微专题 空间几何体的截面问题讲义-2025届高三数学一轮复习

微专题提优讲义10 　空间几何体的截面问题 在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径. 1、确定截面的主要依据有 （1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质． 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点 一、直接法 【例1】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P三点的截面. 点评　若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 二、平行线法 【例2】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P三点的截面，若AB＝2，试求所画截面的面积. 点评　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 三、延长线法 【例3】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，若AB＝2，画出过E，F，Q的截面，并求所得截面图形的周长. 点评　若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 跟踪训练 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是（　　） A.三角形　　　　　　 B.四边形 C.五边形　 D.六边形 2.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为　　　　. 课后巩固练习 1．在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 3．（多选）用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（    ） A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形 4．（多选）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（    ） A．截面的形状可能是正三角形 B．截面的形状可能是直角梯形 C．此截面可以将正方体体积分成1：3 D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值 5.四棱锥中，，，，过P，Q，R三点作出此棱锥的截面（图）. 6.如图，已知在正三棱柱中，=2， 且点分别为棱，的中点．过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题提优讲义10 　空间几何体的截面问题 　　 在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径. 1、确定截面的主要依据有 （1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质． 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点 一、直接法 【例1】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P三点的截面. 解：因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P. 点评　若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 二、平行线法 【例2】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P三点的截面，若AB＝2，试求所画截面的面积. 解：连接A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由于A1，D1，P在一个平面内，且两个平面A1ADD1和B1BCC1平行，只要过P作A1D1的平行线就可以了.即设CC1的中点为Q，连接PQ和D1Q，即可得到截面A1D1QP. 又由AB＝2，得A1D1＝2，A1P＝，易知截面A1D1QP为矩形，故＝2. 点评　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 三、延长线法 【例3】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，若AB＝2，画出过E，F，Q的截面，并求所得截面图形的周长. 解：连接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交线，其余面由正方体的性质和平面的性质来判断，延长FE，EF，分别交DA，DC的延长线于G，H，则G，Q都在平面AA1D1D内，连接GQ并延长交A1D1于点P，交DD1的延长线于点S，则S，H都在平面DD1C1C内，连接SH交D1C1于点M，交CC1于点N，连接QE，NF，PM，MN，就得到截面EFNMPQ.易知截面EFNMPQ为正六边形，又AB＝2，可得QE＝，故截面EFNMPQ的周长为6. 点评　若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 跟踪训练 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是（　　） A.三角形　　　　　　 B.四边形 C.五边形　 D.六边形 解析：C　先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形. 2.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为　　. 解析：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得NE＝ME＝，AM＝AN＝，MN＝，∴△AMN中MN边上的高h1＝＝，△EMN中MN边上的高h2＝＝.∴平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·（h1＋h2）＝××（＋）＝. 课后巩固练习 1．在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 详解：如图，作的中点，连接，．因为，， 所以．因为，，所以， 故四边形为平行四边形，则有，且，则有点的轨迹长度与点的轨迹长度相同， 过点作于，则点的轨迹是以为圆心长为半径的圆，且， 故点的轨迹长度为． 2．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 详解: 在上取点，且，取中点为，连接. 在上取点，且，连结. 因为，， 所以，所以. 又，所以，所以， 所以，. 因为分别为的中点，所以，且. 根据正方体的性质，可知，且，所以，，且， 所以，四边形是平行四边形，所以，，所以. 同理可得，.所以，五边形即为所求正方体的截面. 3．（多选）用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形（    ） A．五边形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．钝角三角形 详解:如图所示，截面，设，，， ∴，，， ， 同理，，，即为锐角， ∴为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选； 如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选 如图截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选． 4．（多选）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（    ） A．截面的形状可能是正三角形 B．截面的形状可能是直角梯形 C．此截面可以将正方体体积分成1：3 D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值 详解:假设正方体的棱长为2.对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，    可知，即截面的形状是正三角形，故A正确； 对于选项B：由面面平行的性质可知：∥，    如果为直角梯形，例如， 由正方体的性质可知：，可知平面， 又因为平面，则∥或重合， 由图可知不成立，即截面的形状不可能是直角梯形，故B错误； 对于选项C： Q为所在棱中点，如图，    则正方体的体积为8，三棱柱的体积为， 所以截面将正方体分成，故C正确； 对于选项D：如图所示，假设为的中点，， 则， ， 可得， 则六边形的周长为， 显然周长与有关，即六边形的周长不是定值，故D错误； 5.四棱锥中，，，，过P，Q，R三点作出此棱锥的截面（图）. 详解:以点V为投影中心，以所在平面为投影面. （i）作P，Q，R三点的中心投影点A，B，C，则RQ的投影是AC； （ii）连接交于O，连接，设交于，即的中心投影为点O； （iii）连接与交于点T，顺次连接四点， 则四边形就是过P，Q，R三点的截面. 6.如图，已知在正三棱柱中，=2， 且点分别为棱，的中点．过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； 详解:因为点分别为棱，的中点，可得， 如图所示，延长交于点，连接交于点，四边形为所求截面， 又由，所以， 在中，由余弦定理得，所以可得, 所以截面图形的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$