8.1直线的方程讲义-2025届高三数学一轮复习

第八章 解析几何 第一节　直线的方程 课程目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）. 基础知识 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为　　　　； ③范围：直线的倾斜角α的取值范围为　　　　　　　. 提醒　倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每条直线都有唯一确定的倾斜角. （2）直线的斜率 ①定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α； ②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝　　　　　　　. 提醒　如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在. 2.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 　　　　　 不含垂直于x轴的直线 斜截式 　　　　　 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝（x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　　） （2）直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.（　　） （3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（　　） （4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示.（　　） 2.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（　　） A.x－y＋1＝0　 B.x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0　 D.x＋y＋1＝0 4.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（　　） A.ab＞0，bc＜0　 B.ab＞0，bc＞0 C.ab＜0，bc＞0　 D.ab＜0，bc＜0 5.经过两点M（－2，m2），N（m，4）的直线的斜率等于2，则m＝　　　　. 常用结论 1.直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ的大小 0° 0°＜θ＜90° 90° 90°＜θ＜180° k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性 随θ的增大而增大 随θ的增大而增大 2.特殊直线的方程 （1）过点P1（x1，y1），垂直于x轴的直线方程为x＝x1； （2）过点P1（x1，y1），垂直于y轴的直线方程为y＝y1； （3）y轴的方程为x＝0； （4）x轴的方程为y＝0. 3.直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个方向向量为a＝（－B，A）. 结论应用 1.直线y＝－x－的一个方向向量的坐标为（　　） A.（1，0）　 B.（1，1） C.（1，）　 D.（3，－） 2.直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（　　） A.　 B. C.∪　 D.∪ 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线的倾斜角与斜率 对数函数的图象及应用 【例1】直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　　　　. 变式 1.若本例中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围. 2.若本例中的B（0，）改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l的倾斜角的取值范围. 方法技巧 解决直线的倾斜角与斜率问题的方法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性求解； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 提醒　根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0，）与（，π）两种情况讨论. 跟踪训练 1.直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　） A.[0，π）　 B.∪ C.　 D.∪ 2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A.k1＜k2＜k3　 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1　 D.k1＜k3＜k2 考点2 直线的方程 【例2】（1）（多选）过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是（　　） A.x＋3y＝0　 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0　 D.x－3y＝0 （2）已知一条直线经过点A（2，－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为　　　　　； （3）经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝（－3，2）的直线方程为　　　　. 方法技巧 求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设直线方程. 提醒　（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. 跟踪训练 1.在△ABC中，已知A（5，－2），B（7，3），且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为　　　　　　. 2.已知A（－1，1），B（3，1），C（1，3），则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为　　　　　. 考点3 直线方程的综合应用 【例3】　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程. 方法技巧 直线方程综合问题的两大类型及解法 （1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决； （2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决. 跟踪训练 1.当k＞0时，两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为　　　　. 2.已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为　　　　. 第一节　直线的方程 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.若直线x＋my＋2＝0的倾斜角为，则m＝（　　） A.1　　　 B.－1　　　　C.2　　 D.－2 2.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（　　） A.y＝x＋2　 B.y＝x－2 C.y＝x＋　 D.y＝－x＋2 3.在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O（0，0），M（－1，3），点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为（　　） A.3x－y－6＝0　 B.3x＋y＋6＝0 C.3x－y＋6＝0　 D.3x＋y－6＝0 4.若AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（　　） A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 5.（多选）下列说法正确的有（　　） A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限 B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2） C.过点（2，－1）且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－（x－2） D.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 6.（多选）已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点（1，－2），则下列结论中正确的是（　　） A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线x－3y＋2＝0垂直 D.l上不存在与原点距离等于的点 7.设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），若直线l的斜率为－1，则k＝　 　；若直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0，则k＝　 　. 8.直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是　 　. 9.已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为　 　. 10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： （1）过定点A（－3，4）； （2）斜率为. 综合应用 B 巩固 11.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈［，）∪［，π），则k的取值范围是（　　） A.（－∞，－]∪［，1） B.[－，0）∪［，1） C.[－，0）∪（0，］ D.（－∞，－]∪（0，］ 12.已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（　　） A.1　 B.　　C.－　 D.－3 13.过点P（－1，0）且与直线l：x－y＋2＝0的夹角为的直线的一般式方程是　 　. 14.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 15.过点P（3，2）的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于点A，B. （1）当P为AB的中点时，求l的方程； （2）当｜PA｜·｜PB｜最小时，求l的方程. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 解析几何 第一节　直线的方程 课程目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）. 基础知识 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为　0°　； ③范围：直线的倾斜角α的取值范围为　0°≤α＜180°　. 提醒　倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每条直线都有唯一确定的倾斜角. （2）直线的斜率 ①定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α； ②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝　　. 提醒　如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在. 2.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k（x－x0） 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝（x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线 名称 方程 适用范围 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　×　） （2）直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.（　×　） （3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（　×　） （4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示.（　√　） 2.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π），所以α＝.故选D. 3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（　　） A.x－y＋1＝0　 B.x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0　 D.x＋y＋1＝0 解析：D　直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（　　） A.ab＞0，bc＜0　 B.ab＞0，bc＞0 C.ab＜0，bc＞0　 D.ab＜0，bc＜0 解析：A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，故故ab＞0，bc＜0. 5.经过两点M（－2，m2），N（m，4）的直线的斜率等于2，则m＝　0　. 解析：经过两点M（－2，m2），N（m，4）的直线的斜率等于2，则＝2，解得m＝0. 常用结论 1.直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ的大小 0° 0°＜θ＜90° 90° 90°＜θ＜180° k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性 随θ的增大而增大 随θ的增大而增大 2.特殊直线的方程 （1）过点P1（x1，y1），垂直于x轴的直线方程为x＝x1； （2）过点P1（x1，y1），垂直于y轴的直线方程为y＝y1； （3）y轴的方程为x＝0； （4）x轴的方程为y＝0. 3.直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个方向向量为a＝（－B，A）. 结论应用 1.直线y＝－x－的一个方向向量的坐标为（　　） A.（1，0）　 B.（1，1） C.（1，）　 D.（3，－） 解析：D　y＝－x－，即x＋y＋＝0，由结论3得，其一个方向向量的坐标为（－1，），与其共线的向量为（3，－）.故选D. 2.直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（　　） A.　 B. C.∪　 D.∪ 解析：B　由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－＜0，由结论1得倾斜角的取值范围是. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 直线的倾斜角与斜率 对数函数的图象及应用 【例1】直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　（－∞，－]∪[1，＋∞）　. 解析：设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kPA＝1，直线PB的斜率是kPB＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞）.当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的取值范围是（－∞，－].故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞）. 变式 1.若本例中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围. 解：如图，∵kPA＝＝，kPB＝＝，∴直线l的斜率的取值范围为［，］. 2.若本例中的B（0，）改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l的倾斜角的取值范围. 解：如图，∵kPA＝＝1，kPB＝＝－1，∴直线l的斜率的取值范围为[－1，1]，∴直线l的倾斜角的取值范围是［0，］∪［，π）. 方法技巧 解决直线的倾斜角与斜率问题的方法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性求解； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 提醒　根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0，）与（，π）两种情况讨论. 跟踪训练 1.直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　） A.[0，π）　 B.∪ C.　 D.∪ 解析：B　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B. 2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A.k1＜k2＜k3　 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1　 D.k1＜k3＜k2 解析：D　因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2. 考点2 直线的方程 【例2】（1）（多选）过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是（　AB　） A.x＋3y＝0　 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0　 D.x－3y＝0 （2）已知一条直线经过点A（2，－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为　x－y－3＝0　； （3）经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝（－3，2）的直线方程为　2x＋3y－5＝0　. 解析：（1）当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点（－3，1）的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点（－3，1）的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0. （2）由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y－（－）＝（x－2），即x－y－3＝0. （3）联立解得∴直线过点（1，1）.∵直线的方向向量v＝（－3，2），∴直线的斜率k＝－，则直线的方程为y－1＝－（x－1），即2x＋3y－5＝0. 方法技巧 求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设直线方程. 提醒　（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. 跟踪训练 1.在△ABC中，已知A（5，－2），B（7，3），且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为　5x－2y－5＝0　. 解析：设C（x0，y0），则M（，），N（，）.因为点M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5.因为点N在x轴上，所以＝0，解得y0＝－3.所以M（0，－），N（1，0），所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0. 2.已知A（－1，1），B（3，1），C（1，3），则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为　x－y＋2＝0　. 解析：因为B（3，1），C（1，3），所以kBC＝＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A（－1，1），所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0. 考点3 直线方程的综合应用 【例3】　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程. 解：（1）证明：直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0，令解得 ∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）. （2）由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则解得k＞0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞）. （3）由题意可知k＞0，由l的方程，得A（－，0），B（0，1＋2k）. ∵S＝·｜OA｜·｜OB｜＝·｜｜·｜1＋2k｜ ＝·＝（4k＋＋4）≥×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 方法技巧 直线方程综合问题的两大类型及解法 （1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决； （2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决. 跟踪训练 1.当k＞0时，两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为　　. 解析：直线2x＋ky－2＝0与x轴交于点（1，0）.由解得y＝，所以两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形的面积为×1×＝，又k＋≥2＝2（当且仅当k＝时取等号），故三角形面积的最大值为. 2.已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为　　. 解析：由题得A（2，0），B（0，1），由动点P（a，b）在线段AB上.可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝－2b2＋2b＝－2＋.由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 第一节　直线的方程 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.若直线x＋my＋2＝0的倾斜角为，则m＝（　　） A.1　　　 B.－1　　　　C.2　　 D.－2 解析：B　直线x＋my＋2＝0的倾斜角为，所以斜率为，即－＝，解得m＝－1.故选B. 2.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（　　） A.y＝x＋2　 B.y＝x－2 C.y＝x＋　 D.y＝－x＋2 解析：A　直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝x＋2. 3.在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O（0，0），M（－1，3），点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为（　　） A.3x－y－6＝0　 B.3x＋y＋6＝0 C.3x－y＋6＝0　 D.3x＋y－6＝0 解析：C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3（x＋1），即3x－y＋6＝0，故选C. 4.若AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（　　） A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 解析：D　∵Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，AB＜0，BC＜0，∴－＞0，－＞0，故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 5.（多选）下列说法正确的有（　　） A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限 B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2） C.过点（2，－1）且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－（x－2） D.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 解析：ABC　对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a（x－3）＋（－y＋2）＝0，所以无论a取何值，点（3，2）都满足方程，所以B正确；对于C，过点（2，－1）且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－（x－2），所以C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误.故选A、B、C. 6.（多选）已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点（1，－2），则下列结论中正确的是（　　） A.l的倾斜角等于150° B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线x－3y＋2＝0垂直 D.l上不存在与原点距离等于的点 解析：CD　由已知得直线l的斜率k＝＝－，设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，所以θ＝120°，故A选项错误；直线l的方程为y＋2＝－（x－1），即x＋y＋2－＝0，所以它在x轴上的截距等于1－，故B选项错误；直线x－3y＋2＝0的斜率为，×（－）＝－1，所以两直线垂直，故C选项正确；原点到直线l的距离d＝1－＞，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，故D选项正确.故选C、D. 7.设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），若直线l的斜率为－1，则k＝　5　；若直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0，则k＝　1　. 解析：因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 8.直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是　（－∞，－1）∪（，＋∞）　. 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），直线在x轴上的截距为1－，则－3＜1－＜3，解不等式可得k＞或k＜－1. 9.已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为　x＝－或y＝（x＋）　. 解析：在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M（－，0）.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为30°，此时直线l'的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝（x＋）. 10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： （1）过定点A（－3，4）； （2）斜率为. 解：（1）由题意知，直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y＝k（x＋3）＋4， 其在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4， 由已知，得（3k＋4）（－－3）＝6， 解得k1＝－，k2＝－. 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. （2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，其在x轴上的截距是－6b， 由已知，得｜－6b·b｜＝6，解得b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 综合应用 B 巩固 11.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈［，）∪［，π），则k的取值范围是（　　） A.（－∞，－]∪［，1） B.[－，0）∪［，1） C.[－，0）∪（0，］ D.（－∞，－]∪（0，］ 解析：B　当α∈［，）时，k＝tan α∈［，1）；当α∈［，π）时，k＝tan α∈[－，0）.综上得k∈[－，0）∪［，1）. 12.已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（　　） A.1　 B.　　C.－　 D.－3 解析：C　设Q（3，0），则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是［－3，－］，故的最大值为－，故选C. 13.过点P（－1，0）且与直线l：x－y＋2＝0的夹角为的直线的一般式方程是　x＋1＝0或x－y＋1＝0　. 解析：直线l的倾斜角β∈[0，π）且tan β＝，则β＝，因为所求直线与直线l的夹角为，所以所求直线的倾斜角为或，当所求直线的倾斜角为时，直线为x＝－1；当所求直线的倾斜角为时，直线为y＝（x＋1），即x－y＋1＝0.综上，所求直线的一般式方程为x＋1＝0或x－y＋1＝0. 14.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？ 解：如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E（30，0），F（0，20）， ∴直线EF的方程为＋＝1（0≤x≤30）. 易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值， 在线段EF上取点P（m，n），作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R， 设矩形PQCR的面积为S，则S＝｜PQ｜·｜PR｜＝（100－m）（80－n）. 又＋＝1（0≤m≤30），∴n＝20－m. ∴S＝（100－m）（80－20＋m）＝－（m－5）2＋（0≤m≤30）. ∴当m＝5时，S有最大值，此时｜EP｜∶｜PF｜＝5∶1. ∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大. 15.过点P（3，2）的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于点A，B. （1）当P为AB的中点时，求l的方程； （2）当｜PA｜·｜PB｜最小时，求l的方程. 解：（1）设A（a，0），B（0，b）， ∵P（3，2）为AB的中点，∴＝3，＝2，则a＝6，b＝4，∴A（6，0），B（0，4），则l的方程为＋＝1， 即2x＋3y－12＝0. （2）由题意知直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k＜0）， 令x＝0可得y＝2－3k，令y＝0可得x＝3－， 则A（3－，0），B（0，2－3k）. ∴｜PA｜·｜PB｜＝ ＝≥12， 当且仅当k2＝1，即k＝－1时取等号， ∴直线l的方程为y－2＝－（x－3），即x＋y－5＝0 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$