微专题 几何法求空间角与距离讲义-2025届高三数学一轮复习

微专题提优讲义11　几何法求空间角与距离 　　几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题. 一、几何法求空间角 类型1　几何法求线面角 【例1】如图，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 点评　几何法求线面角的三个步骤：①一作（找）角；②二证明；③三计算.其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解. 跟踪训练 在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是（　　） A.　 B.　　 C.　 D. 类型2　几何法求二面角 【例2】　如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S-BC-A的大小为（　　） A.30°　 B.45°　　 C.60°　 D.75° 点评　作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 跟踪训练 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（　　） A.1　 B.2　　 C.　 D. 二、几何法求距离 【例3】　（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2　　 C.　 D.4 （2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（　　） A.1　 B.　　 C.　 D. 点评　（1）求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解； （2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解. 跟踪训练 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为　　　　. 课后巩固练习 1.在直三棱柱中，，则与平面所成的角为(    ). A． B． C． D． 2．直三棱柱中，侧棱，，，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 3.将边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，则点到边的距离是（    ） A． B． C． D． 4.如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 . 5.如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为    A． B． C． D． 6.如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，点F在AD上，且． (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD到平面PBC的距离． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题提优讲义11　几何法求空间角与距离 　　 　　几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、角问题. 一、几何法求空间角 类型1　几何法求线面角 【例1】如图，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，故OC＝，又侧棱长为4，故PO＝＝.又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BF，则MF􀰿PO，且MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABCD所成的角，且MF＝PO＝.又cos∠BCM＝＝.在△BCM中，由余弦定理有BM＝＝.在△BFM中，sin∠MBF＝＝＝.故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为. 点评　几何法求线面角的三个步骤：①一作（找）角；②二证明；③三计算.其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解. 跟踪训练 在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　取BC的中点E，连接DE，AE，如图.依题意三棱柱ABC-A1B1C1为各棱长都相等的正三棱柱，设棱长为2，则AE＝，DE＝1，因为D，E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，所以AD＝＝＝2.因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，BC，DE⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，所以sin∠ADE＝＝，所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是. 类型2　几何法求二面角 【例2】　如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝，则二面角S-BC-A的大小为（　　） A.30°　 B.45° C.60°　 D.75° 解析：C　如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.∵BC＝2，∴SD＝＝＝，AD＝＝＝，而SA＝，∴△SDA是正三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S-BC-A的大小为60°. 点评　作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 跟踪训练 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为（　　） A.1　　　　　　　　 B.2 C.　 D. 解析：D　由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，由条件，可知∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝a，∴tan∠C1MC＝＝. 二、几何法求距离 【例3】　（1）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2 C.　 D.4 （2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（　　） A.1　 B. C.　 D. 答案：（1）A　（2）B 解析：（1）如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA， BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2. （2）设点E到平面ACD1的距离为h，因为点E是棱AB的中点，所以点E到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半，又平面ACD1过BD的中点，所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离，由等体积法＝，所以·2h＝S△ACD·DD1，S△ACD＝×2×4＝4，DD1＝2，在△ACD1中，AD1＝2，AC＝CD1＝2，所以＝×2×＝6，则×6×2h＝×4×2，解得h＝，即点E到平面ACD1的距离为. 点评　（1）求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解； （2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解. 跟踪训练 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC的距离为　　. 解析：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC，所以×2××2×2＝d××2×2，得d＝，所以AD到平面PBC的距离为. 课后巩固练习 1.在直三棱柱中，，则与平面所成的角为(    ). A． B． C． D． 详解:由题意，，，可知平面， 则有平面，即为所求线面角， 不妨设，则，， 故，故.    2．直三棱柱中，侧棱，，，则点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 解析：直三棱柱中，侧棱，，， 可得，，， ，， 点到平面的距离为， ， 可得， 解得． 3.将边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，则点到边的距离是（    ） A． B． C． D． 详解:翻折前，因为是边长为的等边三角形，是边上的高线，则为的中点， 且，，且， 翻折后，则有，， 在三棱锥中，由二面角的定义可得， 如下图所示：    取线段的中点，连接、， 因为，，，、平面， 所以，平面，因为平面，所以，， 在中，，，则， 因为为的中点，则，且， 所以，， 因为，为的中点，所以，，因此，点到的距离为. 4.如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为 . 详解:如图，取中点，连接、，则， ∵平面，平面， ，平面， ， 就是直线与平面所成的角， ，． 故答案为：． 5.如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为    A． B． C． D． 详解:设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 6.如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，且，点F在AD上，且． (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD到平面PBC的距离． 详解:（1）连接，因为平面，又平面， ∴，又，， ∴平面，又平面， ∴平面平面，平面平面， 过点作于，则平面， 故即为所求， ∵在梯形中，，，，， ∴， ∴在中，， ∴，即点到平面的距离为； （2）∵，平面，平面， ∴平面， 过点作于，又因为平面，则， 又，， ∴平面，则，又 ∴平面，即的长为到平面的距离， 在等腰直角三角形中，， ∴，故到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$