＜a＜1 C.－1＜a＜　 D.a＜1 4.点A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，｜PA｜＝1，则点P的轨迹方程是（　　） A.（x－1）2＋y2＝4　 B.（x－1）2＋y2＝2 C.y2＝2x　 D.y2＝－2x 5.（多选）已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（　　） A.圆M的圆心坐标为（1，3） B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点（2，3）在圆M内 6.（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为（　　） A.x2＋＝ 　 B.x2＋＝ C.（x－）2＋y2＝　 D.（x＋）2＋y2＝ 7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为　 　，半径为　 . 8.若圆C经过坐标原点和点（4，0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程是　 　. 9.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝｜PB｜2＋｜PA｜2，其中A（0，1），B（0，－1），则d的最大值为　 　. 10.已知动圆C经过点A（2，－3）和B（－2，－5）. （1）当圆C面积最小时，求圆C的方程； （2）若圆C的圆心在直线3x＋y＋5＝0上，求圆C的方程. 综合应用 B 巩固 11.若直线ax－by－6＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最小值为（　　） A.1　　　 B.2　　　C.3　　　 D.4 12.（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 13.已知圆心为C的圆经过点A和B，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上. （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值. 14.（多选）在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，7），动点P满足｜PA｜＝｜PB｜，则（　　） A.点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8 B.△PAB面积最大时，｜PA｜＝2 C.∠PAB最大时，｜PA｜＝2 D.点P到直线AC的距离的最小值为 15.在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C. （1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； （2）求证：过A，B，C三点的圆过定点. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节　圆的方程 课程目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 基础知识 　　 1.圆的定义与方程 提醒　当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形. 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系： （1）｜MC｜＞r⇔点M在　圆外　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2； （2）｜MC｜＝r⇔点M在　圆上　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2； （3）｜MC｜＜r⇔点M在　圆内　，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）确定圆的几何要素是圆心与半径.（　√　） （2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.（　×　） （3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.（　×　） （4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.（　√　） 2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　） A.（x－1）2＋（y－1）2＝1 B.（x＋1）2＋（y＋1）2＝1 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.（x－1）2＋（y－1）2＝2 解析：D　因为圆心为（1，1）且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2. 3.若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　） A.　 B.－ C.1　 D.－1 解析：A　依题意可知圆心坐标为（a，0），又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝，故选A. 4.圆C：x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心坐标为　（1，－3）　；半径r＝　　. 解析：圆C：x2＋y2－2x＋6y＝0，转化为标准方程得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所以圆心坐标为（1，－3），半径为. 5.若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则实数m的取值范围是　（－，）　. 解析：∵点（0，0）在（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，解得－＜m＜. 常用结论 1.以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0. 2.圆心在任一弦的垂直平分线上. 结论应用 1.以A（3，－1），B（－2，2）为直径端点的圆的方程是（　　） A.x2＋y2－x－y－8＝0 B.x2＋y2－x－y－9＝0 C.x2＋y2＋x＋y－8＝0　 D.x2＋y2＋x＋y－9＝0 解析：A　由结论1得，圆的方程为（x－3）（x＋2）＋（y＋1）（y－2）＝0，整理得x2＋y2－x－y－8＝0，故选A. 2.点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（　　） A.2　　 B.　　　C.3　　 D.9 解析：C　由结论2可知直线x－y＋1＝0经过圆心，所以－＋1＋1＝0，k＝4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径r＝＝3，故选C. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 圆的方程 对数函数的图象及应用 【例1】设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为　（x－1）2＋（y＋1）2＝5　； （2）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为　（2）x2＋（y－8）2＝5　. 解析：（1）法一　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则M， ∴解得 ∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5. 法三　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立得解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5. （2）如图所示，由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝8.所以圆心坐标为（0，8），半径为r＝＝.所以圆C的标准方程为x2＋（y－8）2＝5. 方法技巧 求圆的方程的两种方法 跟踪训练 1.半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为（　　） A.（x－1）2＋（y＋2）2＝4 B.（x－2）2＋（y＋2）2＝2 C.（x－2）2＋（y＋2）2＝4 D.（x－2）2＋（y＋2）2＝4 解析：C　设圆心坐标为（2，－a）（a＞0），则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝4.故选C. 2.（多选）设圆的方程是（x－a）2＋（y＋b）2＝a2＋b2，其中a＞0，b＞0，下列说法中正确的是（　　） A.该圆的圆心为（a，b） B.该圆过原点 C.该圆与x轴相交于两个不同点 D.该圆的半径为a2＋b2 解析：BC　由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为（a，－b），半径为，故选项A、D不正确；因为（0－a）2＋（0＋b）2＝a2＋b2，所以该圆过原点，故选项B正确；在圆的方程（x－a）2＋（y＋b）2＝a2＋b2中，令y＝0，有（x－a）2＋b2＝a2＋b2⇒（x－a）2＝a2⇒x＝2a或x＝0，因为a＞0，所以该圆与x轴相交于两个不同点，故选项C正确，故选B、C. 考点2 与圆有关的轨迹问题 对数函数的图象及应用 【例2】（1）点M与两个定点O（0，0），P（2，0）的距离的比为3∶1，则点M的轨迹方程为　（x－）2＋y2＝　； （2）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），则直角顶点C的轨迹方程为　（x－1）2＋y2＝4（y≠0）　. 解析：（1）设点M（x，y），由题知＝3，两边平方化简得2x2＋2y2－9x＋9＝0，即（x－）2＋y2＝，所以点M的轨迹方程为（x－）2＋y2＝. （2）法一　设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）. 法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知｜CD｜＝｜AB｜＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）. 方法技巧 求解与圆有关的轨迹（方程）的方法 （1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法：根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法：利用圆的几何性质列方程； （4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解. 提醒　要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程. 跟踪训练 1.过圆C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（　　） A.8x－6y－21＝0　　　 B.8x＋6y－21＝0 C.6x＋8y－21＝0　 D.6x－8y－21＝0 解析：D　由题意得，圆心C的坐标为（3，－4），半径r＝2，如图.因为｜PQ｜＝｜PO｜，且PQ⊥CQ，所以｜PO｜2＋r2＝｜PC｜2，所以x2＋y2＋4＝（x－3）2＋（y＋4）2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0. 2.若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹为　以（0，0）为圆心，5为半径的圆　. 解析：设M（x，y），A（a，0），B（0，b），则＝10，a2＋b2＝100，且∴代入a2＋b2＝100，得4x2＋4y2＝100，即x2＋y2＝25，即点M的轨迹为以原点（0，0）为圆心，5为半径的圆. 考点3 与圆有关的最值问题 对数函数的图象及应用 技法1　利用几何性质求最值 【例3】已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上. （1）求的最大值和最小值； （2）求x＋y的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值. 解：（1）可视为点（x，y）与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－， ∴的最大值为－2＋，最小值为－2－. （2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即＝1，解得t＝－1或t＝－－1. ∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1. （3）＝，求它的最值可视为求点（x，y）到定点（－1，2）的距离的最值，可转化为求圆心（2，－3）到定点（－1，2）的距离与半径的和或差. 又圆心到定点（－1，2）的距离为， ∴的最大值为＋1，最小值为－1. 方法技巧 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 技法2　利用对称性求最值 【例4】已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是　2　. 解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C（2，1）为圆心，半径r＝的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），所以解得故A'（－4，－2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知｜PA｜＋｜PQ｜＝｜A'P｜＋｜PQ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－r＝2. 方法技巧 求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路： （1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； （2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 技法3　建立函数关系求最值 【例5】　设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为　12　. 解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 方法技巧 　　根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性质求最值. 跟踪训练 1.已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（　　） A.1＋　 B.4 C.1＋3　 D.7 解析：C　法一　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距离d＝≤3，解得1－3≤t≤1＋3.故选C. 法二　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3cos θ－3sin θ＝1＋3·cos（θ＋）≤1＋3，当θ＝＋2kπ（k∈Z）时取等号.故选C. 2.已知动点P（x，y）满足x2＋y2－｜x｜－｜y｜＝0，O为坐标原点，则｜PO｜的最大值是　　. 解析：如图，方程x2＋y2－｜x｜－｜y｜＝0可以转化为（｜x｜－）2＋（｜y｜－）2＝，所以动点P（x，y）的轨迹为原点和四段圆弧.由于对称性，仅考虑圆弧（x－）2＋（y－）2＝（x≥0，y≥0），显然，当点P为（1，1）时，｜PO｜max＝. 第三节　圆的方程 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：A　方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A. 2.圆心为（2，1）且和x轴相切的圆的方程是（　　） A.（x－2）2＋（y－1）2＝1 B.（x＋2）2＋（y＋1）2＝1 C.（x－2）2＋（y－1）2＝5 D.（x＋2）2＋（y＋1）2＝5 解析：A　圆心为（2，1）且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是（x－2）2＋（y－1）2＝1，故选A. 3.若点（a＋1，a－1）在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部，则a的取值范围是（　　） A.a＞1　 B.0＜a＜1 C.－1＜a＜　 D.a＜1 解析：D　由题可知，半径r＝，所以a∈R，把点（a＋1，a－1）代入方程，则（a＋1）2＋（a－1）2－2a（a－1）－4＜0，解得a＜1，所以a的取值范围是a＜1，故选D. 4.点A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，｜PA｜＝1，则点P的轨迹方程是（　　） A.（x－1）2＋y2＝4　 B.（x－1）2＋y2＝2 C.y2＝2x　 D.y2＝－2x 解析：B　∵｜PA｜＝1，∴点P和圆心的距离恒为，又圆心坐标为（1，0），设P（x，y），∴由两点间的距离公式，得（x－1）2＋y2＝2. 5.（多选）已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（　　） A.圆M的圆心坐标为（1，3） B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点（2，3）在圆M内 解析：ABD　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即（x－1）2＋（y－3）2＝5.故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为（2－1）2＋（3－3）2＝1＜5，故点（2，3）在圆M内. 6.（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为（　　） A.x2＋＝ 　 B.x2＋＝ C.（x－）2＋y2＝　 D.（x＋）2＋y2＝ 解析：AB　由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心（0，a）， 半径为r，则rsin＝1，rcos＝｜a｜，解得r＝，即r2＝，｜a｜＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝. 7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为　（－2，－4）　，半径为　　5　. 解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为（－2，－4），半径为5. 8.若圆C经过坐标原点和点（4，0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程是　（x－2）2＋＝　. 解析：由已知可设圆心为（2，b），由22＋b2＝（1－b）2＝r2，得b＝－，r2＝.故圆C的方程为（x－2）2＋＝. 9.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝｜PB｜2＋｜PA｜2，其中A（0，1），B（0，－1），则d的最大值为　74　. 解析：设P（x0，y0），则d＝｜PB｜2＋｜PA｜2＝＋（y0＋1）2＋＋（y0－1）2＝2（＋）＋2，＋表示圆上任一点到原点距离的平方，∴（＋）max＝（5＋1）2＝36，∴dmax＝74. 10.已知动圆C经过点A（2，－3）和B（－2，－5）. （1）当圆C面积最小时，求圆C的方程； （2）若圆C的圆心在直线3x＋y＋5＝0上，求圆C的方程. 解：（1）要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，圆心C（0，－4），半径r＝｜AB｜＝， 所以所求圆C的方程为x2＋（y＋4）2＝5. （2）设所求圆C的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 根据已知条件得解得 所以所求圆C的方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10. 综合应用 B 巩固 11.若直线ax－by－6＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最小值为（　　） A.1　　　 B.2　　　C.3　　　 D.4 解析：D　圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即（x－2）2＋（y＋2）2＝8，圆心为（2，－2），依题意，点（2，－2）在直线ax－by－6＝0上，则有2a－（－2）b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a＞0，b＞0，于是得＋＝（a＋b）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以＋的最小值为4. 12.（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 解析：ABD　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 13.已知圆心为C的圆经过点A和B，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上. （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值. 解：（1）设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）， ∵圆经过点A和B，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上， ∴解得 ∴圆的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25. （2）∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离d＝＝5＞5， ∴直线与圆C相离， ∴｜PQ｜的最小值为d－r＝5－5. 14.（多选）在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，7），动点P满足｜PA｜＝｜PB｜，则（　　） A.点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8 B.△PAB面积最大时，｜PA｜＝2 C.∠PAB最大时，｜PA｜＝2 D.点P到直线AC的距离的最小值为 解析：ABD　设P（x，y），由｜PA｜＝｜PB｜得，｜PA｜2＝2｜PB｜2，所以[x－（－1）]2＋（y－0）2＝2[（x－1）2＋（y－0）2]，化简得（x－3）2＋y2＝8，A项正确；由对A的分析知y∈[－2，2]，所以△PAB的面积S＝｜AB｜·｜y｜∈（0，2]，当△ABP面积最大时，P点坐标为（3，2）或（3，－2），此时｜PA｜＝＝2，B项正确；记圆（x－3）2＋y2＝8的圆心为D，则D（3，0），当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD，则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－（2）2＝8，｜PA｜＝2，C项错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆心D（3，0）到直线AC的距离为＝，所以点P到直线AC的距离的最小值为－2＝，D项正确.故选A、B、D. 15.在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C. （1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； （2）求证：过A，B，C三点的圆过定点. 解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）. （1）若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或m＝－. 此时C（0，－1），AB的中点M即圆心， 半径r＝｜CM｜＝， 故所求圆的方程为＋y2＝. （2）证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m， 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0. 整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0. 令可得或 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$